组合 - 第二课时

(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．
3 1 4 5 故共有 C2 C ＋ C C ＋ C 5 8 5 8 8＝966 种选法．
[规律方法] 常见的限制条件及解题方法 1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特 殊元素的多少作为分类依据． 2． 含有“至多”“至少”等限制语句： 要分清限制语句中所包含的情况， 可以此作为分类依据，或采用间接法求解． 3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题 分类表达，逐类求解．
有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课 代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数 学课代表. 【导学号：95032063】
概念讲解
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素合成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
2 C3 C 5 3
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
1 4 (3)先选后排，但先安排该男生，有 C4 · C · A 7 4 4＝3 360 种．
(4)先从除去该男生、该女生的 6 人中选 3 人有 C3 6种，再安排该男生有
3 3 1 3 C1 种，其余 3 人全排有 A 种，共 C · C · A 3 3 6 3 3＝360 种．
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
bcd
你发现了 什么bcd ?
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 可以分为以下2步：
m n m m
n
这个公式叫做组合数公式．
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 :
A
m n m n m m
m n
C n Am
m
m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
n! 0 C 我们规定： C 1. n m !(n m)!
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B [分两种情况：①选 2 本画册，2 本集邮册送给 4 位朋友有
方法；②选 1 本画册，3 本集邮册送给 4 位朋友有 C1 4＝4 种方法，所以不同 的赠送方法共有 6＋4＝10 种，故选 B.]
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课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
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[思路探究]
(1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方
法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表 的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
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4 [解] (1)一名女生，四名男生，故共有Biblioteka BaiduC1 C 5 8＝350 种选法． 3 (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2 C 2 11＝165 种选法．
(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．
4 2 3 故共有 C1 C ＋ C 2 11 2C11＝825 种选法． 5 或采用间接法：C5 － C 13 11＝825 种．
m 第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cn ．
m m 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 Am．
m m m 根据分步计数原理，得到： An Cn Am
A nn 1n 2 n m 1 因此：C A m!
m n
这里
* m ，且 m、n N ，
法． 所以共有 480＋120＝600 种选法．]
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3．某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( A．4 种 C．18 种 B．10 种 D．20 种
C2 4＝6 种
)
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A．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星 D．从 13 位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地
C [从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星， 与顺序无关， 是组合问题． ]
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列 或组合数．
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[跟踪训练]
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5．某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙 两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻， 那么不同的发言顺序的种数为( A．360 B．520 ) C．600 D．720
注意： m 是一个数，应该把它与“组合”区别开来． Cn 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合个数是: C2 3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是：C4 6
组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc
例3一位教练的足球队共有17名初级学员，它们中以前没 有一人参加过比赛，按照足球比赛的规则，比赛时一个足 球队的上场队员是11人，问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场 方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门 员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例题分析 例4.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为 端点的线段共有多少条？ (2)平面内有10个点，以其中每2个点为 端点的有向线段共有多少条？ 例5.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
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[规律方法] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1．按事情发生的过程进行分步． 2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
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[解] (1)先选后排， 先选可以是 2 女 3 男， 也可以是 1 女 4 男， 共有
1 5 ＋C4 5C3种，后排有 A5种， 2 4 1 5 共(C3 C ＋ C C )· A 5 3 5 3 5＝5 400 种． 4 (2)除去该女生后，先选后排，有 C4 · A 7 4＝840 种．
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3 4 C [分两类：第一类，甲、 乙中只有一人参加， 则有 C1 C 2 5A4＝2×10×24
＝480 种选法．
4 2 3 第二类，甲、乙都参加时，则有 C2 5(A4－A2A3)＝10×(24－12)＝120 种选
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组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合． 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:
排列与元素的顺序有关，而 组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m Cn m个元素的组合数，用符号 表示.
m n
注：C =1=C =C =C
0 n
n n
m m
n+1 n+1
=...
例题分析
例1计算：⑴
C
(3) 已知
C
3 n

A
2 n
4 7
⑵
C
7 10
,求 n ．
答： (3)n=8； (4)n=10.
2．若 C2 n＝28，则 n＝( )
【导学号：95032 A．9 C．7 B．8 D．6
[基础自测] 1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
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3．某施工小组有男工 7 名，女工 3 名，现要选 1 名女工和 2 名男工去支 援另一施工小组，不同的选法有(
3 A．C10种 2 C．A1 A 3 7种
)
3 B．A10种 2 D．C1 C 3 7种
D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，
例6.在100件产品中, 有98件合格品, 2件不合格品, 从 这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少 种? (3)抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多少种?
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[规律方法] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出 的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与 顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数 公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时， 注意有无重复或遗漏．
结论：C -n。
2 n
[跟踪训练] 1．有两条平行直线 a 和 b，在直线 a 上取 4 个点，直线 b 上取 5 个点， 以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( A．70 个 B．80 个 C．82 个 ) D．84 个
1 1 2 A [分两类分别求即可，共有 C2 C ＋ C 4 5 4C5＝30＋40＝70.]
2 1 2 选女工，有 C1 种选法；第二步，选男工，有 C 种选法．故共有 C 3 7 3C7种不同
的选法．]
5．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各指 定一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有一名女生； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选. 【导学号：95032065】