吉林省长春市普通高中2021届高三质量监测(二)数学(理科)试题题
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【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（理科）试题题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．集合 ， ，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
8．直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，若 的倾斜角为 ，则 的值为
A． B． C． D．
9．正方形 边长为2，点 为 边的中点， 为 边上一点，若 ，则 （）
A．3B．5C． D．
10．已知曲线 在点 处的切线为 ，则下列各点中不可能在直线 上的是（ ）
A． B． C． D．
四、解答题
17．各项均为整数的等差数列 ，其前 项和为 ， ， ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．某研究机构随机调查了 ， 两个企业各100名员工，得到了 企业员工收入的频数分布表以及 企业员工收入的统计图如下：
企业：
工资
人数
5
10
20
42
18
3
1
1
企业：
（1）若将频率视为概率，现从 企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 轴相交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2D．
12．定义在 上的函数 有零点，且值域 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为_______．
14．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
15．在 中，角 、 、 的对边分别为 ， 、 ， ， ，则 的面积的最大值为____．
三、双空题
16．正方体 的棱长为 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，则过 且与 平行的平面截正方体所得截面的面积为______， 和该截面所成角的正弦值为______．
【详解】
由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；
6．C
【解析】
【分析】
先根据求和，利用中项公式，求得 ，再利用公差的公式 求得结果.
【详解】
由题
即 ， ， .故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.
7．C
【解析】
【分析】
通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.
A． B． C． D．
3．命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在 内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．32B． C． D．8
6．等差数列 中， 是它的前 项和， ， ，则该数列的公差 为（ ）
A．2B．3C．4D．6
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
因为复数 = ，所以对应的点位于第Hale Waihona Puke Baidu象限.
2．A
【解析】
【分析】
由题，先求出集合A= ，再根据交集的定义求出答案即可.
【详解】
， .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了交集的定义，属于基础题.
3．D
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可
5．B
【解析】
【分析】
根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，
所以该四棱锥的体积为 ，故选B.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且满足 轴， ，离心率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为 轴正半轴上的定点，过 的直线 交椭圆于 ， 两点，设 为坐标原点， ，求点 的坐标.
21．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有两个实数根，求实数 的取值范围.
22．选修4-4 坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程以及曲线 的参数方程；
（2）当 时， 为曲线 上动点，求点 到直线 距离的最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数 .
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以
命题“ ， ”的否定是 ，
故选D
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.
4．A
【分析】
直接根据指数型函数的单调性判断出 在R上递减，求得结果.
【详解】
由题， 在R上递减，所以在 内单调递减，
故选A
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.
7．下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（ ）
（2）（i）若从 企业收入在 员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在 的人数 的分布列.
（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.
19．四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 平面 ， ， 为 中点.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．集合 ， ，则 （ ）
A．1B．2C．3D．4
8．直线 绕原点顺时针旋转 得到直线 ，若 的倾斜角为 ，则 的值为
A． B． C． D．
9．正方形 边长为2，点 为 边的中点， 为 边上一点，若 ，则 （）
A．3B．5C． D．
10．已知曲线 在点 处的切线为 ，则下列各点中不可能在直线 上的是（ ）
A． B． C． D．
四、解答题
17．各项均为整数的等差数列 ，其前 项和为 ， ， ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．某研究机构随机调查了 ， 两个企业各100名员工，得到了 企业员工收入的频数分布表以及 企业员工收入的统计图如下：
企业：
工资
人数
5
10
20
42
18
3
1
1
企业：
（1）若将频率视为概率，现从 企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和 轴相交于 ， 两点， 为坐标原点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2D．
12．定义在 上的函数 有零点，且值域 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为_______．
14．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
15．在 中，角 、 、 的对边分别为 ， 、 ， ， ，则 的面积的最大值为____．
三、双空题
16．正方体 的棱长为 ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，则过 且与 平行的平面截正方体所得截面的面积为______， 和该截面所成角的正弦值为______．
【详解】
由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；
6．C
【解析】
【分析】
先根据求和，利用中项公式，求得 ，再利用公差的公式 求得结果.
【详解】
由题
即 ， ， .故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.
7．C
【解析】
【分析】
通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.
A． B． C． D．
3．命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在 内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．32B． C． D．8
6．等差数列 中， 是它的前 项和， ， ，则该数列的公差 为（ ）
A．2B．3C．4D．6
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】
因为复数 = ，所以对应的点位于第Hale Waihona Puke Baidu象限.
2．A
【解析】
【分析】
由题，先求出集合A= ，再根据交集的定义求出答案即可.
【详解】
， .
故选A.
【点睛】
本题主要考查了交集的定义，属于基础题.
3．D
【分析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可
5．B
【解析】
【分析】
根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，
所以该四棱锥的体积为 ，故选B.
【点睛】
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
20．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点，且满足 轴， ，离心率为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为 轴正半轴上的定点，过 的直线 交椭圆于 ， 两点，设 为坐标原点， ，求点 的坐标.
21．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若方程 有两个实数根，求实数 的取值范围.
22．选修4-4 坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程以及曲线 的参数方程；
（2）当 时， 为曲线 上动点，求点 到直线 距离的最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数 .
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，所以
命题“ ， ”的否定是 ，
故选D
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.
4．A
【分析】
直接根据指数型函数的单调性判断出 在R上递减，求得结果.
【详解】
由题， 在R上递减，所以在 内单调递减，
故选A
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.
7．下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（ ）
（2）（i）若从 企业收入在 员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在 的人数 的分布列.
（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.
19．四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 平面 ， ， 为 中点.