高等半导体物理

[
2 2 ] t f ( K , t ) d K ] W ( K , K )[ ( 1 f ( K , t )) d K ( 2 ) 3 ( 2 ) 3

这里 2 是考虑自旋，并认为跃迁时自旋不变。上式对 K 积分可得 t ， dK 范围内被散射出的电
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因此电子散射引起分布函数的变化：
(
f )c b a t
根据 ( 2 7 ) 式
在恒定电场与磁场下
(
f f 1 f 1 f ) d ( ) c k f ( e ev B) ( ) c k f ( e ev B) ( ) c b a t t t t
设在弱场条件下，电子在外电场 下的势为 ( r ) ,则含时间的薛定谔方程：


( r , t ) H 0 e ( r ) ( r , t ) i ( 2 1) t H 0 为无外场时的哈密顿量， ( r , t ) 为有外场时的本征波函数。因 e ( r ) 在实空间是扩展势，因


v d e m *
载流子浓度为 n 时电流密度
1
J ne
ne
ne 2 e ( ne e nh h ) m*
( 2 4)
§2 非简并电子气玻尔兹曼方程和弛豫时间近似 热平衡情况下，以 n 型材料为例，电子分布遵循费米-狄拉克分布

(
f f f0 )c t (K)
(2 14)
3
玻尔兹曼方程可写为： k f
1 f f0 (e ev B) (K )
不同的散射机构对系统 的影响是不同的，存在多种散射机制时
1


i
1
i
( 2 16 )
§ 3 电导率 对于一均匀材料， 恒温零磁场， 弱外电场 作用下非简并电子气 （电子浓度为 n） ， 由 （2-13） 、 （2-14） 得到定态玻尔兹曼方程为：
根据欧姆定律： J
， , 为 x，y，z， 是二阶张量，
( 2 19 )

E ( K ) f 0 E ( K ) ) ( )dK ( K )( K E K ( 2 ) 3 2 2e 2
波矢为 K 状态电子的散射。 而第三项 (

条件下，仅考虑电场及磁场的作用时扩散项可忽略， ( 当系统达到一个新的平衡态时，方程写为
f f f ( )d ( )c 0 t t t
( 2 7)
（1）漂移项。 恒温条件下，恒定电磁场 ( , B ) 引起的漂移项：
f dK 1 ( )d k f k f ( e ev B) t dt

K f
e f f0
( 2 17 a )
将 f 按 的幂指数展开： f f0 f1 f 2 。 （ 是弱场， f0 是没加电场的情况。 ）代入 （2-17a）得两边幂次相等的方程组，并求出相应的 f 1 , f 2
积分中， K , K , K 是奇函数，其余的因子都是球对称的，只要 ，积分内函数是奇函数， 所以积分后

0 0

11 22 33 ，因此张量相当于一个标量 0 。
统计平均电导率为
5
1 2 e 2 2 2 0 ( ) K ( K ) f d K 0 3 3 ( 2 ) 3 m * 2 k T B
( 2 8)
（ e 为电子电量的绝对值）
（2）碰撞项。散射作用使分布函数恢复平衡，设单位时间内状态 K 的电子被散射到 K 的几率为


W ( K , K ) ，相反电子从状态 K 被散射到 K 的几率为 W ( K , K ) 。不考虑电子在瞬间实空间的
变化，则在 t 时间内单位体积中从 dK 跃迁到 dK 的电子数可表示成：
f 0 1 f0 E k BT

2 2 K f0 K ( ) dK (K) k BT m * ( 2 ) 3 2 m*
2e 2

2e 2 2 ( 2 ) 3 m * k BT
2
( K ) f 0 K K d K
( 2 20 )
由此看出电导率取决于 E ( K ) 关系。下面就各向同性能带和各向异性能带分别讨论。 § 3-1 各向同性能带 如 GaAs，InP 导带， E ( K )

2 K 2 ， ( K ) 与 K 方向无关。 * 2m
2 K E( K ) * ( K , K , K ) m
f k0
1 E ( k ) EF 1 exp[ ] KT
( 2 5)
分布函数 f ( K , t ) 随时间的变化
f 可表示成： t ( 2 6)
f f f f ( )d ( )c ( )m t t t t
第一项 (
f ) d 为漂移项。第二项是碰撞项，是指晶格的非周期性（杂质、缺陷及晶格振动等）对 t f ) m 是电子密度在空间的不均匀性引起的扩散项。在恒温 t f )m 0 。 t
此方法上与处理浅施主杂质类似，可用有效质量理论来处理。在这里采用的是建立在有效质量方 程上的半经典电子运动方程。根据有效质量理论，考虑各向同性非简并的导带，如 GaAs，InP 等 材料，它们的导带可写成：
Ec ( k ) Ec ( 0)
2k 2 2m *
由方程（2-1）得：
2 2 Ec ( 0 ) 2m * e ( r ) F ( r , t ) i t F ( r , t )
即：平衡时，在恒定电场或磁场下由于电子的漂移对分布函数的影响与散射对电子分布函数的影 响作用相当。
e k f [ ( v B)] b a e 若B 0 k f b a
( 2 13)
（2-13）就是玻尔兹曼方程，它是一个积分微分方程，很难求解。这里采用弛豫时间近似来求解。 设系统偏离平衡态后，从 f ( K , t ) 由于碰撞偏离原始热平衡状态 f 0 所需要的弛豫时间 ( K )
( 2 11 )
[
2 2 f ( K , t ) d K ] ( b a )[ dKt ] 3 3 ( 2 ) ( 2 )
( 2 12) f 1 f f f ( e ev B) ， ( ) d ( ) c 0 和 ( 2 8) 式 ( ) d k f t t t t
2 1/ 2 ne 2 ( K ) f0 K dK ne 2 ( E ) f0 EE dE * * 2 1/ 2 m m f K d K 0 f0 EE dE ne 2 ( E ) Ef0 g ( E )dE ne 2 E * m* m E Ef g ( E ) dE 0
, , 为三个不同方向。若 E E F k BT ，载流子分布函数由 Fermi-dirac 分布
f0 ( K ) E( K ) E F 1 近似看作为玻尔兹曼分布 f 0 ( K ) exp [ ] k BT E( K ) EF 1 exp[ ] k BT
在经典电子气中，电子平均能量：
( 2 21)

2 K 2
2m * dn
dn

2 K 2
2m * ( 2 ) 3 n m*
2 f0 dK

3 k BT 2
( 2 22)
k BT
3( 2 ) 3 n
2
2 K 2
f0 dK
将 k B T 代回（2-21）式，可得到
第二章 半导体的电输运性质 输运性质是指在外场如电场、磁场、热场及压力场等作用下载流子的运动规律。这个过程涉 及的宏观现象有：电阻、霍尔效应、温差电现象、磁阻、热导及压阻等。本章主要讨论的是在电 场作用下载流子的运动。 按照能带论，在严格周期性势场中，电子可以保持在一个本征态中，具有一定的平均速度， 并不随时间改变，这相当于无限的自由程。实际自由程之所以是有限的，则是由于原子振动或其 它原因致使晶体场偏离周期场的结果。在费米统计和能带论的基础上，逐步发展了关于输运过程 的现代理论。本章将主要通过讨论电导问题来介绍关于输运过程的一些基本概念和理论方法。 §1 半经典的处理方法
f e K f0 1 f e K f1 2

e f1 K f0 e f2 K f1
( 2 17 b )
f 0 是指无外场时热平衡分布函数。在考虑分布函数变化一级小量的情况下，讨论电流密度： J ev dn K E( K ) 2e ( f f ) d K 0 1 ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 K E( K ) K E( K ) 2e 2e f d K f d K 1 0 ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 1 2 ef ( K ) v ( K )dK 1 v ( K ) E ( K ) ， f ( k ) d k K ( 2 ) 3 2 2e 1 K E ( K ) f 0 dK 2ev ( k ) f 0 dK 3 3 ( 2 ) ( 2 )
其中： dn
等号后面的第二项：
相当于平衡时的电流，等于 0。
2e 因此， J ( 2 ) 3
K E( K ) f1 d K
4
e e E K f0 E f0 又因为 f1 k
J 2e E ( K ) e E ( K ) f d K K K E 0 ( 2 ) 3 2 ( 2 18)
2
子数：
a
2 d K t ( 2 ) 3

(2 9)
同样电子从 dK 散射回 dK 的电子数为：
b
2 d Kt 3 ( 2 )
2
( 2 10 )
其中
f ( K , t )[ 1 f ( K , t )] W ( K , K ) d K ( 2 ) 3 2 , K )dK b f ( K , t )[ 1 f ( K , t )] W ( K ( 2 ) 3 在 dK 内电子数的变化： a
*
( 2 2)
晶体势的作用“凝聚”到用 m 替代 m 0 ，外场作用下电子的经典运动方程近似地写成：
d 2 r m * dr m ( ) e 2 dt dt
*
( 2 3)
第 1 项是外场作用下的加速运动，第 2 项是杂质或声子对电子的散射。在电场下的加速与散射导 致的对速度的影响形成了两股相互竞争的力量，使得在材料中外电场下电子的运动与真空下的情 形不同。 对于一个理想的晶体，在绝对零度下，散射时间 是无穷，这意味着电子在外场作用下不断 地加速，在晶体中畅通无阻。然而对于实际晶体， 是一个有限的值。对电流 J nev 有贡献的 漂移速度