5.1连续域设计离散化方法

s 2 (z 1) T (z 1)
1 T s
z
1
2 T
s
2
17
梯形积分法
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•变换也是z变换的一种近似
e(Ts / 2) z e(Ts/2)
z
1
T 2
s
1
T 2
s
s 2 (z 1) T (z 1)
2.主要特性
1） s平面与z平面的映射关系
•当=0（s平面虚轴)映射为z平面
例5-2 试用向前差分法离散下述传递函数
1 D(s)
s2 0.8s 1
稳定性判断：要求
(0) 1 0.8T T 2 1
D(z)
s2
1 0.8s
1
s ( z 1) /T
。(1) 1 (2 0.8T ) (1 0.8T T 2 ) 0
(1) 1 (2 0.8T ) (1 0.8T T 2) 0
1
2
计算机控制系统
5.1 连续域-离散化设计
1) 连续域—离散化设计原理与步骤 2) 各种离散化方法
3
1) 连续域—离散化设计原理与步骤
4
•De(s)中的3个环节可近似描述如下：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ① A/D输出与输入关系：
R*( j)
1 T
n
R(
j
jns
)
系统低通特性 采样频率较高
R* ( j ) 1 R( j )
D( j1) D(ej1T )
24
5 零极点匹配法
2. 主要特性
1) 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需要进行稳态增 益匹配，因此工程上应用不方便。
2) 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s)稳定，D(z)一 定稳定。
3) 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可 获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。
28
29
5.2 数字PID控制器设计
• PID控制是控制系统中应用最广泛的一种控制规律。 • 在现代计算机控制系统中，PID控制算法将由计算
1 T s
z
1
2 T
s
2
1
T 2
1
T 2
j T
2
j T
2
的单位圆周。
•当> 0（s右半平面），映射到z
s j
平面单位圆外 。
•当< 0（s左半平面），映射到z
平面单位圆内 。
z
2
1 1
T 2 T 2
2
2
T
2
T
2
2
2
18
3 双线性变换法(Tustin变换 )
•双线性变换将
s
D(s)
• 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。 • 保证连续与离散环节阶跃响应相同。 • 具有z变换法的一系列缺点，应用亦较少。
27
7 连续域--离散化方法小结
• 等效的离散控制器的暂态特性和频率特性与连续控制器相 应特性相比均有畸变，没有一个能够完全逼真。
• 畸变程度与采样频率、截止频率、系统的最高频率有关. • 如采样频率相对系统截止频率或最高频率取得较高，如大
--整个s平面左半部到z平面单
位圆内。
--整个s平面右半部映射到单
位圆外。
--s平面虚轴映射为单位圆。
--映射是一对一的非线性映射。
图4-10 双线性变换映射关系
s 2 (z 1) T (z 1)
jA
2 1 e jDT T 1 e jDT
2 e e jDT /2
jDT /2
T
e jDT /2
于4~10倍以上，通常各种离散方法都能获得较好的逼真度。 • 设计者应在获得满意的连续域控制器后，交替试验几种等
效离散控制器，只有全部计算机数字仿真结果都满意时， 设计才算完成。 • 由于双线性变换法、预修正双线性变换法及零极点匹配法 具有较好的特性，通常会给出满意的结果，所以在设计时 应当是首先选用的。 • 应用举例 • 应用举例
25
26
6 其他方法
1. z变换法（脉冲响应不变法）
D(z) D(z) Z ZDD(s()s)
• 可以保证连续与离散环节脉冲响应相同。 • 由于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混
叠和其他特性变化较大，所以应用较少。
2. 带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）
D(z)
Z
1 esT
z esT
1 esT
1 1 sT
2）主要特性 ① s平面与z平面映射关系
z 1 1 1 (1 Ts) 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 z1 s
T
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为小圆的圆周。 •当> 0（s右半平面），映射到z
平面为上述小圆的外部。
•当< 0（s左半平面），映射到z
---系统的频带； ---稳态增益； ---相位及增益裕度； ---阶跃响应或
脉冲响应形状； ---频率响应特性。
注意：不同的离散化方法特性不 同. D(z)与D(s)相比，并不能保持 全部特性，并且不同特性的接近
程度也不一致。
•离散化方法很多
• 数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法
U (z) z1U (z) TE(z)
•相当于数学中的矩形积分法，即以 矩形面积近似代替积分，矩形面积
是Te(k) 。
D(z) U (z) / E(z) T /(1 z1)
s与z之间的变换关系
s (1 z1) /T z 1 1 sT
图 向后差分法
10
1.一阶向后差分法
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
•若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加(z+1)n-m
因子。
•确定D(z)的增益k1的有三种方法：
--按右式来匹配
D(s) s0 D(z) z1
--若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即
D(s) s D(z) z1
• --也可选择某关键频率ω1处的幅频相等，即
T2 z2 (2 0.8T )z (1 0.8T T 2 )
0 T 0.8s
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
16
3 双线性变换法(Tustin变换 )
1. 离散化公式
•相当于数学的梯形积分法， 即以梯形面积近似代替积分
D(z) D(s) s 2 z1 T z1
u(k) u(k 1) T [e(k) e(k 1)] 2
U (z) z1U (z) T [E(z) z1E(z)] 2
D(z)
U(z) E(z)
T (1 z1) 2
1 z1
2
1 (z 1)
T (z 1)
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
dus(t与) / zd之t 间e(t的),u变(t)换关0 e系(t)dt
s与z之间的变换关系
u[(k 1)T] u(kT) Te(kT) (z 1)U(z) TE(z)
s
z 1 T
1 z1 Tz 1
z 1Ts
D(z) U (z) / E(z) T /(z 1)
•这种方法也是一种矩形积分近似,但
所累加的矩形面积是Te(k-1)，与向
后差分不同。
图 向前差分矩形积分法 13
9
1.一阶向后差分法
1) 离散化公式
•实质是将连续域中的微分用一阶向后差分替换．
D(z) D(s) s1z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u(kT) u[(k 1)T]}/T u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
• 零极点匹配法 • 保持器等价法
• z变换法(脉冲响应不
变法)
8
2) 各种离散化方法
• 本节主要内容 1. 一阶向后差分法 2. 一阶向前差分法 3. 双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法） 4. 修正双线性变换 5. 零极点匹配法 6. 其他方法 7. 连续域-离散化方法小结 8. 应用举例
平面为上述小圆的内部。
z 1 2 1 (1T )2 (T )2 2 4 (1T )2 (T )2
11
1.一阶向后差分法
② 由上述映射关系可见，若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
③ 变换前后，稳态增益不变。
D(s) s0 D(z) z1
④ 因s平面稳定域被映射为单位圆中的一个小圆，因此离散后控制器 的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有相当大的畸变。 3）应用 •变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为严重，变 换精度较低，工程应用受到限制。
图4-11双 线性
变换的频 率关系
图4-12双线性变换频率特性失真
A
2 T
tan
DT
2
当采样频 率较高
DT
足够小
A
2 T
DT
2
D
20
3 双线性变换法(Tustin变换 )
4) 双线性变换后环节的稳态增益不变
D(s) s0 D(z) z1 5)双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
1 T2
1 T
2
2
图4-8 向前差分法的映射关系
2) 若D(s)稳定，采用向前差分 法离散化，D(z)不一定稳定。 只有采用较小的采样周期T，方 能保证D(z)稳定。
15
2 一阶向前差分法
3. 应用
• 映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。
• 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。
3. 应用
• 主要用于将连续控制器离散时，要求在某些特征 频率处，离散前后频率特性保持不变的场合。
• 例5-4
23
5 零极点匹配法
1. 离散化方法
特点
k(s zi )
D(s) m
(s pi ) n
z esT
k1 (z eziT )
D(z)
m
(z e piT )
(z 1)nm
m
•零、极点分别按 z esT 匹配。
14
2. 一阶向前差分法
2. 主要特性
1) s平面与z平面映射关系
•只有当D(s)的所有极点位于 左半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
z 1 Ts (1T) jT
z 2 (1T )2 (T )2
令 z 1（单位圆）
1 (1 T )2 (T )2
设计时常近似为
esT / 2
1
1 sT / 2
图4-2计算机控制系统等效连续结构
数字算法D(z)的等效
传递函数
6
7
2) 各种离散化方法
• 离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函数 D(z) 。
• “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数；
e jDT /2
s域角频率
A
2 T
tan
DT
2
2 2 jsin(DT / 2) j 2 tan DT
T 2 cos(DT / 2) T
2
z域角频率
19
3 双线性变换法(Tustin变换 )
2) 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。
3) 频率畸变：双线性变换的一对 一映射，保证了离散频率特性不产 生频率混叠现象，但产生了频率畸变。
例4-1
12
1） 离散化公式
2. 一阶向前差分法
实质是将连续域中的微分用 一阶向前差分替换。
D(z) D(s) s z1 T
D(s) U (s) / E(s) 1/ s
t
du(t) / dt e(t),u(t) 0 e(t)dt
du(t) / dt {u[(k 1)T] u(kT)}/T
T
R *( j) / R( j) 1
T
5
② 计算机实现算法D(z)的计算表示： D(e jT )
③ D/A的频率特 性：
G( j) T sin(T / 2) e jT /2 Te jT /2 T / 2
De ( j)
1 T
D(e jT )Te jT /2
D(e jT )e jT /2
等效连续传递函数： De (s) Ddc (s)esT / 2
D(e j1T ) D( j1)
1 A
2
1 tan 1T
T2
Tustin变换式
s 2 z 1 T z 1
为实现上述要求，需将D(s/ω1) 平移到D(s/ωA)处，再做Tustin
s 1 2 z 1
1
z 1
A T ，z 1 tan(1T / 2) z 1
变换.因为
•传递函数D(s)，修正双线性变换为
3.应用
D(e jT ) s 0 2
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好
的特性，工程上应用较为普遍。
2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用
于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。
• 例5-3
21
4 修正双线性变换
1. 离散化方法
• 预修正的目的是满足在某个选 定的关键频率ω1上:
D(s
/
A
)
s D(
1
1 A
)
相当于在原系统传递函数s
D(z) D(s)
s
1
z 1
处引入一个比例因子：
tan(1T / 2) z 1
22
4 修正双线性变换
2 .主要特性
• 该方法本质上仍为双线性变换法，具有双线性变 换法的各种特性。
• 由于采用了频率预修正，故可以保证在ω1处连续 频率特性与离散后频率特性相等，但在其他频率 处仍有畸变。