高中数学必修4三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1．根据解析式研究函数性质

例1（理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

【相关高考1】（文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫=-+

+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．

【相关高考2】（理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+

⎪⎝

⎭，1()1sin 22

g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

2．根据函数性质确定函数解析式

例2（）如图，函数π

2cos()(00)2

y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y

轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02

A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，

当0y =0ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，求0x 的值．

【相关高考1】（）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛

⎫⎛⎫=+

+--∈ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函

数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2

，求函数()y f x =的单调增区间．

（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间．

【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知角A π

=

3

，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值．

3．三角函数求值 例3（）已知cos α=71,cos(α-β)＝14

13

，且0<β<α<2π,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.

【相关高考1】（文）已知函数f (x )=

)

2

sin(42cos 2π

π+

⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且

）。

（求a f a ,5

3

cos =

【相关高考2】(理)设 f (x ) = x x 2sin 3cos 62

-（1）求f(x )的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足

323)(-=αf ，求tan α5

4

的值.

4．三角形中的函数求值

例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B

的大小；（文）（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（理）（Ⅱ）求cos sin A C +的取值围．

【相关高考1】（文）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5

A =-． （Ⅰ）求sin

B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的值．

【相关高考2】（）在ABC △中，1tan 4A =

，3

tan 5

B =．（Ⅰ）求角

C 的大小；文（Ⅱ）若AB ，

求BC 边的长．理（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．

5 三角函数与不等式

例7（文）已知函数2

π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-

⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，数m 的取值围．

6．三角函数与极值

例8（文）设函数()R x t t t x

x t x x f ∈+-++--=,4342

cos 2sin

4cos 232 其中t ≤1，将()x f 的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)讨论g (t )在区间（-1,1）的单调性并求极值.

2011三角函数集及三角形高考题

1.（2011年高考9）在ABC 中，若

1

5,,sin 4

3b B A π

=∠=

=

，则a = .

2.（2011年高考5）.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2

sin cos cos A A B +=

(A)- 12 (B) 1

2 (C) -1 (D) 1

3.（2011年全国卷1高考7）设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于

（A ）1

3 （B ）3 （C ）6 （D ）9

5.（2011年高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

()

4,p y 是角θ

终边上一点，且

sin θ=，则y=_______.

6．（2011年高考9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，

则()f x 的单调递增区间是

（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡

⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦

7．（2011高考8）在△ABC 中，222

sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值围是

（A ）(0,]6π

（B ）[,)6π

π

（C ）

(0,]

3π

（D ）[,)

3π

π

1.（2011年高考17）已知函数()4cos sin() 1.

6f x x x π

=+-

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢

⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

3. （2011年高考17） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a

B b --=

， （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1

cos ,2

4B b ==，求ABC ∆的面积S 。