第二章-刚体运动学和动力学(上)

图示，行星锥齿轮。小 齿轮显然作
定点运动。设相对于定 系的角速度
为： ωa，相对横杆的角速度为
：
ω
，
2
连杆的角速度为： ω1，可以证明：
ωa ω2 ω1
对于一般情况ω， 1不垂直于 ω2 也可以证明：
ωa ω2 ω1
4. 平移与转动的合成
(1)平移速度矢与转动 角速度矢垂直
此时，刚体内任意点 在z轴方向速度都为零刚 体显然作平面运动。
lim ψ k lim θ n lim k
t 0 t
t 0 t
t 0 t
ω ω ω ω
ω ψ k ω θn ω k
进动角速度 章动角速度 自转角速度
x y
ψ sin ψ sin
sin θ cos cos θsin
z ψ cos
上式称为定点运动的欧拉运动学方程。
f1(t)， f1(t)， f1(t)
称为刚体定点运 动动 方的 程运 。
地球自转轴与公转轴夹角 23.5°（章动），但这个角度以 约19年为周期变化，幅度约为9″。 章动改变南北回归线的纬度。
自转轴与公转轴构成的平面 （其法线就是节线）绕公转轴转 动，周期约为25600年，称为进 动。进动改变季节的时间。地球 的进动使每年冬至都有微小的提 前。称为“岁差”。
v ve vr v2 v1 a ae ar a2 a1 显然，当两个刚体平移
时，刚体的合成运动为
平移。
2. 绕两个平行轴转动的合成
图示，行星柱齿轮
刚体齿轮 II ，相对连杆
的角速度为：
ω
，
r
相对于定系的角速度为
： ωa
动系为连杆，角速度为
： ωe
ωa ωe ωr 以上为矢量和。
r r r r
β r ψ r θ r r （ψ θ ） r β ψ θ β ψk Δθn Δk
定义角速度矢量ω：，其方向沿瞬轴， 指向由右手法则确定大，小为：
ω lim β t0 t
ω lim β lim ψ lim θ lim t 0 t t 0 t t 0 t t 0 t
O‫ ׳‬：为刚体上任意选定的 一点称为基点
Oxyz：定系，固定在参考 体上
O‫׳‬x‫׳‬y‫׳‬z‫ ׳‬：体轴，固结在刚 体上
O‫ ׳‬ξηζ：随动平动参考 系，固连在刚体O‫׳‬ 上，但不转动
自由刚体的运动方程：
x O f4 f1 (t(t)， )， y O f5 ( ft2 ) ( ， t)， z O f 6 (tf) 3 (t)
（2）章动，此时随体坐标系O由 x1y1z1到达Ox2 y2z2，如图所示。
M的坐标变换关系为：
x1 1
y1
0
z1 0
0
cos sin
0 x2
sin
y2
cos z2
1 0
0
A() 0
cos
sin
0 sin cos
（3）自转，此时随体坐标系O由 x2y2z2到达Oxyz，如图所示。
x0
x0
y
0
A (
,
,
)
y
0
z 0
z 0
其实，（ x0 , y0 , z0 )就是坐标变换的不动点 。
事实上，该点与定点的 连线上的点都不动。称
此固定直线为动轴。
该绕动轴的转角记为 是绕动轴的一次转动。
，刚体三次（任意次）
转动可以认为
3. 瞬时转动轴 角速度 角加速度
当刚体作微小转动 此时：
显然，确定刚体的位置（运动），可以与确定体轴Ox‫׳‬y‫׳‬z‫׳‬ 位置（运动）等价。若能确定z‫ ׳‬轴的位置（需两个参数）以 及刚体绕z‫ ׳‬轴相对固定参考系Oxyz的转角则刚体的位置可完 全确定。因此，定点运动的刚体有三个自由度，或需三个广 义坐标确定刚体的位置。
广义坐标的选取方法有很多种，下面介绍一种常用的方 法，称为欧拉角。
问 ， 什 么 都 不讲就 是最好 的结局 ！ 曾 经 以 为 自 己真的 不在乎 ，可是 真正到 了失去 的那一 刻，才 明白， 原来自 己也会
舍 不 得 。 但 是就算 是在舍 不
2-3
1. 运动方程
O：为定点运动的定点
Oxyz：定系，固定在参考体上
Ox‫׳‬y‫׳‬z‫ ׳‬：体轴，固结在刚体上
刚体由一个位 转置 动绕 到定 另点 一有 个限 运 位与 置转 的 次序有关。 1. 绕x1转90
2. 绕x3转90
1. 绕x3转90 2. 绕x1转90
欧拉角的次序为:进动-章动-自旋，体轴为 3-1-3
按转轴的不同次序有24种不同组合，即24种广义欧拉角。
按1-2-3转动称为卡尔丹角。 按3-1-2转动的称为姿态角。
运算，其乘积在略阶 去小 二量后，均相等表 。明 这对于微小转动
转动结果与转动次关 序。 无
下面讨论绕瞬轴的转角 与 欧拉角 , , 的关系。
为此，我们研究刚体上 一点的位移。
定义矢量 β l，则
r β r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义矢量ψ k，θ n， k
则相应的位移矢量为：
r ψ r，r θ r，r r
M的坐标变换关系为：
x2 cos
y2
s in
z2 0
cos
A(
)
s
in
0
sin cos
0
sin cos
0
0 x
0
y
1 z
0 0 1
x co ssin01 0 0 co ssin0x y sinco s0 0co ssin sinco s0 y z 0 0 1 0sinco s 0 0 1 z
一 个 人 们 看 起来很 吉利的 月份， 在八月 我拥有 了一份 只有一 个月的 爱情。 八 月 ， 我 们 相遇， 相知， 相爱。 从甜蜜 的开始 到暗淡 的结束 。也许 我只是 你回家 探 亲 遇 到 的 一次意 外邂逅 。有人 说爱情 是善变 的，不 知道究 竟是哪 里出了 问题， 为 什 么 你 会 变得这 么快。 从刚开 始的守 护渐渐 的变成 了疏离 。弄不 懂，看 不清。 也 许我至 始至终 都没有 走进过 你的心 里，也 许我只 是你邂 逅的一 段美丽 回忆而 已！ 当 最 初 的 激 情过后 ，剩下 的就只 是平淡 和疏离 。很明 白我们 的爱情 不会有 结果， 也 明 白 如 果 继续下 去只会 让伤害 加深。 也许就 这样让 你静静 的离开 ，我什 么都不
定义角加速 αl度 im ω 矢 dω 量： 方向 ω端 沿点的切 t 0t dt
一般来 α与 ω 说 不， 共线，这不 与同 定。 轴转动
4. 刚体上各点的速度和加速度
刚体内任M 意 的一 矢点 径 r，为则该点v的 为速 ：度
vωr M 点的加 a为速 ：度
advdωrωdrαrωv
dt dt
令：
A(,,)A()A()A()
cos sin 01 0 0 cos sin 0
sin cos 00 cos sinsin cos 0
0
0 10 sin cos 0
0 1
A (,,)A ()A ()A ()
co c so ssinsin co sco ssinsinco cso ssinsin
当ωr ωe时， ωa 0，对象刚体平移，无动转。 这种情况称为转 动 偶。
齿轮II转动时，瞬轴位置？如下图所示：
ω
，
r
ω
e
指向相同时，
瞬轴内分两轴
O1C ω r O2C ωe
ω
，
r
ω
e
指向相反时，
瞬轴内分两轴，瞬轴在
较大角速度的外侧
O1C ωr O2C ωe
3. 绕两个相交轴转动的合成
y x1 sin y1 cos z1 0
z x1 0 y1 0 z1 1
写成矩阵形式：
x cos
y
sin
z 0
sin cos
0
0 x1
0
y
1
1 z 1
cos sin 0
令：
A (
)
sin
cos
0
0
0 1
称为坐标变换矩阵。
欧拉定理：绕定点运动的刚体，从一个位置到另一个位 置的任何（有限或微小）位移，可以绕通过定点的某一轴转 动一次而实现。
证明： 只需证明刚体上，除定 点外，在三次坐吧变换 （转动）后，
存在一条直线，其上每 一点的位置不变。
事实上， A ( , , )为正交矩阵。根据线性 代数理论，该矩阵
存在特征值为 1的特征矢量，即存在一 特征向量（ x0 , y 0 , z 0 )有：
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录
第二章 刚体运动学与动力学（上）
§2-1 刚体定点运动的运动学 §2-2 自由刚体的运动 §2-3 刚体运动的合成
2-2
§2-1 刚体定点运动的运动学
刚体运动时，其体内或外延部分有一点不动，称为定点运动。
八 月 ， 一 个 人们看 起来很 吉利的 月份， 在八月 我拥有 了一份 只有一 个月的 爱情。 八 月 ， 我 们 相遇， 相知， 相爱。 从甜蜜 的开始 到暗淡 的结束 。也许 我只是 你回家 探 亲 遇 到 的 一次意 外邂逅 。有人 说爱情 是善变 的，不 知道究 竟是哪 里出了 问题， 为 什 么 你 会 变得这 么快。 从刚开 始的守 护渐渐 的变成 了疏离 。弄不 懂，看 不清。 也 许 我 至 始 至终都 没有走 进过你 的心里 ，也许 我只是 你邂逅 的一段 美丽回 八月，
2. 有限转动的欧拉定理 前面已经看出 动， 的刚 结体 果转 与转 有动 关的 。次 下
通过坐标变换 讨来 论进 。一步
设一组欧拉角为：（ ，，），开始时随体坐标系
Oxyz与固定坐标系 Oxyz重合。
（1）进动 ，此时随体坐标系到达 Ox1 y1z1，如图所示。
刚体上一点 M的坐标变换关系为：
x x1 cos y1 sin z1 0
自由刚体任意一点 M的速度， 根据速度合成定理：
va ve vr vM vO ωr r 自由刚体任意一M点的加速度：
aa ae ar aM aO αr r ωr vr
§3-3 刚体运动的合成
1. 平移与平移的合成
图示，刚体小车
v
1
,
a
，
1
动系为横梁 v 2 , a 2
小车上任一点的速度：
瞬轴与 z轴平行，如图 ωa ω OC vO
（2）平移速度矢与转动角速度矢平行
此时，刚体作螺旋运动，属于刚 体一般的空间运动。
右螺旋： v O 与 ω 同向 左螺旋： v O 与 ω 反向 螺旋率： p v O
ω 螺距： s 2 p
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角
此时，刚体运动称 为瞬时螺旋运动。
， ， ，动轴此称为瞬轴
, 转角 。
1 0
A(
)
1
0
0 0 1
1 0
A(
)
1
0
0 0 1
1
A(
,
,
)
0
1 0 0
A(
)
0
1
0 1
1
0
1
1 0
A(,,)
1
0
1
不难验证，无论怎顺 样序 的进行矩A阵()，A()，A()乘法
sinco sco ssin co ssinsinco c so cso ssin co s
sin sin
sin co s
co s
x
x
y
A(
,
,
)
y
z
z
以上讨论表明，刚体的转动可以由变换矩阵来表示，多次 转动仅需要将变换矩阵依次相乘。
由于矩阵乘积不具有交换性，因此刚体有限转动的次序不 可交换。换句话说，改变转动次序刚体会有不同的最终位置。
分解： v O v 1 v 2 v 1 ω ， v 2 // ω
由 v 1可找出瞬轴位置， 刚体的运动可理解为 绕瞬轴的螺旋运动。
4
dt
记： aR αr，称为转动加速切度线，方非向。 aN ωv，称为向轴加速法度线，方非向，但垂直且 指向于瞬a轴 R不。垂直aN于 aaR aN (里瓦斯公 ) 式
刚体绕定点运动时，其上任意一点的速度等于加速度与矢 径的矢量积；加速度等于向轴加速度与转动加速度的矢量和。
§2-2 自由刚体的运动