实数与向量相乘

实数与向量相乘
1.实数与向量相乘的意义
一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a m
n
的向量. 要点诠释：
设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的
长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义
一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：
（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：
①ka 的长度：||||||ka k a =；
②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；
（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；
（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：
（1）()()m na mn a =（结合律）；
（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3）m （+b
）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理
（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：
任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a
=
.
（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a
=
，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.
（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.
（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.
要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解
平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.
每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用
两根绳将这盏电灯吊在同一位置。

如图：
从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。

例：1如果向量a ，b 是同一平面内的两个不平行向量。

已知向量c 是该平面内的一个非零向量，画出向量c 在向量a ，b 方向上的分向量吗？
练习：1.已知向量OA ，OB 和p ，q
求作：（1）向量p 分别在OA ，OB 方向上的分向量。

（2）向量q 分别在OA ，OB 方向上的分向量。

O C a
b
c
P
q O B
1、计算: (1). =+BC AB _______ (2). =-AC AB _______.
(3).
BC CD AB ++=_________.(4). DB AB -=______. (5) CA BC AB ++=______ (6). ()()
DE
BE CD AB -+-=________.
2、计算:()()
b a b a 3322+--=___________。

3、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,设b OB a OA ==,,写出向量AB 关
于a 、b 的分解式____________. 4、如图，在□ABCD 中，点F 是AB 的中点， E 点在BC 上， 且BC=3BE ，设a BF =，b BE =， 那么向量CA 关于a 、b 的分解式为CA =________。

5、AD 是△ABC 的中线，G 是重心, b AC a AB ==,,则AD =_____，=AG ____。

6、如图，点D 、E 在∆ABC 边AB 和AC 上, DE ∥BC,
3
2
=AB AD ，设，试用向量BC 表示向量D E :_________ 7、如图，AB ∥CD ，且OC :AO=3：4，设a AO =，b OB =，
那么CD 用a 、b 的线性表示为CD =___________________
8、已知向量a 、b 满足关系式()
042
132=-+x b a , 用向量a 、b 表示向量x .
一、填空题
1、 若a 是非零向量，则a k 的方向是 ：当0<k 时，a k 与a 的方向 。

2、 如果两个非零向量b a 、
满足b a λ=(λ是非零实数)，那么a 和b 一定是___________；当1=λ时，它们是__________的向量；当1-=λ时，它们是___________的向量
3、 设k 是非零实数，b a 、是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：
_______________________________________
4、 如果b a 、
是两个不平行的向量，那么b a 52--叫做b a 、的______________________ 5、 对于非零向量a ，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0a ，那么向量a 可以
记作____________
6、 设e 是单位向量，若x 与e 方向相同，
2
3
=
，请用e 表示x ：________________ 7、 如果,c b a 32=+,b a 02=+
=_____________________
8、 在四边形ABCD 中，设a AB =，b CD =，如果,a b 2=那么四边形一定是_________
（填四边形的名称）
9、 已知ABC ∆的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________
10、 设O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，点P 为平面内与O 不重合的任意一点，
设a OP =，试用a 表示PD PC PB PA +++：________________________________ 二、选择题
11、 下列式子中，错误的是（ ）
A. a a a 2=+
B. ()0=-+a a
C.()
b a b a --=+- D. a b b a -=- 12、 向量()()
OM BC BO MB AB ++++化简后的结果等于( )
A. BC
B. AB
C. AC
D. AM
13、 点C 在线段AB 上，且AB AC 5
3
=
，若BC m AC =，则m 的值等于（ ）
A.
32 B. 23 C. 32- D. 2
3- 14、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个
（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.3
15、 已知一个单位向量e ，设b a 、
是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）
a =
B. b =
C. e =
D.
=
三、解答题 16、 计算：()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+-a b b a 21313232。

17、已知向量关系式()
,x b a 062=-+试用向量b a 、
表示x 。

18、已知非零向量b a 、
，请用作图方法验证()
b a b a 222+=+（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。

19、在ABC ∆中，E G 、为AC 的三等分点，H F 、为BC 三等分点，a CA =，b
BC =写出GH EF AB 、、
关于b a 、的线性组合。

a
b
B
C
E G F
H
20、如图，已知平行四边形ABCD 中，点F E 、分别是边AB DC 、的中点，CF AE 、与对角线BD 分别交于点H G 、，设a AF =，b AD =（满分12分）
（1） 试用b a 、分别表示向量GE GH 、 （2） 作出向量DH 分别在b a 、
方向上的分向量
21、在ABC ∆中，D 是AB 边的在中点，E 是BC 延长线上的点，且.BC BE 2=。

（1） 用BC BA 、表示向量DE （2） 用CB CA 、
表示向量DB
22、在四边形ABCD 中，,b a AB 2+=,b a BC --=4,b a CD 35--=请判断四边形的形状，并证明你的结论。

A
B
D
E
C
B
A
C
E
F
G
H。