微分方程总结
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第十章:微分方程总结姓名汶y桥
学号:40905237
班级:工商49班小组:第八小组组长汶y洪材
微分方程的基本概念
i•微分方程及其阶的定义
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程、分类1:常微分方程(未知函数为一元函数的微分方程)
dy
~dx axy, a为常数
dy c
dX P x y Q x
偏微分方程(未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程)
2u ¥2u
2 f x,y y
2u x2
u 4
y
微分方程的阶、:微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数、分类2:—阶微分方程
F(x, y, y ) 0,y f (x, y);
高阶(n)微分方程
F(x, y, y 丄,y(n)) 0,
y(n)f(x,y,y,L ,y(n 1)).
分类3:线性与非线性微分方程、
2
y P(x)y Q(x), x(y) 2yy x 0;
分类4:单个微分方程与微分方程组、
乎3y 2z,
dx
dz
2y乙
dx
2•微风方程的解
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数、
微分方程解的分类:通解(微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微
分方程的阶数相同、)
例y y,通解y ce x;
y y 0,通解y G sin x c2cosx;
特解(确定了通解中任意常数以后的解、)
初始条件:用来确定任意常数的条件、
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题、
积分曲线:微分方程的任一特解的图形都就是一条曲线 ,称为微分方程的积分曲
线
1. 可分离变量的方程
可分离变量的微分方程:形如:g(y)dy f(x)dx 的一阶微分方程、 例题回味:
求方程x 2 9 dy -dy - 0的通解
ye
分离变量得,ye y dy — dx
x 9 1
两边同时积分得,
ye y dy ------ -- dx
x 9
于就是得到通解为,1 y e y - arctac
3 3
2. 齐次方程
如果一阶微分方程可化为 形如鱼 f (丄)的方程,那么久称之为齐次方程、
dx x 解法:作变量代换u -,或y xu,
x
两边分求微分得,dy udx xdu,
求出积分后,将u 1
代入,就求得了原微分方程的通解、
x
例题回味:求解微分方程(x ycos 』)dx xcos'dy 0.
x x
解,令 u —,贝V dy xdu udx ,
一阶微分方程
代入原式得,u
du x - dx
f (u),即 x 屯 dx
f(u) u.
若f(u) u 0,则对上式分离变量得
du dx
两边分别积分得
du dx
f u u x
x
(x uxcosu)dx xcosu(udx xdu) 0,
cosudu , sinu
In x C,
x
微分方程的解为sin~y In x C.
x
3. 一阶线性微分方程
形如dy
p x y q x 的方程称为一阶线性微分方程 dx
当Q(x) 0,称方程式为非齐次线性微分方程
当Q(x) 0,称方程dy
p x y q x 为齐次线性微分方程 dx
解法:1、线性齐次方程(分离变量法)
2、线性非齐次方程
例题回味:求方程y 1
y 沁的通解.
x x 1 —,Q(x) x
1 . 1
x
dx sinx
y e x
e x dx C
x
4. 伯努利方程
形如业 P(x)y Q(x)y n
(n 为常数)的方程称为伯努利方程、 dx
三、高阶微分方程
1. n 阶线性微分方程解的结构
n 阶线性微分方程的一般形式:y (n) a 1(x)y (n1)L a n 1(x)y
当f (x) 0寸,称方程式为非齐次线性方程, 当f(x) 0时,称方程式为齐次线性方程。
定义:对于定义在区间(a,b)上的函数组% x ,y 2 x , , y k x
解 P(x)
sin
x ln x
沁 e-dx
sin xdx C
cosx C
a n (x) y f (x).
,如果存在不全为0
的常数C i,C2, ,C k,使得等式GY1 X Gy x c k y k x 0在区间(a,b)
上恒成立,则称函数y i x , y2 x , , y k x在区间(a,b)上线性相关,否则, 则
称线性无关、
定理:①、如果函数y i x , y2 x , ,y n x都就是其次线性方程式的解,则她们的线性组合f x GW x c2y2 x c n y n x也就是齐次线性方程式
的解,其中& £, ,c n就是n个任意常数。
②、如果y i x , y2 x , , y n x就是n阶齐次线性方程式的两个线性无关
的特解,则方程式的通解为y c x c i y i x c2y2 x c n y n x、其
中sc?, ,C n就是n个任意常数,而且方程式的任意解都可以表示成这个形
式。
③、设~y x就是n阶非齐次线性方程
y(n) a i(x)y(n i) L a ni(x)y a n(x)y f (x).的一个特解,% x 就是对应的齐次方程式c i y i x Qy? x C k y k x 0的通解,则非齐次线性微分方程的通解为y x y x y c x、
④、设非齐次方程(2)的右端就是几个函数之与,如
y P(x)y Q(x)y f i(x) f?(x)而 y* 与 y;分别就是方
程,y P(x)y Q(x)y f i(x),y P(x)y Q(x)y f;(x)的特解,那么y;y;就就是原方程的特解、
;.二阶常系数线性方程
n阶常系数线性微分方程的标准形式:y⑺(n i)
Ry L P n i y P n y f (x)
二阶常系数齐次线性方程的标准形式:y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:y py qy f(x)
特征根情况:(i)特征方程有两个不相等的实根(0)