线性回归方程_公开课课件

线性回归方程
会作两个变量的散点图，会利用散点图认识两个变量间的相关关系/了解最小 二乘法的思想，能建立线性回归方程/了解独立性检验的基本思想、方法及初 步应用/了解回归的基本思想、方法及初步应用
【命题预测】
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，直观认识变量间 的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．能利用列 联表进行独立性检验．
变式1：在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资 料如表：
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关
关 系．
身高 14 15 15 17 16 17 17 16 16 16 (cm) 3 6 9 2 5 1 7 1 4 0
体重 (kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54
【知识拓展】 相关系数的性质：
(1)|r|≤1. (2)当|r|越接近于1时，相关程度越大．特殊地，r＝1时，n个点在同一直线上，当 |r|越接近于0时，相关程度越小． (3)|r|的大小反映了x与y之间的线性关系的强弱，相关系数|r|至少大到什么程度才 可以认为x和y的线性关系是显著的呢？这就需要进行显著性检验，即相关性检
①正方体的棱长与体积；②单位面积产量为常数时，土地面积与产量；
③日照时间与水稻的亩产量；④电压一定时，电流与电阻．
解析：①②④中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，③中
的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产
量．
答案：③
2．已知回归方程为 ＝0.50x－0.81，则x＝25时， 的估计值为________．
a＝ －b ＝－0.857 5，所以，回归直线方程 ＝0.728 6x－0.857 5. (2)由 ＝0.728 6x－0.857 5≤10，得x≤14.901 8，所以，机器的速度不能超过 14.901 8 rad/s.
变式2：高三(一)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：
bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称 为 回归直线 ．线性回归方程 ＝bx＋a中的系数a，b可以用下面的公式计
算．
3．相关系数
(1)相关系数
(2)性质：①|r|≤1.②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是________(填序号)．
百度文库
当x＝18时， ＝3.53×18＋13.48≈77，故该同学预计可得77分左右.
【规律方法总结】
1．线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量 间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关 系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之 间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系 是回归分析的前提．
【例2】 一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每 小时生产有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其试验结果.
速度(rad/s)
8 12 14 16
每小时生产有问题
物件数
5 8 9 11
(1)求出两变量间的回归直线方程；
(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么，机器的速度不得
解析：把x＝25代入 ＝0.50x－0.81，得 ＝11.69.
答案：11.69
3．(盐城市调研)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计 了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量
(度) 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程 ＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ 规范解答：(1)可作散点图如图所示：
由图可知它们呈线性相关关系. .…… 6分
(2) ＝159.8， ＝172，
……8分
b＝
≈1.267.
a＝ －b ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴ ＝1.267x－30.47. .…… 10分 (3)把x＝160代入得y＝172.25(分钟)， 预测当钢水含碳量为160时，应冶炼172.25分钟.……14分
量较大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误．
解：∵xiyi：9,14,15,12,5,5,15,12,14,9， ＝0， ＝0，
∴b＝
＝
a＝ －b ＝0－b×0＝0， 故所求回归直线方程为 ＝x.
2．高考在考查这一部分内容时一般以应用题的形式出现，并且体现统计知识的 综合应用．而线性回归和独立性检验都要对数据进行统计和分析，因此，这一部
分知识在考查时一般都会以图表的形式出现，以现实生活中的例子为背景，对某 些实际问题进行理性的分析．
3．高考一般在这一部分尽量减小运算难度，主要在对图表的认识和分析上出 题．题目以填空题的形式为主，属于小题中的中等难度的题目，主要考查考生对
2．线性回归方程 一般地，设有n对观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn
当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时， 就称方程 ＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直当a， b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时，就称 方程 ＝
验． ❖一般地，由公式计算出样本的相关系数r查表得到相应的临界值ra，比较|r|与ra 的大小．若|r|≥ra，就认为x与y线性相关显著；若|r|＜ra，就认为在显著水平a下， x与y线性相关不显著．
1．相关关系
(1)相关关系：相关关系：是指变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表 达．
(2) 线 性 相 关 关 系 ： 能 用 直 线 方 程 性 相关关系 ．
1．观察两相关变量得如下数据：
x：－1，－2，－3，－4，－5, 5, 3, 4, 2, 1；
y：－9，－7，－5，－3，－1, 1, 5, 3, 7, 9.
求两变量间的回归方程．
分析：按照求回归方程的方法，先设方程为＝bx＋a，再确定b，a的
值．求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于求a，b的计算
系．如果 已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料 熔化完毕 到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：
x(0.0 10 18 19 17 14 13 15 19 20 12 1%) 4 0 0 7 7 4 0 1 4 1 y(分 10 20 21 18 15 13 17 20 23 12 钟) 0 0 0 5 5 5 0 5 5 5
2．求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计 算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中 一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)．
3．判断两个变量是否具有线性相关时，可以从散点图判断，也可以求出相关 系数r进行判断.
【例3】 (本小题满分14分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多 少直接 影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关
超过每秒多少转？
思路点拨：先把题中的量用回归分析的专用术语改写，再用回归分析的一般 步骤解题．
解：(1)用x来表示机器的运转速度，y表示每小时生产有问题的物件数，那 么4个样本数据为：(x1，y1)＝(8,5)，(x2，y2)＝(12,8)，(x3，y3)＝(14,9)，(x4， y4) ＝ (16,11) ， 则 ＝ 12.5 ， ＝ 8.25 ， 所 以 ， 回 归 直 线 的 斜 率 为 b ＝ ＝0.728 6，
图表及实际问题的分析能力，体现学以致用的数学价值，增强考生对学习数学的 兴趣．
【应试对策】
1．对相关关系的理解要注意以下几点：(1)不能把相关关系等同于函数关系；(2) 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；(3)如何判断相关关系，统计
学发挥着重要作用，由于变量之间的相关关系带有不确定性，就需要收集大量的 数据，对数据进行统计分析，发现规律，然后才能作出科学的判断；(4)相关关 系是进行回归分析的基础．
电量的度数约为________．
解析：根据题意得， ＝
＝10， ＝
＝40，
所以a＝ －b ＝40－(－2)×10＝60，所以，当x＝－4时， ＝bx＋a
＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
判断变量间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图．散点 图就是利用散点(坐标点)的分布形态反映变量统计关系的一种图形，其特点是能 直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势，能通过直观醒目的图形 方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之 间的关系．
3．独立性检验是数理统计的一种方法，是数学中的一种基本理论，是数学体系 中对数据关系进行探索的一种基本思想．当然，对数据的统计分析得出的结论只 能是在一定程度上对某种关系进行判断，而不是一种确定性的关系，这也是统计 思想与确定性思维的差异所在．独立性检验在实际中也有着广泛的应用，是对实 际生活中的数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者 生产都有一定的指导作用．
2．若要考查变量a(随机变量)与b(非随机变量)的相关性，则b为因变量，a为 自变量，画散点图时，自变量在x轴上，因变量在y轴上．统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱：
(1)|r|≤1，相关程度大；(2)|r|→1，相关程度大；(3)|r|→0，相关程度小．
对于回归分析的步骤可以记忆为：分析建方程，预报看结果，误差看效 果．相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切 程度的统计方法．相关系数没有单位，在－1～＋1范围内变动，其绝对值愈接 近1，两个变量间的相关愈密切，其绝对值愈接近0，两个变量间的相关愈不密 切．相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负， 表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直线以外(如各 种曲线)的关系．
分)之间有如下数据：x：24,15,23,19,16,11,20,16,17,13；y：
92,79,97,89,64,47,83,68,71,59.
某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该生的数学成绩．
解：利用计算器求得b≈3.53，a≈13.48，因此，可求得回归直线方程为
＝3.53x＋13.48.
【例1】 5名学生的化学和生物成绩(单位：分)如下表.
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
学科
学 生A B C D E
化学 80 75 70 65 60
生物 70 65 68 64 62
思路点拨：涉及两个变量：化学成绩与生物成绩，可以以化学成绩为自变量， 考察因变量生物成绩的变化趋势． 解：以x轴表示化学成绩，y轴表示生物成绩，可得相应的散点图如图所示．由 散点图可见，两者之间具有相关关系．
解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系．
回归直线方程在现实生活与生产中有着广泛的应用．应用回归直线方程可以把 非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对实际情况进 行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强应用回归直线方程解决 相关实际问题的意识．
＝ bx ＋ a 近 似 表 示 的 相 关 关 系 ， 叫 做 线
探究：相关关系与函数关系有什么异同点？
提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系，事
实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机 变量的关系． ②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随 关系．