《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)

空间两点间的距离公式

（一）教学目标

1．知识与技能

使学生掌握空间两点间的距离公式

2．过程与方法

3．情态与价值观

通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点

重点：空间两点间的距离公式；

难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

（三）教学设计

教学

环节

教学内容师生互动设计意图

复习引入在平面上任意两点A(x1，y1)，

B (x

2

，y2)之间的距离的公式

为|AB|

=22

1212

()()

x x y y

-+-，那么对

于空间中任意两点A(x1，y1，

z

1

)，B (x2，y2，z2)之间的距

离的公式会是怎样呢？你猜

猜？

师：只需引导学生大胆猜测，是否正

确无关紧要。

生：踊跃回答

通过类比，充分发

挥学生的联想能

力。

概念形成

（2）空间中任间一点P (x，

y，z)到原点之间的距离公式

师：为了验证一下同学们的猜想，我

们来看比较特殊的情况，引导学生用

从特殊的情况入

手，化解难度由平面上两点间

的距离公式，引

入空间两点距离

公式的猜想

先推导特殊情况

下空间两点间的

距离公式

推导一般情况下

的空间两点间的

距离公式

会是怎样呢？勾股定理来完成

学生：在教师的指导下作答得出|OP|

=222

x y z

++.

概念深化（3）如果|OP| 是定长r，那

么x2 + y2 + z2 = r2表示什么

图形？

师：注意引导类比平面直角坐标系中，

方程x2 + y2 = r2表示的图形中，方

程x2 + y2 = r2表示图形，让学生有

种回归感。

生：猜想说出理由

任何知识的猜想

都要建立在学生

原有知识经验的

基础上，学生可以

通过类比在平面

直角系中，方程x2

+ y2 = r2表示原点

或圆，得到知识上

的升华，提高学习

的兴趣。

（4）如果是空间中任间一点

P

1

(x1，y1，z1)到点P2 (x2，

y

2

，z2)之间的距离公式是怎

样呢？

师生：一起推导，但是在推导的过程

中要重视学生思路的引导。

得出结论：

|P1P2| =

222

121212

()()()

x x y y z z

-+-+-

人的认识是从特

殊情况到一般情

况的

巩固练习

1．先在空间直角坐标系中标

出A、B两点，再求它们之间

的距离：

（1）A(2，3，5)，B(3，1，

4)；

教师引导学生作答

1．解析（1）6，图略

（2）70，图略

2．解：设点M的坐标是(0，0，z).

依题意，得

培养学生直接利

用公式解决问题

能力，进一步加深

理解

（2）A (6，0，1)，B(3，5，7)

2．在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，–3，1)的距离相等.

3．求证：以A(10，–1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.

4．如图，正方体OABD–D′A′B′C′的棱长为a，|AN| =

2|CN|，

|BM| =

2|MC′|.求MN的长.

22

(01)0(2)

z

-++-=

222

(01)(03)(1)

z

-+++-.

解得z = –3.

所求点M的坐标是(0，0，–3). 3．证明：根据空间两点间距离公式，得

222

||(104)(11)(69)7

AB=-+--+-=

222

||(42)(14)(93)7

BC=-+-+-=，

222

||(102)(14)(63)98 AC=-+--+-=. 因为7+7＞98，且|AB| = |BC|，所以△ABC是等腰三角形.

4．解：由已知，得点N的坐标为

2

(,,0)

33

a a，

点M的坐标为2

(,,)

33

a a

a，于是

222

22

||()()(0)

3333

5

.

3

a a a a

MN a

a

=-+-+-

=

课外练习

布置作业见习案4.3的第二

课时

学生独立完成巩固深化所学知

识

备选例题

例1 已知点A在y轴，点B(0，1，2)且||5

AB=，则点A的坐标为.

【解析】由题意设A(0，y，0)，则2

(1)45

y-+=，

解得：y = 0或y = 2，故点A的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)

例2 坐标平面yOz上一点P满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A(3，2，

5)，B(3，5，2)的距离相等，求点P的坐标.

【解析】由题意设P(0，y，z)，则