旋度和散度

xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
divA limSAdS ΔV0 ΔV
diA vA
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
3、直角坐标系中散度的表示
diA vAx Ay Az x y z
散度可用算符 哈密顿 表示为
diA vA
哈密顿
ψAd SA xdyd A yd z z dA zd xxdy
S
S
1 .2 .2 散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
❖基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
X pAAP A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 §1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
场，反之亦然。
例
点电荷q在离其r处产生的电通量密度为
D v 4 q r 3 r v ,r v x ˆ x y ˆ y z ˆ z ,r ( x 2 y 2 x 2 ) 1 /2
求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面
的电通量 e
[解]
D v 4 q(x 2 x ˆx y 2 y ˆy z2 z ˆ) z 3 /2 x ˆD x y ˆD y z ˆD z
v ( A )0
❖任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 ❖任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。
v vv B 0 B A
❖任何旋度场一定是无散场
4、旋度与散度的区别：
❖ 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度 是一个标量函数；
❖ 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散 度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；
a) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通
量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的正源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通
量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的负源；
c) 若 ψ 0 ，闭合面无源。
在直角坐标系中，通量可以写成
xˆ yˆzˆ x y z
拉普拉斯2
2 2 2 x2 y2 z2
diA v0 正源
diA v0 负源
diA v0 无源
散度的基本运算公式
•C0
kA k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u u为标量
1 .2 .3 散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可 知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V Ad vAd s
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 散度定理的物理意义：
❖从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
❖从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区 域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。 ❖如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的
则
A B x ˆ ( A x B x ) y ˆ ( A y B y ) z ˆ ( A z B z )
图 1 -2 矢量的相加和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
3、旋度的计算
矢量A的旋度可表示为密勒算子与A的矢量积, 即
vv c u rlA A
计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得
Axˆxyˆyzˆz(xˆAx yˆAy zˆAz)
xˆAyz AzyyˆAzx Axz zˆAxy Ayx
第一章 矢 量 分 析 即
xˆ yˆ zˆ
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u • 单位矢量ex：小e写x 上加倒勾xˆ
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
AxˆAxyˆAyzˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2Ay2Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆcosayˆcoszˆcos
和或差: Vector addition or subtraction
BxˆBxyˆByzˆBz
ABnˆABsia nAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
AB(BA)
2、 xˆxˆyˆyˆzˆzˆ0 xˆyˆzˆ,yˆzˆxˆ,zˆxˆyˆ
A B (x ˆA x y ˆA y z ˆA z) (x ˆB x y ˆB y z ˆB z) x ˆ(A y B z A zB y ) y ˆ(A zB x A x B x ) z ˆ(A x B y A y B x )
vv
Ñ Curl
[ An ˆlim
lAdl]m ax
S 0 S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
v A
x y z
Ax Ay Az
4、旋度运算规则:
vv
vv
(A B) A B
v
v
v
( A) A A
vv v vv v
(A B) B A A B
v
( A) 0
A ( A) 2 A
在直角坐标系中有v 2 A x ˆ 2 A x y ˆ 2 A y z ˆ 2 A z
❖ 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这 种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场） ；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这 种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场） ；
❖ 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其 垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是 场分量在与其垂直的方向上的变化规律；
Ñ r v d s v r d v 3d v 3 4r 3 4 r 3
S
V
V
3
§1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理
Curl, circulation, The Stokes’s theorem
1 .3 .1 环量 Curl of a vector field
矢量A沿某封闭曲线的线 积分, 定义为A沿该曲线的环 量(或旋涡量), 记为
A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
矢量三重积: Vector triple production
A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A2x ˆ3y ˆ4zˆ 和 B6x ˆ4y ˆ1zˆ ，求 AB 在 Cxˆyˆzˆ 上的分量。
特点：
ABABcoasAB
1、
ABBA 它符合交换律:
2、
❖|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 ❖B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
3、
并有
x ˆy ˆy ˆz ˆz ˆx ˆ0
互相垂直的两个矢量的点积为0
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用
8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散
度均为零。
蜒 e
s
Dvdsv
q
4r3
rvrˆds
s
Ñ
q
4r2
sds4qr2 4r2 q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 rx ˆxy ˆyz ˆzr ˆr,
解：
Sr ds
rxyz3 x y z
解：
xˆ yˆ zˆ
AB 2 3 413xˆ22yˆ10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
ABC251.443
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX ， PAX
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
x ˆx ˆy ˆy ˆz ˆz ˆ1
4、 ABAxBx AyBy AzBz AAAx2Ay2Az2 A2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模
值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺
旋关系, n为ˆ A , B所在平面的右手法向 :
Dx x
q
4
x (x2
x
y2
z2 )3/
2
q
4
(x2
1 y2 z2)3/2
(x2
3x2 y2 z2)5/2
q r2 3x2
4 r5
Dy q r 2 3y2 ,
y 4 r 5
Dz z
q
4
r2 3z2 r5
D v D x x D y y D z z 4 q 3 r 2 3 ( x 2 r 5 y 2 z 2 ) 0
❖ 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y 、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方 向上的变化规律。
1 .3 .3 斯托克斯定理 The Stokes’s theorem
S AdS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SAdS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
通过闭合面S的通量的物理意义：
v
Ñ l Adl
1 .3 .2 旋度的定义和运算
1、定义：
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的
面积ΔS趋近于零, 取极限
vv
lim Ñl A dl
S0 S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度( curl或rotation ):