2020高考数学总复习 第七讲 函数的奇偶性与周期性 新人教版

第七讲函数的奇偶性与周期性

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝( ) A．13 B．2

C.13

2

D.

2

13

解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)

是周期函数，周期为4.所以f(99)＝f(3＋4×24)＝f(3)＝13

f(1)＝

13

2

.

答案：C

2．(精选考题·郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝精选考题，则下列说法正确的是( )

A．f(x)－1是奇函数

B．f(x)＋1是奇函数

C．f(x)－精选考题是奇函数

D．f(x)＋精选考题是奇函数

解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－精选考题；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝精选考题，f(－x)＋精选考题＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋精选考题]，因此函数f(x)＋精选考题是奇函数，选D.

答案：D

3．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log1

2

(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上( )

A．是增函数，且f(x)<0

B．是增函数，且f(x)>0

C．是减函数，且f(x)<0

D．是减函数，且f(x)>0

解析：由题意得当x∈(1,2)时，0<2－x<1,0

2

[1

－(2－x)]＝log1

2

(x－1)>0，则可知当x∈(1,2)时，f(x)是减函数，选D.

答案：D

4．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )

A ．－3

B ．3

C ．－8

D ．8 解析：因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.

由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.

因此满足条件的所有x 之和为－8.

答案：C

5．已知奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f (x )在区间[－7，－3]上( )

A ．是增函数且最小值为－5

B ．是增函数且最大值为－5

C ．是减函数且最小值为－5

D ．是减函数且最大值为－5

解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．

∵f (x )在[3,7]上是增函数，

∴f (x )在[－7，－3]上也是增函数．

∵f (x )在[3,7]上的最小值为5，

∴由图可知函数f (x )在[－7，－3]上有最大值－5.

答案：B

评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f (x )在区间

[3,7]上的示意图，由图形易得结论．

6．(精选考题·新课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3

－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}

＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

解析：当x <0时，－x >0，

∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，

又f (x )是偶函数，

∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，

∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0

. ∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x <2

， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2－(x －2)3－8>0，

解得x >4或x <0.故选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(精选考题·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．

解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x

，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.

答案：－1

8．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________. 解析：依题意有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝f (x －1)，所以f (4)＝f (－(－3)＋1)＝－f (－2)＝－f (－1－1)＝－f (0)＝－2.

答案：－2

9．(精选考题·湖北八校)设函数f (x )的定义域、值域分别为A 、B ，且A ∩B 是单元集，下列命题

①若A ∩B ＝{a }，则f (a )＝a ；

②若B 不是单元集，则满足f [f (x )]＝f (x )的x 值可能不存在；

③若f (x )具有奇偶性，则f (x )可能为偶函数；

④若f (x )不是常数函数，则f (x )不可能为周期函数．

其中，正确命题的序号为________．

解析：如f (x )＝x ＋1，A ＝[－1,0]，B ＝[0,1]满足A ∩B ＝{0}，但f (0)≠0，且满足f [f (x )]＝f (x )的x 可能不存在，①错，②正确；如，f (x )＝1，A ＝R ，B ＝{1}，则f (x )＝1，A ＝R 是