《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计

《椭圆及其标准方程（第一课时）》教学设计
一．教材及学情分析：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修1－1第二章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时．
在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．
在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形．在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题．由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用．
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等．因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值．
根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，用几何画板的动态作图优势为学生的数学探究与数学思维提供支持．
二．教学目标：
1．知识与技能目标：
①理解椭圆的定义
②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力
2．过程与方法目标：
①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力
②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程——解析法
③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：
①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识
②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣
③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风
④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美
意义建构圆
的
定
义
亮、最完美的的一个椭圆呢
教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同用给的工具画出图
形，与上述图形相似——椭圆。

学生分组试验:(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的
两点、；(3)用铅笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察
画出的图形是什么（教师巡视指导，展示学生成果）
问：哪些量是固定的、不变的哪些量是变化的
[学生讨论、作答]
问：椭圆如何定义
[学生讨论、作答]
形成概念：到两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭
圆。

问：要想用上面那句话作为椭圆的定义，要保证它足够严密、经得起推
敲．那么，这个常数可以是任意正实数吗有什么限制条件吗
引导学生回答：点的距离小于绳子的长即，
从而意识到在“定义”中需要加上“常数>”的限制．
深化问题：若常数=或常数<,情况会发生什么变化
（学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果）
引导学生应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边”、“两
点之间线段最短”为理论依据。

是为了给学生一个
动手实验的机会，让
学生体会椭圆上点
的运动规律；二是通
过实践思考，为进一
步上升到理论做准
备
注重概念形成过程，
通过让学生亲自动
手，培养学生的观
察、归纳、概括能力。

通过学生观察、思
考、讨论，概括出椭
圆的定义，让学生全
程参与概念的探究
过程，加深理解，提
高概括能力和数学
语言的表达能力.
进一步强化椭圆定
义，真正使学生理解
定义的内涵和外延。

(三)
椭
圆完善定义：到平面内两个定点的距离之和等于常数（大于）
的点的轨迹叫做椭圆。

加深对椭圆本质的
认识，并逐渐养成严
谨的科学作风
数学理论定
义
的
完
善
定点称为椭圆的焦点。

间的距离称为焦距。

当常数=时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨
迹是线段；
当常数<时，与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹不
存在．
椭
圆
的
标
准
方
程
(1)回顾用坐标法求动点轨
迹方程的一般步骤：建系、
设点、写出动点满足的几何
限制条件、代坐标化、化简、证明等价性。

简记：
建设限代化
（2)推导椭圆的标准方程
①建系设点：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁——利用
椭圆的对称性特征
方案1以两定点的连线为X轴其垂直平分线为Y轴
方案2以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴
以方案1为例推导：
以直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角
坐标系．设焦距为，则．设
进一步熟悉用坐标
法求动点轨迹方程
的方法
掌握化简含根号等
式的方法，提高运算
能力，养成不怕困难
的钻研精神
为椭圆上任意一点，点与点的距离之和为．
②动点满足的几何约束条件:
③坐标化：
④化简：化简椭圆方程是本节课的难点，突破难点的方法是引导学生思考如何去根号
移项后两次平方法化简得
设，
(为什么要取平方)
[学生思考，问题由老师来回答]
方程简化为：
(3)建立焦点在轴上的椭圆的标准方程
问：要建立焦点在轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何去做
此时引导学生要借助于化归思想，抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知，将已知的焦点在轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转即可转化成图(2)，需将轴、轴的名称换为轴、轴或轴、轴．
焦点在轴上的椭圆的标准方程为
(4)辨析焦点分别在轴、轴上的椭圆的标准方程的异同点（学生分感受数学的简洁美、对称美
体会数学中的化归思想，化未知为已知，避免重复劳动
通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。

抓住数学形式的一致性，体会数学的严谨。

组讨论，个别发言）
区别：要判断焦点在哪个轴上，只需比较与项分母的大小即可．若
项分母大，则焦点在轴上；若项分母大，则焦点在轴上．反
之亦然．
联系：①它们都是二元二次方程，共同形式为
②两种情况中都有
（四）
数
学
应
用
椭
圆
定
义
与
标
准
方
程
的
简
例1：判断分别满足下列条件的动点M的轨迹是否为椭圆
（1）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
（2）到点和点的距离之和为4的点的轨迹；（不是）
（3）到点和点的距离之和为6的点的轨迹；（是）
例2：判断焦点的位置并求其坐标：
（1）（2）
（3）
例3：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－3，0）、F2（3，0），椭圆上任
一点到F1、F2的距离之和为8，求椭圆的标准方程。

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。

变式一：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆
上一点M到的距离之和为4，求该椭圆的标准方程．
巩固椭圆定义
掌握两种类型的椭
圆方程的异同和根
据标准方程判断焦
点位置的方法。

提醒学生在解题时
先要根据焦点位置
判断使用哪种形式
的椭圆标准方程
掌握待定系数法在
求椭圆标准方程中
的应用，深化a、b、
c 的关系。

充分让学生动手、动
单应用变式二：已知椭圆的两个焦点分别是，椭圆经过点
，求该椭圆的标准方程．
脑。

及时反馈，强化
知识点的学习。

进一步强化椭圆的
概念
(五)回顾反思深化
椭圆
的概
念与
标准
方程
1．知识点：椭圆的定义及其标准方程
2．数学方法：用坐标化的方法求动点轨迹方程
3．数学思想：数形结合思想、化归思想
通过小结，使学生理
清这节课的重难点。

（六）
课后作业巩
固
提
高
1．必做题：课本49页习题2．2 A组2，5(1)(2)，6，9
2．思考题：动圆与定圆
相
内切且过定圆内的一个定点A（0，-2）．求动圆圆心P的轨迹方程．
3.实验操作题：折纸游戏（准备圆形纸片）
请按如下步骤进行操作：
1．将圆心记作点，然后在圆内任取一定点
2．在圆周上任取10个点，分别记作，将它们与
圆心相连，得半径
3．折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径的交点记
作；然后再次折叠圆形纸片，使点与点重合，将折痕与半径
的交点记作；……；依此类推，最后折叠圆形纸片，使点
与点重合，将折痕与半径的交点记作
进一步完善教学目
标的实现。

再次探究椭圆的形
成，加深对概念的理
解，比较几何法与代
数法的优劣点。

4．用平滑曲线顺次连接点，你有何发现
5.请对你的猜想进行证明。

九．板书设计
§椭圆及其标准方程
一、定义：
（大于）焦点焦距=2c
二、标准方程：
焦点在X轴：
焦点在Y轴：
【关系】【例1】
【例2】
【例3】
[变式一]
[变式二]
十.教学反思
本节课既有概念的教学，又有椭圆标准方程的推导和应用．在概念学习上，学生可能会受传统教学方式的影响，忽略对概念本质的深入学习，忽视对概念的理解，导致学生在处理相关问题时出现偏差，也使得学生的数学思维的发展受到限制．在椭圆标准方程的推导中，按坐标法求曲线方程的过程，学生存在一定的障碍，具体表现为：如何建立合适的坐标系，学生在认知上还不是很到位；对于含两个根号的式子的化简，平时接触不多，方程中字母超过三个，且次数高，项数多，计算量较大，学生没有信心和能力自我解决这一难题；方程中字母的引入，学生更是较难想到．基于以上情况，我在教学上作了以下设计：
（1）在椭圆定义的教学上我花了大量时间，课前精心准备了实验教具，课上让学生亲自动手实验，感受椭圆的形成过程，并鼓励学生总结椭圆上点的运动规律．当学生定义不准确、不严谨时，不是否定学生，而是保护学生的自尊心，“在最近发展区”继续设计问题，引导学生不断探索．通过这样的实践，学生对条件的理解水到渠成．这样，不仅完善了椭圆的定义，也有助于学生能力的培养．
（2）如何建立坐标系对这一问题，教师并不是急于给出坐标系，而是给学生时间和机会，放手给学生做．又通过折椭圆，展示椭圆的对称性．再借助圆来说明（在求圆的方程式，若把圆心作为坐标原点建系时，得出的方程比另外的不把圆心作为原点得出的方程简洁美
观）．启发引导学生找出最好的建系方案，让学生明白哪种坐标系更合适，这样，不用老师叮嘱，在以后的建系中，学生自然会注意到平衡对称对简化问题的作用．
（3）①无理方程的化简这是一难点，但也是学生利用坐标法求曲线方程必经的过程，所以我放手并鼓励学生自我完成，教师巡视指导，然后投影展示学生推导化简结果．这样，各个层次的学生都有自己的收获，学习才会变得既有趣又有意义．②的引入．主要是结合着图形，由学生观察图形直观获得，的几何意义，进而自然引进．过渡自然，并为下节课学习椭圆几何性质打下基础．
（4）课后实验题的设计让学生能在游戏的过程中再次认识椭圆所具有的几何性质与代数式子之间的联系，体会数形结合的数学思想方法在高中数学解题中的重要作用。

（5）为了课堂教学的顺利进行教师可以在课前设计部分练习题（含有根式的式子的化简及如何求曲线方程），这样可以有效地利用课堂教学时间。