2007年全国高考理科数学试题及答案-山东

2007年山东高考数学理科 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
（1）若cos isin z θθ=+（i 为虚数单位），则使21z =-的θ值可能是（ ） A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π （2）已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫
=<<∈⎨⎬⎩⎭
Z ，，则M N = （ ） A ．{}11-，
B ．{}1-
C ．{}0
D ．{}10-，
（3
）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
（4）设11132a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，，，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ）
A ．1，3
B ．1-，1
C ．1-，3
D ．1-，1，3
（5）函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1
B ．π
C ．2π，1
D ．2π
（6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A ．()3x
f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =
D ．()tan f x x =
（7）命题“对任意的x ∈R ，3
2
10x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3
2
10x x -+≤
①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
B ．存在x ∈R ，32
10x x -+≤ C ．存在x ∈R ，32
10x x -+> D ．对任意的x ∈R ，32
10x x -+>
（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）
A ．0.9，35
B ．0.9，45
C ．0.1，35
D ．0.1，45
（9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） ①p ：2m <-或6m >；q ：2
3y x mx m =+++有两个不同的零点． ②()
:
1()
f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数． ③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A = ；:U U
q B A ⊆
痧．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
（10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A ．2500，2500 B ．2550，2550 C ．2500，2550 D ．2550，2500`
（11）在直角ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A ．2AC AC A
B = B ．2B
C BA BC =
C ．2AB AC C
D =
D ．22
()()AC AB BA BC CD AB
⨯=
（12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2
，质点P 移动五次后位`于点(23)，的概率是（ ）
秒
A ．2
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3
231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．2
231C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3
12231C C 2⎛⎫ ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．
（13）设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA
与x 轴正向的夹角为60
，则OA
为 ．
（14）设D 是不等式组21023041
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤，≥，≤≤，≥表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线
10x y +=距离的最大值是 ．
（15）与直线20x y +-=和曲线2
2
1212540x y x y +---=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
（16）函数log (
3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则
12
m n
+的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）
设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程2
0x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程2
0x bx c ++=有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2
0x bx c ++=有实根的概率． （19）（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，
AB DC ∥．
（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：1D E ∥平面11A BD ； （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值．
（20）（本小题满分12分）
如图，
甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105
方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120
方向的2B 处，
此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
（21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． （22）（本小题满分14分） 设函数2
()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当1
2
b >
时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111
ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
B
C
D A
1A
1D 1C
1B
E
1A
2
A
乙
理科数学参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题 （1）D （2）B （3）D
（4）A （5）A （6）B （7）C （8）A
（9）D
（10）D
（11）C
（12）B
第Ⅱ卷
二、填空题 （13
）
2
p
（14
） （15）22
(2)(2)2x y -+-=
（16）8
三、解答题 （17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2
1
123333
3
n n n
a a a a -++++=
…， ① ∴当2n ≥时，2212311
3333
n n n a a a a ---++++=…． ② ①-②得1
133
n n a -=，13n n a =．
在①中，令1n =，得11
3
a =．
1
3
n n a ∴=．
（Ⅱ）n n
n
b a =
， 3n n b n ∴=．
23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④
④-③得
12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．
即1
3(13)23
13
n n n S n +-=--，
1(21)3344
n n n S +-∴=+．
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程2
0x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程2
0x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2
0x bx c ++=有两个相异实
数”为事件C ，则{}
()126b c b c Ω==，，，，…，， {}
2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，， {
}
2()40126B b c b c b c =-==，，，，，…，， {}
2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，
所以Ω是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个． 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719()()363636
P P B B C =+=
+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则
{}17
036P ξ==
， {}1
118P ξ==，
{}17
236P ξ==，
故ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望0121361836
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（Ⅲ）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程2
0x bx c ++=有实数”为事件E ，由上面分析得
11()36P D =
，7
()36
P D E = ， ()7
()()11
P D E P E D P D ∴=
= ．
（19）（本小题满分12分）
解法一：
（Ⅰ）连结BE ，则四边形DABE 为正方形，
1D 1C
11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ∥∥，
∴四边形11A D EB 为平行四边形．
11D E A B ∴∥．
又1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，
1D E ∴∥平面1A BD ．
（Ⅱ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，，，(100)A ，，，(110)B ，，，(022)C ，，，1(102)A ，，， 1(102)DA ∴= ，，，(110)DB =
，，，
设()x y z =，，n 为平面1A BD 的一个法向量．
由1DA ⊥ n ，DB ⊥ n ，
得200.
x z x y +=⎧⎨
+=⎩，
取1z =，则(231)=-，，n ．
又2(023)DC = ，
，，(110)DB =
，，， 设111()x y z =，，m 为平面1C BD 的一个法向量，
由DC ⊥ m ，DB ⊥
m ， 得1111
2200.y z x y +=⎧⎨+=⎩，
取11z =，则(111)=-，，m ，
设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C --为θ，显然θ为锐角，
cos 3θ∴=
==- m n m n ．
cos 3
θ∴=
，
即所求二面角11A BD C --
的余弦为3
． 解法二：
（Ⅰ）以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DA a =，由题意知：
(000)D ，，，(00)A a ，，，(0)B a a ，，，(020)C a ，，，1(022)C a a ，
，，1(02)A a a ，，，1(002)D a ，，，(00)E a ，，．
1(02)D E a a ∴=- ，，，1(02)DA a a = ，，，(0)DB a a =
，，，
又(02)(0)(02)a a a a a a -=-，，，，，，，
1D E DB DA ∴=- ．
1DA DB ⊂ ，平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ， 1D E ∴∥平面1A BD ．
（Ⅱ）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（Ⅰ）及题意得知：
022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，，(0)M a a ，，，
1222a a FA a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，，，22a a FM a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，
12(0)022a a FA DB a a a ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭ ，，，，，
(0)022a a FM DB a a a ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭ ，，，，．
1FA DB ∴⊥，FM DB ⊥， 1A FM ∴∠为所求二面角的平面角．
111cos FA FM
A FM FA FM
∴=
∠
2a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪=
，，，，
22
2
2a a a --+==． 所以二面角11A BD C --
的余弦值为3
． 解法三：
（Ⅰ）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G = ，AE BD F = ，连结GF ， 由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点，
∴四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点， ∴在1AED △中，1GF D E ∥，
又GF ⊂平面1A BD ，1D E ⊄平面1A BD ，
1D E ∴∥平面1A BD ．
（Ⅱ）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =， AB AD = ，AD DC ⊥，AB DC ∥， AD AB ∴⊥．
故BD =
，由（Ⅰ）得
2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =， 90DBC ∴= ∠，即BD BC ⊥．
又1BD BB ⊥，
BD ∴⊥平面11BCC B ，又1BC ⊂平面11BCC B ，
1BD BC ∴⊥，
取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ，
B
C
D
A
1A
1D 1C
1B
E
F M H
由题意知：1FM BC ∴∥，
FM BD ∴⊥．
又11A D A B =，1A F BD ∴⊥．
1A FM ∴∠为二面角11A BD C --的平面角．
连结1A M ，在1A FM △中， 由题意知：
12A F a =
，1122
FM BC ===， 取11D C 的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM △中，
1A H = ，HM a =，
1A M ∴=．
222
1111cos 2A F FM A M A FM A F FM
+-∴= ∠
22
2
933a a a +-=
3
=． ∴二面角11A BD C --
的余弦值为
3
． （20）（本小题满分12分）
解法一：如图，连结11A B
，由已知22A B =
1220
60A A ==
1221A A A B ∴=，
又12218012060A A B =-=
∠，
122A A B ∴△是等边三角形，
1A
2
A
1212A B A A ∴==
由已知，1120A B =，
1121056045B A B =-= ∠，
在121A B B △中，由余弦定理，
22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-
22202202
=+-⨯⨯ 200=．
12B B ∴=
因此，乙船的速度的大小为
6020
⨯=（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =
，1220
60
A A ==，
112105B A A = ∠， cos105cos(4560)=+
cos 45cos60sin 45sin 60=-
=，
sin105sin(4560)=+
sin 45cos60cos 45sin 60=+
=
．
在211A A B △中，由余弦定理，
222
21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-
22202204
=+-⨯⨯
1
A
2
A
100(4=+．
1110(1A B ∴=．
由正弦定理
1112111222sin sin A B A A B B A A A B =
== ∠∠， 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，
cos15sin1054
==
．
在112B A B △
中，由已知12A B =，由余弦定理，
22212112221222cos15B B A B A B A B A B =++
22210(1210(1=+-⨯+⨯200=．
12B B ∴=
乙船的速度的大小为
6020
=海里/小时．
答：乙船每小时航行海里． （21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
由已知得：3a c +=，1a c -=，
2a ∴=，1c =，
2223b a c ∴=-=．
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，
联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
，
得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
，即，则， 又222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，
因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，
1AD BD k k ∴=-，即
1212122
y y
x x =--- ， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=，
222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．
解得：
12m k =-，227
k m =-
，且均满足22
340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，
． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
． （22）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211
b x x b
f x x x x ++'=+
=++ 设2
()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1
(1)2
x =-
∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫
∴=-=-+ ⎪⎝⎭
．
当12b >
时，max 1
()02
g x b =-+>， 即2
()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，
∴当(1)x ∈-+∞，
时，()0f x '>， ∴当1
2
b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，
上单调递增． （Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当1
2b >时，函数()f x 无极值点．
②12b =时，3
122()01x f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭'=
=+有两个相同的解12x =-， 112x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，时，()0f x '>，
12x ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
，时，()0f x '>，
1
2
b ∴=
时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点． ③当1
2
b <
时，()0f x '=
有两个不同解，1x =
2x =，
0b <
时，1112x -=
<-
，2102
x --=>，
即1(1
)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，． 0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点112
x --=
，
当1
02
b <<
时，11x =
>-，
12(1)x x ∴∈-+∞，，
此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：
由此表可知：1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值112x -=和一个极小值点
212
x -=
；
综上所述：
0b <时，()f x 有惟一最小值点x =
；
1
02
b <<
时，()f x 有一个极大值点12x -=和一个极小值点1x x -=；
1
2
b ≥时，()f x 无极值点．
（Ⅲ）当1b =-时，函数2
()ln(1)f x x x =-+， 令函数2
2
2()()ln(1)h x x f x x x x =-=-++，
则22
2
13(1)()3211
x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，
时，()0f x '>，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增， 又(0)0h =．
(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．
故当(0)x ∈+∞，时，有2
3
ln(1)x x x +>-． 对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111ln 1n n n
⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． 所以结论成立．。