《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
《空间两点间的距离公式》教案
《空间两点间的距离公式》教案一、教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.三、重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.四、课时安排1课时五、教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt△P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法.。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 能够运用空间两点间的距离公式解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：空间两点间的距离公式的灵活运用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式。
2. 利用多媒体课件，直观展示空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 运用案例分析法，让学生在实际问题中运用空间两点间的距离公式。
四、教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学案例。
3. 练习题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾平面两点间的距离公式，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究空间两点间的距离公式：（1）引导学生观察空间坐标系中两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的坐标。
（2）引导学生思考如何求解AB两点的距离。
（3）引导学生利用勾股定理推导出空间两点间的距离公式。
3. 案例分析：（1）出示典型案例，让学生运用空间两点间的距离公式解决问题。
（2）引导学生总结解题步骤和注意事项。
4. 巩固练习：出示练习题，让学生独立完成，巩固空间两点间的距离公式的运用。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调空间两点间的距离公式的应用。
6. 布置作业：让学生课后总结空间两点间的距离公式的推导过程，并用所学知识解决实际问题。
六、教学拓展：1. 引导学生思考空间两点间的距离公式在现实生活中的应用，如测量身高、计算物体间的距离等。
2. 探讨空间两点间的距离公式在其他领域的应用，如计算机图形学、工程设计等。
七、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用。
2. 邀请学生上台演示空间两点间的距离公式的推导过程，并讲解其应用。
八、评价与反馈：1. 通过课堂提问、练习题和小组讨论等方式，评价学生对空间两点间的距离公式的掌握程度。
空间两点间的距离公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
所以 M2M3 = M3M1 ,
原结论成立.
【变式练习】
1.求下列两点旳距离
(1)A(2,3,5),B(3,1,4); (2)A(6,0,1),B(3,5,7).
答案： (1) 6
(2) 70
例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)
4.3.2 空间两点间旳距离公式
2023年3月俄罗斯空军特技飞行表演队在我 国著名风景区张家界市天门山进行特技表演．
为了确保安全飞行，飞行员及地面指挥员们 怎样精确拟定飞机之间旳距离？
1. 在平面直角坐标系中两点间旳距离公式是什么？ | P1P2 | (x1 - x2 )2 (y1 - y2 )2
y
y2
P2(x2, y2)
y1 P1(x1,y1) Q(x2,y1)
O x1
x2 x
长a，宽b，高c旳长方体旳对角线，怎么求？
d c b
a
d a2 b2 c2
一、探究：空间两点间旳距离公式
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到xOy平面旳距
离，怎么z求？
垂线段 旳长
d xOy z
O
zP
如图，设P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）
是空间中任意两点，且点P1（x1，y1，z1）、
P2（x2，y2，z2）
z
在xOy平面上旳射影分别为 M,N,那么M,N旳坐标为M （x1，y1，0）， N（x2，y2，
O
M1 N1
P2 P1
H
M M2
N2 y
N
0）.
x
在xOy平面上, MN = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
《空间两点间的距离公式》教学设计（优质课）一、课题：《空间两点间的距离公式》二、课型：新授课三、教材分析：空间两点间的距离公式是数学中重要的知识点，本课以《高中数学》第六册为教学内容，其中包括空间两点间的距离公式的推导过程和实际应用。
四、教学目标与要求： 1. 知识目标：能够正确理解、掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用；2. 技能目标：能够运用空间两点间的距离公式解决实际问题；3. 情感态度目标：通过本节课的学习，使学生养成独立思考、勤奋学习的习惯，努力提高自己的数学水平。
五、教学重难点： 1. 教学重点：掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用； 2. 教学难点：解决实际问题时，如何正确运用空间两点间的距离公式。
六、教学准备： 1. 教学用书：《高中数学》第六册； 2. 教学辅助材料：彩色粉笔、白板笔、尺子； 3. 教学器材：投影仪、电脑等。
七、教学方法：任务型教学法八、教学过程：（一）导入： 1. 以游戏的形式，引入“空间两点间的距离公式”的概念，让学生能够体会到空间距离的含义； 2. 指出空间两点间的距离公式的重要性，引起学生的兴趣，为下文的学习做好铺垫。
（二）讲授： 1. 讲解空间两点间的距离公式的推导过程； 2. 举例说明空间两点间的距离公式的实际应用。
（三）操作： 1. 将空间两点间的距离公式在黑板上写出，让学生熟悉公式； 2. 结合实际例题，让学生练习计算空间两点间的距离。
（四）巩固： 1. 挑选部分学生来答题，检查学生掌握空间两点间的距离公式的程度； 2. 引导学生结合实际问题，利用空间两点间的距离公式解决问题。
（五）总结： 1. 总结本节课的学习内容； 2. 提醒学生要经常复习，加深印象，以便更好地理解和掌握空间两点间的距离公式。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间直角坐标系【教学目标】1. 了解空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中点的坐标表示；2. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式。
【导入新课】问题导入我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示。
那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？新授课阶段1.空间直角坐标系的建立点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标。
如果给定了有序实数组),,(z y x ，它对应着空间直角坐标系中的一点。
反之亦然。
空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。
例1点M （－2，4，5）在xoy 平面 ，yoz 平面， xoz 平面上的射影分别是（ ）A ．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0）B ．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5）C ．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5）D ．（0，4，0）， （－2，0，0），（0，4，0）【解析】 因为xoy 平面内的点，z =0．因此答案选择B 。
【答案】B2.空间中两点间的距离公式类比平面内的两点间的距离公式在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB |=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式如何？空间中任意点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=例2 已知球心C （1，1，2），球的一条直径的一个端点为A （－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案李浪（一）教学目标1．知识与技能：使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计 教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离的公式为|AB |=221212()()x x y y -+-，那么对于空间中任意两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离的公式会是怎样呢你猜猜师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成 （2）空间中任一点P(x ，y ，z )到原点之间的距离公式会是怎样呢师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离先推导特殊情况下空间推导一般情况下的空间|OP |=222x y z ++.概念深化（3）如果|OP |是定长r ，那么x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x 2+y 2=r 2表示的图形中，方程x 2+y 2=r 2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x 2+y 2=r 2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P 1(x 1，y 1，z 1)到点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P 1P 2|=222121212()()()x x y y z z -+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A 、B 两点，再求它们之间的距离：1）A (2，3，5)，B (3，教师引导学生作答 1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M 的坐标是(0，培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理1，4)；2）A (6，0，1)，B (3，5，7)2．在z 轴上求一点M ，使点M 到点A (1，0，2)与点B (1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A (10，–1，6)，B (4，1，9)，C (2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D ′A ′B′C ′的棱长为a ，|AN |=2|CN |，|BM |=2|MC ′|.求MN 的长.0，z ).依题意，得22(01)0(2)z -++-=222(01)(03)(1)z -+++-.解得z =–3.所求点M 的坐标是(0，0，–3).3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(42)(14)(93)7BC =-+-+-=， 222||(102)(14)(63)98AC =-+--+-=.因为7+7＞98，且|AB |=|BC |，所以△ABC 是等腰三角形.4．解：由已知，得点N 的坐标为2(,,0)33a a， 点M 的坐标为2(,,)33a a a ，于是解课外练习布置作业练习册学生独立完成巩固深化所学（1） 空间两点间的距离公式是什么（2） 空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么 （3） 如何利用坐标法来解决一些几何问题【解析】由题意设A (0，y ，0)= 解得：y =0或y =2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2已知点A （1，-2,11）B （4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。
北师大版高中必修23.3空间两点间的距离公式课程设计
北师大版高中必修23.3空间两点间的距离公式课程设计一、课程设计目的本课程设计旨在帮助高中学生掌握空间两点间的距离公式，提高学生的数学运算能力和实际应用能力。
二、设计思路和内容1. 知识点概述本课程设计涉及到的知识点包括：•空间直角坐标系•向量的概念和运算法则•点积与向量之间的关系•两点间距离公式的推导和应用2. 教学活动设计2.1 知识点概述的讲解首先，老师可以通过讲解PPT或黑板，对本课程设计中涉及到的知识点进行简要概述和讲解。
通过直观的图形和具体的实例，帮助学生建立相关的概念和基础知识。
2.2 分组探究接下来，老师可以将学生分成若干小组。
每个小组根据所分配到的题目，利用自主探究和合作探讨的方式，深入理解和掌握本课程设计中的知识点，并在小组内互相讨论和交流。
2.3 案例讲解随后，老师可以通过介绍实际案例，引导学生运用所学知识点解决实际问题。
通过实例，让学生感受到所学知识的实际运用，提高其实际应用能力。
3. 课程设计评估为了确保本课程设计的有效性和学生能够全面地掌握所学知识点，老师可以通过测试的方式进行课程设计评估。
测试题目可以覆盖本课程设计所涉及到的知识点，以检验学生对知识的掌握情况。
三、课程实施本课程的实施方式可以根据具体情况灵活安排。
一下是一个可能的实施计划：时间内容1学时知识点概述及基础理论讲解2-3学时学生小组探究及讨论4学时案例分析及实践操作5学时课程测试和讲评四、课程设计总结通过本课程设计，学生可以了解空间两点间的距离公式的推导过程和运用方法，在实际生活中对距离有了更加深入的理解。
同时，也可以提高学生的数学计算和实际应用能力。
为将来的学习和工作打下坚实的基础。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用。
教学重点：空间两点的距离公式的推导。
教学难点：空间两点的距离公式的熟练应用。
教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点的距离公式？2. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、讲授新课：1. 空间两点的距离公式（1）已知两点M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2)，求此两点间的距离d 。
如图7-5所示，ΔM 1PQ 和ΔMQM 2都是直角三角形，根据勾股定理,222121)()(QM Q M M M d +== 22121)()()( PQ P M Q M +=和, )( 21d Q M 代入把 22221)()()( QM PQ P M d ++=得。
12121, x x PQ y y P M -=-=又因, 122z z QM -=，从而得两点的距离公式:212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=。
思考：1）点M （x ，y ，z ）于坐标原点O （0，0，0）的距离？ 2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2。
讨论：如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？（2）例题1：求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离。
练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离（3）思考：1.在z 轴上求与两点 A (-4, 1, 7)和B (3, 5, -2)等距离的点。
2. 试在xoy 平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等。
三.巩固练习：1．150P 练习 1 32．已知三角形的顶点为A （1，2，3），B （7，10，3）和C （-1，3，1）。
空间两点间的距离公式 说课稿 教案 教学设计
空间两点间的距离公式【教学目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.【重点难点】教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.【课时安排】1课时【教学过程】导入新课我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x=1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3||||==33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案教案标题：空间两点间的距离公式教案教案目标：1. 理解空间中两点之间的距离概念；2. 学习并掌握空间两点间的距离公式；3. 运用距离公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、书籍、练习题；2. 学生准备：纸、铅笔、计算器。
教学过程：步骤一：导入新知识1. 利用投影仪或黑板绘制一个空间坐标系，引导学生回顾平面坐标系的概念和用法。
2. 引导学生思考，空间中两点之间的距离是否与平面上两点之间的距离有何不同。
步骤二：引入距离公式1. 通过教学PPT或书籍，向学生介绍空间两点间的距离公式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。
2. 解释公式中各符号的含义：(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两点的坐标，d 表示两点之间的距离。
3. 指导学生通过几个示例计算实际距离，加深对公式的理解。
步骤三：练习与巩固1. 分发练习题，让学生独立或合作完成。
2. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但同时要提醒他们理解公式的原理和计算步骤。
3. 收集学生的答案，进行讲评，解答学生可能存在的疑惑。
步骤四：拓展应用1. 引导学生思考，如何应用距离公式解决实际问题，例如计算两个建筑物之间的距离、飞机的飞行距离等。
2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。
3. 鼓励学生在解决问题的过程中运用创造性思维，提出自己的解决方案。
步骤五：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调空间两点间距离公式的重要性和应用价值。
2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续巩固和拓展所学知识。
教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量与计算，验证空间两点间的距离公式的准确性。
2. 引导学生探索其他空间几何问题，如点到平面的距离、线段长度等，并引入相关公式。
教学反思：本节课通过引入空间两点间的距离公式，帮助学生理解和应用该公式解决实际问题。
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式
人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标：1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。
3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 空间两点间的距离公式的推导。
2. 空间两点间的距离公式的应用。
三、教学难点：1. 空间两点间的距离公式的理解。
2. 空间两点间的距离公式的灵活运用。
四、教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示空间两点间的距离公式及相关例题。
2. 学生准备笔记本，记录教学内容和解题步骤。
五、教学过程：1. 引入新课：通过简单的实例，引导学生思考空间两点间的距离如何计算。
2. 推导公式：引导学生通过几何图形的分析，推导出空间两点间的距离公式。
3. 讲解公式：解释空间两点间的距离公式的含义，解释各个变量的意义。
4. 例题讲解：通过具体的例题，讲解如何应用空间两点间的距离公式进行计算。
5. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固对空间两点间的距离公式的理解和应用。
6. 总结归纳：对本次课程的内容进行总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生进一步巩固所学内容。
六、教学拓展：1. 通过多媒体展示空间几何体的图像，帮助学生更好地理解空间两点间的距离公式。
2. 引导学生思考空间两点间的距离公式在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。
七、课堂互动：1. 教师提出问题，引导学生思考并回答空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 学生分组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用方法。
3. 教师选取学生的回答进行点评和指导，帮助学生巩固知识点。
八、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：评价学生对空间两点间的距离公式的应用能力。
3. 作业：评价学生对空间两点间的距离公式的巩固和运用情况。
九、课后作业：1. 复习空间两点间的距离公式，巩固知识点。
2. 完成一些相关的习题，提高对空间两点间的距离公式的应用能力。
两点间距离公式市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
两点间距离公式教案教案概述：本教案旨在帮助学生理解两点间距离的概念，并学习计算两点间距离的公式。
通过多种实际例题和练习，使学生能够熟练运用距离公式解决与点距离相关的问题。
教学目标：1. 理解两点间距离的概念。
2. 掌握计算两点间距离的公式。
3. 能够通过公式解决与点距离相关的问题。
教学步骤：步骤一：引入知识（10分钟）1. 引导学生回顾直角坐标系的概念和使用方法。
2. 提问学生：在直角坐标系中，如何计算两点之间的距离？3. 介绍本节课的学习目标。
步骤二：讲解两点间距离的概念（10分钟）1. 定义两点间距离为两点之间的直线距离。
2. 给出几个示例，通过直角坐标系计算两点之间的距离。
3. 引导学生发现两点间距离的特点。
步骤三：导出两点间距离公式（15分钟）1. 以直角三角形为例，引导学生利用勾股定理推导出两点间距离公式。
2. 讲解公式的含义和使用方法。
3. 提供一些实际例题，帮助学生熟练掌握公式的应用。
步骤四：巩固练习（15分钟）1. 提供一系列练习题，包括计算两点间距离和判断两点间距离大小等。
2. 让学生在课堂上独立完成练习，并及时给予指导和反馈。
3. 批改练习题，检查学生的掌握程度。
步骤五：拓展应用（10分钟）1. 提供一些与两点间距离相关的实际问题，如航空器飞行路径的计算等。
2. 引导学生将所学知识应用于实际情境中解决问题。
步骤六：总结与评价（10分钟）1. 提问学生：你认为两点间距离的公式有什么应用？2. 汇总学生的回答，进一步讨论距离公式的应用范围。
3. 总结本节课所学内容，并评价学生的学习情况。
教学延伸：1. 鼓励学生自主探索两点间距离公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。
2. 提供更多实际应用场景，让学生发现距离公式在不同领域的运用。
教学评估：1. 在课堂上观察学生对知识的理解和应用情况。
2. 批改练习题和作业，检查学生对两点间距离公式的掌握程度。
3. 回顾学生的回答并评价课堂表现。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解空间两点间的距离公式的推导过程；（2）掌握空间两点间的距离公式的应用；（3）培养空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入空间两点间的距离问题；（2）引导学生参与公式的推导过程，培养学生的探究能力；（3）运用公式解决实际问题，提高学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间两点间的距离公式的推导过程；（2）空间两点间的距离公式的应用。
2. 教学难点：（1）空间两点间的距离公式的推导；（2）空间想象能力和逻辑思维能力的培养。
三、教学过程1. 导入新课：（1）利用实例引入空间两点间的距离问题；（2）引导学生思考如何计算空间两点间的距离。
2. 探究与交流：（1）分组讨论，引导学生参与公式的推导过程；（2）展示推导过程，讲解公式及其含义；（3）让学生运用公式计算实例中的空间两点间距离。
3. 巩固练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）挑选学生进行讲解，评价其解题过程；（3）针对学生存在的问题进行讲解和辅导。
四、课堂小结2. 强调空间想象能力和逻辑思维能力在解题中的重要性；3. 激发学生对下一节课内容的兴趣。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固空间两点间的距离公式的应用；2. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。
六、教学策略1. 实例导入：通过现实生活中的实例，如测量两地间的距离、判断物体间的位置关系等，引出空间两点间的距离问题。
2. 合作学习：组织学生分组讨论，共同探究空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 直观教学：利用模型、图片等直观教具，帮助学生建立空间形象，理解空间两点间的距离概念。
4. 练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中掌握空间两点间的距离公式的应用。
数学《空间两点间的距离公式》教案
数学《空间两点间的距离公式》教案教学目标：1. 掌握空间两点间的距离公式推导和运用。
2. 能够用公式计算空间两点间的距离。
教学重点：掌握空间两点间的距离公式推导和运用。
教学难点：如何运用公式计算空间两点间的距离。
教学过程：一、引入问题教师向学生提出问题：小明从学校里走到家里，走了多远？学生思考后，可能有不同的答案，有的学生可能会说：“我不知道，学校到家里的路线不同，走的距离也不一样。
”这时教师提出两个问题：1. 学校和家在平面内的情况，如何确定小明走的距离？2. 学校和家不在一个平面内的情况，如何确定小明走的距离？二、引入概念教师引导学生思考，提出一些问题：1. 对于平面上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离如何计算？2. 对于空间中两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离如何计算？引入概念：空间两点间的距离公式三、推导过程教师通过展示幻灯片或板书的方式，给学生讲解推导过程：在三维空间中，两点的坐标为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，它们之间的距离AB可以表示为：AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]四、示例练习1. 已知A(-2, 3, 1)和B(3, -1, 4)，求AB的长度。
解：AB = √[(3 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2 + (4 - 1)^2] = √(25 + 16 + 9) = √50 = 5√22. 已知A(1, 0, -2)和B(1, -4, 3)，求AB的长度。
解：AB = √[(1 - 1)^2 + (-4 - 0)^2 + (3 - (-2))^2] = √(0 + 16 + 25) = √41五、课堂练习1. 已知点A(-2, 1, 4)和点B(5, 3, -2)，求它们之间的距离。
2. 已知点A(0, 2, 3)和点B(1, -1, 2)，求它们之间的距离。
空间两点间的距离公式教案
空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解空间两点间的距离公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 培养学生运用空间两点间的距离公式解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间两点间的距离公式的定义和表达式。
2. 空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 空间两点间的距离公式的应用实例。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程，应用实例。
2. 教学难点：空间两点间的距离公式的推导过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式的推导过程。
2. 利用几何模型和实物模型，帮助学生形象直观地理解空间两点间的距离公式。
3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固空间两点间的距离公式的应用。
五、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引入空间两点间的距离公式的概念。
2. 新课：讲解空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程。
3. 应用：提供一些实际问题，让学生运用空间两点间的距离公式进行解决。
4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固空间两点间的距离公式的应用。
5. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。
6. 作业：布置一些作业题，让学生进一步巩固空间两点间的距离公式的应用。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对空间两点间距离公式的理解和掌握程度。
2. 练习题：布置一些针对性强的练习题，评估学生对空间两点间距离公式的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中解决问题的能力。
七、教学资源：1. 几何模型：使用三维几何模型，帮助学生直观理解空间两点间的距离。
2. 教学软件：利用多媒体教学软件，展示空间两点间的距离公式的推导过程。
3. 练习题库：准备一定量的练习题，供学生课后巩固所学知识。
八、教学拓展：1. 空间几何其他知识点：引导学生探索空间几何其他知识点，如空间角度、立体几何等。
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能使学生掌握空间两点间的距离公式2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入在平面上任意两点A(x1，y1)，B (x2，y2)之间的距离的公式为|AB|=221212()()x x y y-+-，那么对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B (x2，y2，z2)之间的距离的公式会是怎样呢？你猜猜？师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答通过类比，充分发挥学生的联想能力。
概念形成（2）空间中任间一点P (x，y，z)到原点之间的距离公式师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用从特殊的情况入手，化解难度由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式会是怎样呢？勾股定理来完成学生：在教师的指导下作答得出|OP|=222x y z++.概念深化（3）如果|OP| 是定长r，那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形？师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程x2+ y2 = r2表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点P1(x1，y1，z1)到点P2 (x2，y2，z2)之间的距离公式是怎样呢？师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：|P1P2| =222121212()()()x x y y z z-+-+-人的认识是从特殊情况到一般情况的巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3，1，4)；教师引导学生作答1．解析（1）6，图略（2）70，图略2．解：设点M的坐标是(0，0，z).依题意，得培养学生直接利用公式解决问题能力，进一步加深理解（2）A (6，0，1)，B(3，5，7)2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =2|CN|，|BM| =2|MC′|.求MN的长.22(01)0(2)z-++-=222(01)(03)(1)z-+++-.解得z = –3.所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得222||(104)(11)(69)7AB=-+--+-=222||(42)(14)(93)7BC=-+-+-=，222||(102)(14)(63)98 AC=-+--+-=. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.4．解：由已知，得点N的坐标为2(,,0)33a a，点M的坐标为2(,,)33a aa，于是22222||()()(0)33335.3a a a aMN aa=-+-+-=课外练习布置作业见习案4.3的第二课时学生独立完成巩固深化所学知识备选例题例1 已知点A在y轴，点B(0，1，2)且||5AB=，则点A的坐标为.【解析】由题意设A(0，y，0)，则2(1)45y-+=，解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A(3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.【解析】由题意设P(0，y，z)，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得：11y z =⎧⎨=⎩故点P 的坐标为(0，1，1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩，所以12y z =⎧⎨=-⎩，所以P 的坐标是(0，1，–2).。
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空间两点间的距离公式
（一）教学目标
1．知识与技能
使学生掌握空间两点间的距离公式
2．过程与方法
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式；
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入在平面上任意两点A(x1，y1)，
B (x
2
，y2)之间的距离的公式
为|AB|
=22
1212
()()
x x y y
-+-，那么对
于空间中任意两点A(x1，y1，
z
1
)，B (x2，y2，z2)之间的距
离的公式会是怎样呢？你猜
猜？
师：只需引导学生大胆猜测，是否正
确无关紧要。
生：踊跃回答
通过类比，充分发
挥学生的联想能
力。
概念形成
（2）空间中任间一点P (x，
y，z)到原点之间的距离公式
师：为了验证一下同学们的猜想，我
们来看比较特殊的情况，引导学生用
从特殊的情况入
手，化解难度由平面上两点间
的距离公式，引
入空间两点距离
公式的猜想
先推导特殊情况
下空间两点间的
距离公式
推导一般情况下
的空间两点间的
距离公式
会是怎样呢？勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答得出|OP|
=222
x y z
++.
概念深化（3）如果|OP| 是定长r，那
么x2 + y2 + z2 = r2表示什么
图形？
师：注意引导类比平面直角坐标系中，
方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方
程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有
种回归感。
生：猜想说出理由
任何知识的猜想
都要建立在学生
原有知识经验的
基础上，学生可以
通过类比在平面
直角系中，方程x2
+ y2 = r2表示原点
或圆，得到知识上
的升华，提高学习
的兴趣。
（4）如果是空间中任间一点
P
1
(x1，y1，z1)到点P2 (x2，
y
2
，z2)之间的距离公式是怎
样呢？
师生：一起推导，但是在推导的过程
中要重视学生思路的引导。
得出结论：
|P1P2| =
222
121212
()()()
x x y y z z
-+-+-
人的认识是从特
殊情况到一般情
况的
巩固练习
1．先在空间直角坐标系中标
出A、B两点，再求它们之间
的距离：
（1）A(2，3，5)，B(3，1，
4)；
教师引导学生作答
1．解析（1）6，图略
（2）70，图略
2．解：设点M的坐标是(0，0，z).
依题意，得
培养学生直接利
用公式解决问题
能力，进一步加深
理解
（2）A (6，0，1)，B(3，5，7)
2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.
3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.
4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =
2|CN|，
|BM| =
2|MC′|.求MN的长.
22
(01)0(2)
z
-++-=
222
(01)(03)(1)
z
-+++-.
解得z = –3.
所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得
222
||(104)(11)(69)7
AB=-+--+-=
222
||(42)(14)(93)7
BC=-+-+-=，
222
||(102)(14)(63)98 AC=-+--+-=. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.
4．解：由已知，得点N的坐标为
2
(,,0)
33
a a，
点M的坐标为2
(,,)
33
a a
a，于是
222
22
||()()(0)
3333
5
.
3
a a a a
MN a
a
=-+-+-
=
课外练习
布置作业见习案4.3的第二
课时
学生独立完成巩固深化所学知
识
备选例题
例1 已知点A在y轴，点B(0，1，2)且||5
AB=，则点A的坐标为.
【解析】由题意设A(0，y，0)，则2
(1)45
y-+=，
解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)
例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A(3，2，
5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.
【解析】由题意设P(0，y，z)，则
222222
2
(03)(2)(5)(03)(5)(2)
y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得：1
1
y z =⎧⎨=⎩
故点P 的坐标为(0，1，1)
例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.
【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩
所以==即4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩，所以12y z =⎧⎨=-⎩，
所以P 的坐标是(0，1，–2).。