有理数的运算技巧

有理数的运算

有理数的加法

将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法，如：23+64+52=139

分析理解

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与小学加法的联系

有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加

法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.

法则理解

在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记"先符号,后绝对值",熟练以后就不会出错了.

法则拓广

多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.

有理数加法法则

Ⅰ.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.

[

Ⅱ.异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

Ⅲ.一个数与0相加,仍得这个数.

运算律

1、有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为: 交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

2、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

有理数的加法解析

一般地，同号两数相加有下面的法则：

~

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

一般地，异号两数相加有下面的法则：

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

另外，有理数相加还有以下法则：

互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。

有理数相加的例子：

两个有理数相加，有多少种不同的情形

为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：

。

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”．比如，赢3球记为+3，输1球记为-1．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：

(1)上半场赢了3球，下半场赢了1球，那么全场共赢了4球．也就是

(+3)+(+1)=+4．

(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是

(-2)+(-1)=-3．

现在，请同学们说出其他可能的情形．

答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是

(+3)+(-2)=+1；

#

上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是

(-3)+(+2)=-1；

上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是

(+3)+0=+3；

上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是

(-2)+0=-2；

上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是

0+0=0．

-

上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗也就是结果的符号怎么定绝对值怎么算

1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；

3．一个数同0相加，仍得这个数．

有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。

在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记"先符号，后绝对值",熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

要点

￥

同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。

在进行有理数加法运算时，一般采取：

1.是互为相反数的先加（抵消）；

2.同号的先加；

3.同分母的先加；

4.能凑整数的先加;

5.异分母分数相加,先通分,再计算.

6.几个数相加能得到整数的可以先相加。

。

记忆口诀

有理加法不含糊

同号异号分清楚

如果两数号相同

绝对相加号相从

如果两数号相异

大绝来把小绝去

结果符号大绝替

（

有理数减法

有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成：a－b=a+（－b）。

表达式: a-b=a+(-b)

例题1：

计算：1、（-3）-（-5）=

2、0-7=

3、（）=

[

4、0-（-8）=

例2：数轴上A、B、C、D所表示的有理数分别是+1、+3、-2、-4，用有理数减法的算式分别表示以下两点间的距离。

（1）A、B两点。（2）C、D两点。

（3）A、D两点。（4）D、C两点。

例3、世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两处高度相差多少米

解：8844-（-155）=8844+155=8999（米）

答：两处高度相差8999米

（强调解题格式）

：

练习

1.两个有理数相减，是否存在“不够减”的问题呢差一定小于被减数吗

2.若a与b两数相减，差是负数，则a

小结

有理数乘法

有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何一个数与0相乘，积仍为0。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为：ab=ba、a(bc)=(ab)c、a(b+c)=ab+ac。

符号法则: 两数相乘，同号得正，异号得负

&

特殊运用: 任何数与0相乘，积仍为0

具体步骤：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例：（-5）×（-3）= +（5 x 3）=15 （-6）×4= - （6 x 4）= -24

（2）任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=0

（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）× (-25）=积为负数

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 例：3×（-2）×0=0 （5）乘积为一的两个有理数互为倒数（reciprocal）。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3

(5)0没有倒数