偏导数例题及解析

偏导数例题及解析1.求偏导
注意
对X求偏导(把y看作常数)
对y求偏导(把x看作常数)
1.有Z=e xy+x2y求ðz
ðx 和ðz
ðy
对X求偏导(把y看作常数)
对y求偏导(把x看作常数)
解：
ðz
ðx
=ye xy+2xy
ðz
ðy
=xe xy+x2
2.在点处求偏导
有Z= x3+2x2y−y3求在x=1，y=3处的偏导数。

解：注意：先求偏导数，再代值。

ðz
ðx
=3x2+4xy
ðz
ðy
=2x2−3y2
故：
ðz
ðx
=3x2+4xy=15
ðz
ðy
=2x2−3y2=-25
3.三元函数求偏导
u=sin(x+y2−e z)求ðu
ðx 、ðu
ðy
及ðu
ðz
注意：sin(x+y2−e z)是复合函数，先对内层求导，再对外层求导。

解：ðu
ðx
=cos(x+y2−e z)
ðu
ðy
=2y cos(x+y2−e z)
ðu
ðz
=−e z cos(x+y2−e z)
4.求z=x3y2+xy二阶偏倒数
解：ðz
ðx =3x2y2+yðz
ðy
=2x3y+x
ð2z ðx2=6xy2ð2z
ðy2
=2x3
ð2z ðxðy =6xy2+1 ð2z
ðxðy
=6xy2+1
注意：ð2z
ðx2
再对x求偏导
ð2z ðxðy 是在ðz
ðx
ðz
ðy
的基础上分别对y和x求偏导
作业
1. 求z=e xy+ye x的二阶偏导数
2. 曲线z=x2+y2
4
y=4
在（2，4）处的切线分别与x,y轴正向所成的倾斜角是?
答案
1.解
ðz
ðx
=ye xy+ye x
ð2z
ðz2
=y2e xy+ye x
ðz
ðy
=xe xy+e x
ð2z
ðy2
=x2e xy
ð2z
ðxðy
=e xy+xye xy+e x
✧2.解：
✧对x轴正向所成的倾斜角（对x求偏导）
✧ðz
ðx =1
2
x
✧ðz
ðx =1
2
x=1
2
∗2=1=tanπ
4
✧因此倾斜角为π
4
✧对y轴正向所成的倾斜角（对y求偏导）
✧ðz
ðy =1
2
y
✧ðz
ðy =1
2
y=1
2
∗4=2=tanθ
✧θ=arctan2
✧因此倾斜角为arctan2。