二面角高三复习专题课件.ppt

H
Байду номын сангаас
G
B
故FGH即为坡面和水平面成的 二面角的平面角。FGH 30,
(2)RtEFG中： FG EF • sin 60.
(3)RtFGH中： FH FG• sin 30.
解：如图所示，FH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段FH的长度就是所求的高度.
在平面ABH内，过点H作HG⊥AB，垂足是 G，连接FG.由三垂线定理FG⊥AB.
（一）二面角
问题1: 我们是如何定量研究两平行平面的 相对位置的？
问题2: 我们应如何定量研究两个相交平面 之间的相对位置呢？
α
ι
β
立体几何中常用距离和角来定量描述 两个元素之间的相对位置.
图形 定义 构成
角
二面角
顶点 O
A 边
边B
A 棱l
B
面
面
从一点出发的两条射 从一条直线出发的两个半
线所组成的图形叫做 平面所组成的图形叫做二
ι
9
2、如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成
二面角的度数）是30度，斜坡上有一直道，它
和坡脚水平线成60度角，沿这条直道向上行走
100米后升高多少米？（精确到0.1米）
分析：
(1)确定二面角：
D
F
C
作FH ,垂足为H，
作HG AB,垂足为G,连接FG.
因为AB FG,则AB GH ,
AE
一“作”二“证”三“计算
二 面 角 二 面 角 －AB－
二 面 角 C－AB－ D
从一条直线出发的两个半 平面所1、组二成面的角图的形平叫面做角二
一、二面角的定义： 二 面 角 1－、根l－据定 义作出来 面角。这必条须直满线足叫三做个二条面件 2、利用直线和平面垂角的棱2、。二这面两角个的半平平面面角叫
通过实验发现，∠AOB的大小无法 确定，因此不能用这样的角来度量二面 角的大小.
三、继续探索，得到定义.
问题1：那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？
二面角的大小用它的平面角来度量
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角.
二面角的平面角取值范围是 [ 0°,180°）
因此，∠FGH就是坡面FGE和水平平面 ABH的二面角的平面角，∠FGH= 30
F
100m
60 0
300 H
A
E
G
B
FH=FGsin300 =EFsin600sin300 =100sin600sin300 ≈43.3(米).
答：沿直道前进100米， 升高约43.3米.
二面角的计算小结
1、找出或作出二面角的平面角 2、证明1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
作业:
1、A为二面角α– CD –β的棱CD上一点， AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与 平面β成30º，求二面角α– CD – β的大小.
作
Bα
业
CA
D
β
2、课外研究题：类比平面几何中对顶角、 内错角、同位角概念，提出立体几何中对 棱二面角、内错二面角、同位二面角的概 念，并证明它们都相等.
αa
α
问题2: 两定义的共同点是什么？ 空间角总是可以转化为平面的角，并且这个
角是唯一确定的.
问题3: 这个平面的角的顶点及两边是如何确定的？
二、提出猜想：二面角的大小也可通过平面角来定义.
问题1：这个角的顶点及两边应如何确定呢？ 顶点放在棱上，两边分别放在两个面内.
三、探索实验：
同学们可利用课本和两根铅笔作为二面角及角的模型.
p
O
α
ι
A
9
基础练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
B1 B
？ ∠A O B
l
∠A1O1B1
O1
A A1
O
9
四、自我验证.
（1）理论证明.当顶点为棱上任意一点时，由等角定理， 此角的大小是唯一确定的，因此把这个角定义为二面角的 平面角.
（2）直观检验.要求学生作出下图的平面角，并说明其 大小与两平面倾斜程度的正相关性，从而说明此定义的合 理性.
γ` P`ι
β
B`
A`
γP
B
αA
9
注： 二面角的平面角的特点：
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
A
O
l
B
A
O
B
(1)
(2)
9
求二面角的平面角方法
①点P在棱上 ——定义法 ②点P在一个半平面上 ——三垂线定理法 ③点P在二面角内——垂面法
ι
α
β
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
直作出来
做二面角的的大面小。与 其顶点
回 二、二3面、借角助三的垂线表定理示或方法在：棱上的位置无关
顾 反 思
三、二面角的平面角： 1其、逆找定到理或作作出出来二面角的3平、面它二角的面平角面的角大的小大用 2、证明 1中的角就是所求的小角来度量
四、二面3、角计算的所求平的面角 角的作法.
五、二面角的计算：
角。
面角。
边—点—边 （顶点）
面—直线—面 （棱）
表示法
∠AOB
—l—
或—AB—
请同学们举出一些二面角的实例
二面角的常用画法
A
直
立
a
式
αB β
平
α
卧
A
式a
β
B
A
a
α
B
β
α
A
a
β
B
（二）二面角的平面角
问题1: 观察以下图形，它们有什么异同？ 问题2: 能把它们的大小度量出来吗？
α
ι
β
一、类比
问题1: 我们以前碰到过类似的问题吗？ a b