多边形外角和
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提示：这个正多边形的一个内角为x 提示：这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得： 则由题图得： 3x=360° x=120° 3x=360°，x=120°. ①根据多边形的内角和公式得：n×120°=(n－2)×180°.解得 根据多边形的内角和公式得： 120°=(n－2)×180° n=6 ②每个外角60°，这个多边形的边数是：360°÷60°=6 每个外角60° 这个多边形的边数是：360°÷60° 60 °÷60
随堂练习
1.一个多边形的外角都等于60,这个多边形 是几边形?
提示：因为多边形的外角和等于360° 提示：因为多边形的外角和等于360°，所以这个多边形的边数 360 360°÷60° °÷60 是：360°÷60°=6
2.下图是三个完全相同的正多边形拼 成的无缝隙、不重叠的图形的一部分， 这种多边形是几边形？为什么？
1
A
5 E'
B'
B
2
E
4
C
3 C'
D
D'
1
A
5
B
2
A'
E'
θ α δ
E
B'
β
O γ C'
D'
C
3
4
Dபைடு நூலகம்
分析： 分析：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各 边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、 OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ； 得到∠ ∠β、∠γ、∠δ、∠θ； 则有： =∠1,∠β= 1,∠β 则有：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠γ= 3,∠δ ∠δ= 4,∠θ ∠θ= ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5； 那么： 那么： 1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠ +∠β+∠γ+∠δ+ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠α+∠β+∠γ+∠δ+∠ θ=360°
你收获了什么？
课堂小结
多边形的外角的定义 多边形的外角和的定义 多边形的外角和公式 外角和公式的应用
作业
课本： 知识技能1 课本：P130 知识技能1、2、3题 练习册： 练习册：P25
今天的课到此结束， 今天的课到此结束， 谢谢各位老师光临指导！ 谢谢各位老师光临指导！
外角和=180°X6-内角和 外角和 ° 外角和 内角和 外角和=180°X8-内角和 ° 内角和 =180°X6-180°X(6=180°X8-180°X(82) 2) ° ° ° ° =1080 -720 =1440 -1080 ° ° =360 =360
分析:设多边形的边数为n(n>3 则有： 分析:设多边形的边数为n(n>3)，则有： n(n> 外角和= ·n— 外角和=180°·n—内角和 ·n— ·(n=180°·n—180°·(n-2) ° =360 说明: 说明:
5 4 1 1 4 8
2 5
3
6
6
2
3 7
注意： 注意：n边形的外角和是从每个顶点处取这个多边形 的一个外角求和。 的一个外角求和。
想一想
还有什么方法可以推导出多边形外角和 ?
1
A
6
5
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？ ∠ ∠ ∠ ∠ ？ E ∠1+∠6=？ ∠ ？ ∠2+∠7=？ ∠ ？ ° =180 ∠3+∠8=？ ∠ ？ ∠4+∠9=？ ∠ ？ ∠5+∠10=？ ∠ ？ ° =540 ∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ ∠ ∠ ∠ ∠ ？
天明中学 八 （ 5 ）班 王海啸
温故而知新
1、多边形及其相关元素的定义 2、探索多边形内角和公式
多边形内角和=(n 多边形内角和=(n-2)·180° =( n=多边形内角和/180 n=多边形内角和/180°+2 多边形内角和
3、多边形内角和公式的应用
(1)已知边数， (1)已知边数，求内角和 已知边数 (2)已知内角和， (2)已知内角和，求边数 已知内角和 (3)在 边形中， (3)在n边形中，求其中一个未知角的度数
思考： 不是五边形的内角？ 思考：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是不是五边形的内角？
如果不是，那是什么角呢？ 如果不是，那是什么角呢？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线 一边与另一边的反向延长线所 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角 多边形的外角。 组成的角叫做这个多边形的外角。
练一练
若一个多边形的每一个外角都等于24° 若一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多 24 15 边形的边数是_____ 边形的边数是_____ 若一个多边形的每一个外角都等于30 30° 若一个多边形的每一个外角都等于30°,则它的内 角和等于_____ 角和等于_____ 1800° 72 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ ° 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一 二分之一倍 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一倍, 那么这个多边形的边数是____ 那么这个多边形的边数是____ 3 180° 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 外角和增加____ 外角和增加____ 0° 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 4 则这个多边形的边数是_____ 则这个多边形的边数是_____
3 A 2 1 3 B A 1 D
2
4
C
B
C
注意： 边形的每个内角有2个外角， 注意：n边形的每个内角有2个外角，但它们是对顶角它 们是相等的。所以，从数量上看， 边形的外角有n 们是相等的。所以，从数量上看，n边形的外角有n个。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 这个多边形的一个外角 的和叫做这个多边形的外角和。 叫做这个多边形的外角和 的和叫做这个多边形的外角和。
4、正多边形的概念及其内角和
外角是个什么东东?
清晨, 清晨,小明沿一 个五边形广场周围 的小路, 的小路,按逆时针方 向跑步。 向跑步。
A'
1、小明每从一条街道转 到下一条街道时，身体 到下一条街道时， 转过的角是哪个角？ 转过的角是哪个角？ 他每跑完一圈， 2、他每跑完一圈，身体 转过的角度之和是多少 度？ 在上图中， 3、在上图中，你能求出 ∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ 5=吗 ∠ 5=吗？你是怎样得 到的？ 到的？
例题： 例题：一个多边形的内角和等 于它的外角和的3 它是几边形？ 于它的外角和的3倍，它是几边形？ 分析： 分析：这是多边形的内角和公式 与外角和公式的简单应用.根据题意， 与外角和公式的简单应用.根据题意， 内角和=外角和x3 可列方程解答. x3， 内角和=外角和x3，可列方程解答. 边形， 解：设这个多边形是n边形，则 2)·180° 它的内角和是( 它的内角和是(n－2)·180°,外角和 等于360 360° 所以： 等于360°，所以： 2)·180°=3×360° (n－2)·180°=3×360° 解得： 解得：n=8
1
A
θ
B
2
6
δ
5
1
A
6
α' 5
B E
2
7
α β
O γ
10
7
α
O
10
E
C
8
3
9 D
4
C
8
3
9 D
4
∠α=∠α'，∠1=∠α',则 ∠α=∠α'，∠1=∠α',则∠1=∠α ,∠β ∠γ= 3,∠δ ∠δ= 4,∠θ ∠θ= 同理,∠β=∠2, ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5；
结果：∠1+∠ 2+ ∠ 3+∠ 4+∠ 5=360 ∠ 360ْ
B
2
7
10 8
3
C
9 D
4
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°X5-(∠6+∠7+∠8+∠9+∠10) ∠ ∠ ∠ ∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ =180°X5-180°X(5-2) ° ° =900 -540 ° =360
想一想
如果广场的形状是六边形、八边形， 如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似 的结论吗？它们的外角和还等于360 360° 的结论吗？它们的外角和还等于360°吗？
1、当n>3时，上面的式子对任何n都成立，也就是 n>3 上面的式子对任何n都成立， 多边形的外角和与多边形的边数无关， 说，多边形的外角和与多边形的边数无关，多边形 的外角和恒等于360 360ْ 的外角和恒等于360 边形每个外角都相等， 2、正n边形每个外角都相等，所以每个外角度数 /n =360ْ/n
随堂练习
1.一个多边形的外角都等于60,这个多边形 是几边形?
提示：因为多边形的外角和等于360° 提示：因为多边形的外角和等于360°，所以这个多边形的边数 360 360°÷60° °÷60 是：360°÷60°=6
2.下图是三个完全相同的正多边形拼 成的无缝隙、不重叠的图形的一部分， 这种多边形是几边形？为什么？
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5 E'
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θ α δ
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O γ C'
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Dபைடு நூலகம்
分析： 分析：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各 边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、 OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ； 得到∠ ∠β、∠γ、∠δ、∠θ； 则有： =∠1,∠β= 1,∠β 则有：∠α=∠1,∠β=∠2, ∠γ= 3,∠δ ∠δ= 4,∠θ ∠θ= ∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5； 那么： 那么： 1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠ +∠β+∠γ+∠δ+ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠α+∠β+∠γ+∠δ+∠ θ=360°
你收获了什么？
课堂小结
多边形的外角的定义 多边形的外角和的定义 多边形的外角和公式 外角和公式的应用
作业
课本： 知识技能1 课本：P130 知识技能1、2、3题 练习册： 练习册：P25
今天的课到此结束， 今天的课到此结束， 谢谢各位老师光临指导！ 谢谢各位老师光临指导！
外角和=180°X6-内角和 外角和 ° 外角和 内角和 外角和=180°X8-内角和 ° 内角和 =180°X6-180°X(6=180°X8-180°X(82) 2) ° ° ° ° =1080 -720 =1440 -1080 ° ° =360 =360
分析:设多边形的边数为n(n>3 则有： 分析:设多边形的边数为n(n>3)，则有： n(n> 外角和= ·n— 外角和=180°·n—内角和 ·n— ·(n=180°·n—180°·(n-2) ° =360 说明: 说明:
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注意： 注意：n边形的外角和是从每个顶点处取这个多边形 的一个外角求和。 的一个外角求和。
想一想
还有什么方法可以推导出多边形外角和 ?
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A
6
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∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？ ∠ ∠ ∠ ∠ ？ E ∠1+∠6=？ ∠ ？ ∠2+∠7=？ ∠ ？ ° =180 ∠3+∠8=？ ∠ ？ ∠4+∠9=？ ∠ ？ ∠5+∠10=？ ∠ ？ ° =540 ∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ ∠ ∠ ∠ ∠ ？
天明中学 八 （ 5 ）班 王海啸
温故而知新
1、多边形及其相关元素的定义 2、探索多边形内角和公式
多边形内角和=(n 多边形内角和=(n-2)·180° =( n=多边形内角和/180 n=多边形内角和/180°+2 多边形内角和
3、多边形内角和公式的应用
(1)已知边数， (1)已知边数，求内角和 已知边数 (2)已知内角和， (2)已知内角和，求边数 已知内角和 (3)在 边形中， (3)在n边形中，求其中一个未知角的度数
思考： 不是五边形的内角？ 思考：∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是不是五边形的内角？
如果不是，那是什么角呢？ 如果不是，那是什么角呢？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线 一边与另一边的反向延长线所 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角 多边形的外角。 组成的角叫做这个多边形的外角。
练一练
若一个多边形的每一个外角都等于24° 若一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多 24 15 边形的边数是_____ 边形的边数是_____ 若一个多边形的每一个外角都等于30 30° 若一个多边形的每一个外角都等于30°,则它的内 角和等于_____ 角和等于_____ 1800° 72 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ ° 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一 二分之一倍 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一倍, 那么这个多边形的边数是____ 那么这个多边形的边数是____ 3 180° 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 外角和增加____ 外角和增加____ 0° 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 4 则这个多边形的边数是_____ 则这个多边形的边数是_____
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注意： 边形的每个内角有2个外角， 注意：n边形的每个内角有2个外角，但它们是对顶角它 们是相等的。所以，从数量上看， 边形的外角有n 们是相等的。所以，从数量上看，n边形的外角有n个。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角， 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 这个多边形的一个外角 的和叫做这个多边形的外角和。 叫做这个多边形的外角和 的和叫做这个多边形的外角和。
4、正多边形的概念及其内角和
外角是个什么东东?
清晨, 清晨,小明沿一 个五边形广场周围 的小路, 的小路,按逆时针方 向跑步。 向跑步。
A'
1、小明每从一条街道转 到下一条街道时，身体 到下一条街道时， 转过的角是哪个角？ 转过的角是哪个角？ 他每跑完一圈， 2、他每跑完一圈，身体 转过的角度之和是多少 度？ 在上图中， 3、在上图中，你能求出 ∠1+ ∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 4+ 5=吗 ∠ 5=吗？你是怎样得 到的？ 到的？
例题： 例题：一个多边形的内角和等 于它的外角和的3 它是几边形？ 于它的外角和的3倍，它是几边形？ 分析： 分析：这是多边形的内角和公式 与外角和公式的简单应用.根据题意， 与外角和公式的简单应用.根据题意， 内角和=外角和x3 可列方程解答. x3， 内角和=外角和x3，可列方程解答. 边形， 解：设这个多边形是n边形，则 2)·180° 它的内角和是( 它的内角和是(n－2)·180°,外角和 等于360 360° 所以： 等于360°，所以： 2)·180°=3×360° (n－2)·180°=3×360° 解得： 解得：n=8
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结果：∠1+∠ 2+ ∠ 3+∠ 4+∠ 5=360 ∠ 360ْ
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想一想
如果广场的形状是六边形、八边形， 如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似 的结论吗？它们的外角和还等于360 360° 的结论吗？它们的外角和还等于360°吗？
1、当n>3时，上面的式子对任何n都成立，也就是 n>3 上面的式子对任何n都成立， 多边形的外角和与多边形的边数无关， 说，多边形的外角和与多边形的边数无关，多边形 的外角和恒等于360 360ْ 的外角和恒等于360 边形每个外角都相等， 2、正n边形每个外角都相等，所以每个外角度数 /n =360ْ/n