三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题10 解三角形(解析版)

专题10 解三角形

1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos

25

C =

，1BC =，5AC =，则AB =

A ． B

C

D ．【答案】A

【解析】因为2

23cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭

所以222

32cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭

，则，故选A.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，

的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为222

4a b c +-，则C =

A ．π2

B ．

π3 C ．π4

D ．π6

【答案】C

【解析】由题可知222

1sin 24

ABC

a b c S ab C +-==

△，所以2222sinC a b c ab +-=， 由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π

4

C =

，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

3．【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三

角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =

D ．2B A =

【答案】A

【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+， 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=， 故选A.

【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.

4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===

，则ABC △的面积为_________．

【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2

2

21

(2)2262

c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，

解得c c ==-，

所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B =

=⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．

5．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若

45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．

【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：

sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π

4,4

AB ADB =∠=，

5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠=

=∠==，所以5

BD =.

ππcos cos()cos cos sin sin 4410

ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=

.

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

6．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°

，则sin B =___________，c =___________．

【答案】

7

，3

【解析】由正弦定理得

sin

sin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22

2

2

2cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.

【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .

7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，

则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．

【答案】

,

24

【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，

△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠=

=，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，

∴1sin 2BCD S BD BC DBC =

⨯⨯⨯∠=

△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴2

1

cos cos 22cos 14

ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=

，