二项式定理与杨辉三角
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k n
③二项式系数:
C ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1 C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
一.复习:杨辉三角的基本性质 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n! r r+1个数是 C
n
r !( n r )!
r 1 n 1
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
C C
r n
C
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
[( x 1) 1]
4
x
4
研究性课题：
杨辉三角
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等，且同时取得最大值。
n 1 2 n n 2 n
C
n 1 2 n
二项式系数的性质
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
二项式系数的性质 ②增减性与最大值 n ( n 1 )( n 2 ) ( n k 1 ) n k 1 k k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k n k 1 n 1 由： 1 k k 2 n 1 即二项式系数前半部分 可知，当 k 时， 2
C
1 （第1条斜线 ） n 2 1＋2＋3＋ ．．．＋ 1 ＝ （第2条斜线 ） n n 1 3 2 1＋3＋6＋ ．．．＋ ＝ （第3条斜线 ） n n 1 4 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ （第4条斜线 ） n n 1
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝
C
(n>r)
?
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
n n
4 4 4
则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数 1 3 1 为： C4 2 32 ，二项式系数为： C4 4
变式练习
化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
1 原式 C40 ( x 1)4 C4 ( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43 ( x 1) C44
(a b) C ?a C a
n
0 n n nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
1 n 1 n
( b) C a
k n
n k
( b)
k
C ( b)
n
n
(1 x ) ? C C x C x C x
0 n 1 n k n k
n n n
定理 (a b) C a C a b C a b C b
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内 跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终 小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区 奖品低于中间区奖品？ “概率三角形”
1 1
1 2
1 4 1 8 3 8
2 4
1 2 1 4 3 8
1 8
照这样计算第n+1层有n+1个通道， 弹子通过各通道的概率将是？ 与杨辉三角有何关系？
3.杨辉三角与“纵横路线图”
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， 数的和等于： 2n
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
C C C C 2 1 这是组合总数公式．
r n 1
3）杨辉三角具有对称性
n 0 n n 1 n 1 1 n
C C
r n
r n r r n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开 式的二项式系数即
n r n
(a b) C a C a b C a b C b
n n n
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
0 n 2 n 1 n 3 n
二.引入: 1. 斐波那契“兔子繁殖问题”: 中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
杨 辉 三 角
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n n n …… … …
1+1+1+1+1+1=6 C
第二条斜线上： 1+2+3+4+5=15 C
1 6
2 6 3 6
1+3+6+10=20 C 第三条斜线上： 第四条斜线上：1+4+10=15 C 64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C C C C C r r r r r 1 C r C r 1 C r 2 C n 1 C n
A
B
从某种意义上说,
发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 4 1 20=10+10 6 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品低于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？
……
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
1 n 2 n 3 n n n n
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明： n 0 n 1 n 1 r nr r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 在二项式定理中，令
即 C C
r r r r 1
C
r r 2
C
r n 1
C
r 1 n
(n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
1 2 n r 1 n r 1 即 Cr0 Cr Cn ( n r ) 1 Cr 2 Cn 1
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
①项数： 共有n＋1项 ②次数： 各项的次数都等于n，
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
n
从函数角度看，Cr n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
n 0 n n
1 n
1 n1 n
2 n
r n r r n
n n n
剖 析
4
1.二项式系数规律：
0 n
C 、C 、C 、 、C
(2 x) C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C x
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 1 3 4
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.若a=2, b=x :
r n r 1 n 1
C C C …… …… 2 r n 2 r 1 1 … C C C C n 1 n 1 … n 1 第n-1行 1 C n 1 n 1 r n 1 2 1 … … Cn Cn 第 n行 1 C n C n …… … …
r n 1
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
③二项式系数:
C ( k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1 C a b
k n k k n
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
r r 1 r Cn Cn C 1 n 1
一.复习:杨辉三角的基本性质 1）表中每个数都是组合数，第n行的第 n! r r+1个数是 C
n
r !( n r )!
r 1 n 1
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
C C
r n
C
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
[( x 1) 1]
4
x
4
研究性课题：
杨辉三角
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等，且同时取得最大值。
n 1 2 n n 2 n
C
n 1 2 n
二项式系数的性质
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
二项式系数的性质 ②增减性与最大值 n ( n 1 )( n 2 ) ( n k 1 ) n k 1 k k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k n k 1 n 1 由： 1 k k 2 n 1 即二项式系数前半部分 可知，当 k 时， 2
C
1 （第1条斜线 ） n 2 1＋2＋3＋ ．．．＋ 1 ＝ （第2条斜线 ） n n 1 3 2 1＋3＋6＋ ．．．＋ ＝ （第3条斜线 ） n n 1 4 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ （第4条斜线 ） n n 1
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝
C
(n>r)
?
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
n n
4 4 4
则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数 1 3 1 为： C4 2 32 ，二项式系数为： C4 4
变式练习
化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
1 原式 C40 ( x 1)4 C4 ( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43 ( x 1) C44
(a b) C ?a C a
n
0 n n nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
1 n 1 n
( b) C a
k n
n k
( b)
k
C ( b)
n
n
(1 x ) ? C C x C x C x
0 n 1 n k n k
n n n
定理 (a b) C a C a b C a b C b
议一议
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内 跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终 小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区 奖品低于中间区奖品？ “概率三角形”
1 1
1 2
1 4 1 8 3 8
2 4
1 2 1 4 3 8
1 8
照这样计算第n+1层有n+1个通道， 弹子通过各通道的概率将是？ 与杨辉三角有何关系？
3.杨辉三角与“纵横路线图”
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
n
(a b) 的展开式的各二项式系 这就是说， 数的和等于： 2n
同时由于C0 n 1，上式还可以写成：
C C C C 2 1 这是组合总数公式．
r n 1
3）杨辉三角具有对称性
n 0 n n 1 n 1 1 n
C C
r n
r n r r n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开 式的二项式系数即
n r n
(a b) C a C a b C a b C b
n n n
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
0 n 2 n 1 n 3 n
二.引入: 1. 斐波那契“兔子繁殖问题”: 中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
杨 辉 三 角
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 1 4 6 20=10+10 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n n n …… … …
1+1+1+1+1+1=6 C
第二条斜线上： 1+2+3+4+5=15 C
1 6
2 6 3 6
1+3+6+10=20 C 第三条斜线上： 第四条斜线上：1+4+10=15 C 64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
C C C C C r r r r r 1 C r C r 1 C r 2 C n 1 C n
A
B
从某种意义上说,
发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第 0行 1 第 1行 1 1 第 2行 1 2 1 6=3+3 4=1+3 第 3行 1 3 3 1 10=6+4 10=6+4 第 4行 1 4 4 1 20=10+10 6 15=5+10 第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品低于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？
……
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
1 n 2 n 3 n n n n
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明： n 0 n 1 n 1 r nr r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 在二项式定理中，令
即 C C
r r r r 1
C
r r 2
C
r n 1
C
r 1 n
(n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
1 2 n r 1 n r 1 即 Cr0 Cr Cn ( n r ) 1 Cr 2 Cn 1
二项式定理
(a b) C a C a b C a
n 0 n n k n 1 n 1 n n k k
b C b (n N )
n n n *
①项数： 共有n＋1项 ②次数： 各项的次数都等于n，
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
n
从函数角度看，Cr n 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是： 0,1,2,, n
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
二项式系数的性质
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
n 0 n n
1 n
1 n1 n
2 n
r n r r n
n n n
剖 析
4
1.二项式系数规律：
0 n
C 、C 、C 、 、C
(2 x) C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C x
0 4 4 1 3 4 2 2 2 4 3 1 3 4
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.若a=2, b=x :
r n r 1 n 1
C C C …… …… 2 r n 2 r 1 1 … C C C C n 1 n 1 … n 1 第n-1行 1 C n 1 n 1 r n 1 2 1 … … Cn Cn 第 n行 1 C n C n …… … …
r n 1
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：