微分方程总结

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第十章:微分方程总结姓名汶y桥

学号:40905237

班级:工商49班小组:第八小组组长汶y洪材

微分方程的基本概念

i•微分方程及其阶的定义

微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程、分类1:常微分方程(未知函数为一元函数的微分方程)

dy

~dx axy, a为常数

dy c

dX P x y Q x

偏微分方程(未知函数为多元函数,从而出现偏导数的微分方程)

2u ¥2u

2 f x,y y

2u x2

u 4

y

微分方程的阶、:微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数、分类2:—阶微分方程

F(x, y, y ) 0,y f (x, y);

高阶(n)微分方程

F(x, y, y 丄,y(n)) 0,

y(n)f(x,y,y,L ,y(n 1)).

分类3:线性与非线性微分方程、

2

y P(x)y Q(x), x(y) 2yy x 0;

分类4:单个微分方程与微分方程组、

乎3y 2z,

dx

dz

2y乙

dx

2•微风方程的解

微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数、

微分方程解的分类:通解(微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微

分方程的阶数相同、)

例y y,通解y ce x;

y y 0,通解y G sin x c2cosx;

特解(确定了通解中任意常数以后的解、)

初始条件:用来确定任意常数的条件、

初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题、

积分曲线:微分方程的任一特解的图形都就是一条曲线 ,称为微分方程的积分曲

线

1. 可分离变量的方程

可分离变量的微分方程:形如:g(y)dy f(x)dx 的一阶微分方程、 例题回味:

求方程x 2 9 dy -dy - 0的通解

ye

分离变量得,ye y dy — dx

x 9 1

两边同时积分得,

ye y dy ------ -- dx

x 9

于就是得到通解为,1 y e y - arctac

3 3

2. 齐次方程

如果一阶微分方程可化为 形如鱼 f (丄)的方程,那么久称之为齐次方程、

dx x 解法:作变量代换u -,或y xu,

x

两边分求微分得,dy udx xdu,

求出积分后,将u 1

代入,就求得了原微分方程的通解、

x

例题回味:求解微分方程(x ycos 』)dx xcos'dy 0.

x x

解,令 u —,贝V dy xdu udx ,

一阶微分方程

代入原式得,u

du x - dx

f (u),即 x 屯 dx

f(u) u.

若f(u) u 0,则对上式分离变量得

du dx

两边分别积分得

du dx

f u u x

x

(x uxcosu)dx xcosu(udx xdu) 0,

cosudu , sinu

In x C,

x

微分方程的解为sin~y In x C.

x

3. 一阶线性微分方程

形如dy

p x y q x 的方程称为一阶线性微分方程 dx

当Q(x) 0,称方程式为非齐次线性微分方程

当Q(x) 0,称方程dy

p x y q x 为齐次线性微分方程 dx

解法:1、线性齐次方程(分离变量法)

2、线性非齐次方程

例题回味:求方程y 1

y 沁的通解.

x x 1 —,Q(x) x

1 . 1

x

dx sinx

y e x

e x dx C

x

4. 伯努利方程

形如业 P(x)y Q(x)y n

(n 为常数)的方程称为伯努利方程、 dx

三、高阶微分方程

1. n 阶线性微分方程解的结构

n 阶线性微分方程的一般形式:y (n) a 1(x)y (n1)L a n 1(x)y

当f (x) 0寸,称方程式为非齐次线性方程, 当f(x) 0时,称方程式为齐次线性方程。

定义:对于定义在区间(a,b)上的函数组% x ,y 2 x , , y k x

解 P(x)

sin

x ln x

沁 e-dx

sin xdx C

cosx C

a n (x) y f (x).

,如果存在不全为0

的常数C i,C2, ,C k,使得等式GY1 X Gy x c k y k x 0在区间(a,b)

上恒成立,则称函数y i x , y2 x , , y k x在区间(a,b)上线性相关,否则, 则

称线性无关、

定理:①、如果函数y i x , y2 x , ,y n x都就是其次线性方程式的解,则她们的线性组合f x GW x c2y2 x c n y n x也就是齐次线性方程式

的解,其中& £, ,c n就是n个任意常数。

②、如果y i x , y2 x , , y n x就是n阶齐次线性方程式的两个线性无关

的特解,则方程式的通解为y c x c i y i x c2y2 x c n y n x、其

中sc?, ,C n就是n个任意常数,而且方程式的任意解都可以表示成这个形

式。

③、设~y x就是n阶非齐次线性方程

y(n) a i(x)y(n i) L a ni(x)y a n(x)y f (x).的一个特解,% x 就是对应的齐次方程式c i y i x Qy? x C k y k x 0的通解,则非齐次线性微分方程的通解为y x y x y c x、

④、设非齐次方程(2)的右端就是几个函数之与,如

y P(x)y Q(x)y f i(x) f?(x)而 y* 与 y;分别就是方

程,y P(x)y Q(x)y f i(x),y P(x)y Q(x)y f;(x)的特解,那么y;y;就就是原方程的特解、

;.二阶常系数线性方程

n阶常系数线性微分方程的标准形式:y⑺(n i)

Ry L P n i y P n y f (x)

二阶常系数齐次线性方程的标准形式:y py qy 0

二阶常系数非齐次线性方程的标准形式:y py qy f(x)

特征根情况:(i)特征方程有两个不相等的实根(0)

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