创新实验班招生考试模拟试卷一

自主招生考试数学练习一

一、选择题(每小题6分, 共30分) 1.

64的算术平方根是（ ）

A ．8

B ．8- C. 22 D. 22-

2. 已知上海到美国洛杉矶的海底电缆共有15个接点。某次从上海发出一个信息时，某个接点发生故障，

为了尽快断定故障发生点，排除故障，至少需要检查的接点个数是（ ） A ． 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，若要在该纸片中剪下两个

外切的圆⊙1O 和⊙2O ，要求⊙1O 和⊙2O 的圆心均在对角线BD 上， 且⊙1O 和⊙2O 分别与BC 、AD 相切，则12O O 的长为（ ）

A ． 53cm B. 52cm C. 158

cm D. 2cm 4. 已知二次函数2

y x bx c =++的图像上有三个点1(1,)y -、2(1,)y 、3(3,)y ，若13y y =，则

（ ）

A ．

21y c y >> B. 21y c y << C. 12c y y >> D. 12c y y <<

5. 我们将123n ⨯⨯⨯⨯L 记作!n ，如：5!12345=⨯⨯⨯⨯；100!123100=⨯⨯⨯⨯L ；

若设11!22!33!20072007!S =⨯+⨯+⨯++⨯L ，则S 除以2008的余数是（ ）

A ． 0 B. 1 C. 1004 D. 2007 二、填空题(每小题6分, 共36分)

6. 在直角坐标系中，某束光线从点A (3,3)-出发，射到x 轴以后在反射到点B (2,9)，则光线从A 到B 所经过的路线长度为

7. 9位裁判给一位跳水运动员打分, 每人给的分数都是整数, 去掉一个最高分, 再去掉一个最低分, 其余

分数的平均数为该运动员的得分. 若用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数, 该运动员得分, 那么如果精确到两位小数, 该运动员得分应当是 分.

8. 如图, 在正六边形ABCDEF 内放入2008个点, 若这2008个点连同正六边形

的六个顶点无三点共线, 则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共 个.

9. 有一列数，按顺序分别表示为：123n a a a a L 、、、

、，且每一个数减去它前面

一个数的差都相等，即11221n n n n a a a a a a ----=-==-L ， 若已知157

9113()2()12a a a a a ++++=，则

1211a a a +++L = .

10. 已知可以在右侧5×5的表中的21个空格填入整数, 使得:

(1)在每横行的三个相邻的数, 最左、最右的两个数的平均值等于中间的数； (2)在每竖列的三个相邻的数, 最上、最下的两个数的平均值等于中间的数. 则表格中记有﹡号的空格的数是 .

11. 如图, 已知点F 的坐标为(0,1), 过点F 作一条直线与抛物线

2

14

y x =交于点A 和点B, 若以线段AB 为直径作圆, 则该圆

与直线1x =-的位置关系是 .

三、解答题(每小题16分, 共64分)

12. 某商铺专营A 、B 两种商品，试销一段时间后总结得到经营 利润y （万元）与投入资金x （万元）的经验公式分别是：

11,62

A B y x y x =

=。现该商铺投入10万元资金经营上述 两种商品。请求出最佳分配方案，使该商铺能够获得最大利润， 并求指出最大利润是多少万元？

﹡ 74

186 103 0

3

O 2

O 1

D

C

B

A F

E

D

C

B A

13. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为E ，并交

⊙O 于D 。 （1）求证：

PC PB

CE BE

=

； （2）若点E 是线段PA 的中点，求∠P 的度数。

14. 已知二次函数

2y ax bx c =++（,,a b c 均为实数且0a ≠）满足条件：对任意实数x 都有2y x ≥；

且当02x <<时，总有2

1(1)2

y x ≤+成立。

（1）求a b c ++的值；

（2）求a b c -+的取值范围。

15. 如图，点P (,)a b 和点Q (,)c d 是反比例函数

1

y x

=

图像上第一象限内的两个动点(a b <，a c ≠)，且始终有OP=OQ 。

（1）求证：,a

d b c ==。

（2）1P 是点P 关于y 轴的对称点，1Q 是点Q 关于x 轴的对称点，连接11PQ 分别交OP 、OQ 于点M 、N ； ①求证：PQ ∥11PQ ;

②求四边形PQNM 的面积S 能否等于8

5

？若能，求出点P 的坐标；

若不能，请说明理由。

P

D

C

O E

B

慈溪中学2008年理科创新实验班招生考试模拟试卷参考答案及评分标准

一、选择题(每小题6分, 共30分)

1、 C

2、A

3、C

4、 B

5、D 二、填空题(每小题6分, 共36分)

6、 13

7、

8、4020

9、11 10、142 11、相切 三、解答题(每小题16分, 共64分)

12、解：设投入A 种商品x 万元，投入B 种商品（10x -）万元

则总利润

111062

y x x =

+- 令10x t -=，则210x t =-，其中0t ≥ 2

211115(10)62623y t t t t ∴=-+=-++

∴当32t =时，y 有最大值，最大值为4924， 此时2

31104x t =-=，9104

x -=

即投入A 种商品314万元，投入B 种商品94万元时，所得利润最大，最大利润为49

24

万元

13、（1）证明：连接AC 、BC ，Q AB 是直径，∴∠ACB=90°，∠A+∠CBE=90° Q CD ⊥AB ∴∠CBE+∠BCE=90°∴∠A=∠BCE Q PC 是切线 ∴∠PCB=∠A ∴∠PCB=∠BCE-

∴PC PB

CE BE

=

（2）连接OC ，Q E 是线段PA 的中点，∴AE=PE

Q CD ⊥AB ，∴△ACE ≌△PCE ，∴∠P=∠A=∠PCB ∴∠ABC=2∠P=2∠A

∴2∠A+∠A=90° 得∠A=30°，∴∠P=30° 14、（1）根据题意可知：当1x =时，22y x ≥=，

且2

1(11)22

y ≤+=，∴当1x =时，2y =，即2a b c ++=

（2）Q 对任意实数x 都有2y x ≥

∴ 2

ax bx c ++2x ≥总成立，即2(2)0ax b x c +-+≥恒成立---8分

∴ 0a >， 2(2)40b ac --≤

Q 2a b c ++=⇒2()b a c -=-+

代入上式得22

20a c ac +-≤，即2()0a c -≤------------------------10分

2

()0a c ∴-=，故a c =----------------------------------------------------11分

22b a ∴=---------------------------------------------------------------------12分

当02x <<时，22

1(1)2

ax bx c x ++≤+

整理得211

()(12)022a x a x a -+-+-≤---------------------------------13分

于是2

1()(1)02a x --≤ ∴12

a ≤------------------------------------------14分