n阶行列式的定义

第二节 n 阶行列式的定义

介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处

内容要点：

从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。

一、排列与逆序

定义1 由自然数1,2,…,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。

例如，1234和4312都是4级排列，而24315是一个5级排列. 规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。

定义2 在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，

若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序.一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为).(21n i i i N

根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数:

设在一个n 级排列n i i i 21中,比),,2,1(n k i k =大的且排在k i 前面的数由共有k t 个, 则

k i 的逆序的个数为k t , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即

.)(1

2121∑==

+++=n

k k n n t t t t i i i N

定义3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列.

二、n 阶行列式的定义

定义4 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij =组成的记号

nn

n n n n a a a a a a a a a

21

22221

11211

称为n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n nj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即

∑

-=n

n n j

j j nj j j j j j N nn

n n n

n a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1( 其中∑

n

j j j 21表示对所有n 级排列n j j j 21求和. 行列式有时也简记为det )(ij a 或||ij a ，这里

数ij

a 称为行列式的元素，称 n n nj j j j j j N a a a 212121)

()

1(- 为行列式的一般项.

注: (1) n 阶行列式是!n 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半;

(2) n nj j j a a a 2121的符号为)

(21)1(n j j j N -(不算元素本身所带的符号); (3) 一阶行列式 ,||a a =不要与绝对值记号相混淆.

三、对换

为进一步研究n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。 定义 5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。

定理1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。 借助课件设计的动画形象解释证明思路。

推论 奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.

定理2 n 个自然数(n >1)共有n !个n 级排列，其中奇偶排列各占一半. 定理3 n 阶行列式也定义为

∑-=

n n j i j i j i s

a a a

D 2211)1(

其中S 为行标与列标排列的逆序数之和. 即S=)()(2121n n j j j N i i i N ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅。

推论 n 阶行列式也可定义为

,)

1(21)

(2121∑⋅⋅⋅-=

n i i i i i i N n n a a a D

例题选讲：

排列与逆序

例1 (教材例1) 计算排列32514的逆序数.

例2计算排列217986354的逆序数, 并讨论其偶性.

n 阶行列式的定义

例4 (教材例3) 计算行列式0

00400300

2001000=D

例5 (教材例4) 计算上三角形行列式

).0(0

0221122211211

≠nn nn

n

n

a a a a a a a a a

对换

例8 (教材例5) 在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号 (1) ;651456423123a a a a a a (2) .256651144332a a a a a a

例9 (教材例6) 用行列式的定义计算.0000000010

2

01000n n D n

-=

课堂练习

视讲课时间而定，布置课堂练习

1.若5213425)1452()432()1(k j i j N k i N a a a a a +-是五阶行列式的一项，则k j i ,,应为何值？此时该项的符号是什么？

2.用行列式的定义计算下列行列式:

.1

100001001011

010

3.已知,1

21112

3111211

)(x

x

x

x x f -=

求3x 的系数.

习题布置

1. (1) (3) (5) 3. (1) (3) 4. 6. (2) (5)