简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则
f ( x)
f (u ) ( x )
对 ( x )求导
注意：不要写成 f ( x )！
复合函数的导数
新授课
2 2 y u , u 3 x 2 f ( x ) ( 3 x 2 ) u , ux , f ( x ) 若 ， ，求 y
复合函数的导数
新授课 一般地，设函数 u ( x ) 在点 x 处有导数 ux ( x ) ，函 数 y f (u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y u f ( u ) ，则复合 函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也有导数，且
y x yu u x
解析
复合函数求导法则的注意问题： （1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量； （2）尽可能地将函数化简，然后再求导； （3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用； （4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”，
一环套一环，缺一不可。
例3
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 50(5 x 2)
S f (t ) ( 2t 1)
t
的新函数：
2
由于 f (t ) f ( 2t 1) ( 4t 2 4t 1) 所以由导数的运算法则可得：
f (t )
(8t 4) 4 ( 2t 1)
∵ f (r ) 2r , r (t ) 2 ∴ f (t ) 2 ( 2t 1) 2 f (2t 1) (t )
3 ( 3 x 1 ) f (u ) ( x) 3 2 u 2 3x 1
例2
1
解： 令 u ( x) 2 x 1 ，则函数是由 f (u ) u 3与
简单复合函数求导法则
简单复合函数求导法则根据链式法则，如果y是一个由u=g(x)和v=f(u)组成的复合函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du 是函数f对u的导数，du/dx 是函数g对x的导数。
下面我们将介绍一些常见的简单复合函数求导法则。
一、常数倍数法则如果 f(x) 是一个可导函数，而 c 是一个常数，则 cf(x) 的导数是c * f'(x)。
根据这个法则，我们可以推导出以下常见的函数求导法则。
二、和差法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和f(x)+g(x)的导数是f'(x)+g'(x)差f(x)-g(x)的导数是f'(x)-g'(x)。
三、乘积法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积f(x)g(x)的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
四、商法则如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，则它们的商f(x)/g(x)的导数是[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]²。
如果f(u)是一个可导函数，而u=g(x)是一个可导的函数，则复合函数y=f(g(x))的导数是dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)。
这个法则是链式法则的核心，也是复合函数求导的关键。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是一个正实数，则它的导数是f'(x) = (ln a) * a^x。
对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是一个正实数且a ≠ 1，则它的导数是 f'(x) = 1 / (x * ln a)。
这是一些常见的简单复合函数求导法则。
在实际应用中，我们经常会遇到更复杂的函数，需要根据特定函数的性质和结构来应用合适的求导法则。
掌握这些法则可以帮助我们更准确地计算各种复合函数的导数，并应用于相关问题的求解中。
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数的组合构成的函数。
在数学中，复合函数的求导法则是一种用于计算复合函数导数的规则。
对于一对函数u(x)和v(x)，其中u(x)是v(x)的内函数，即v(x)=u(f(x))，我们可以使用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的表述如下：若y=u(v(x))，其中u(t)和v(x)均可导，则y对x的导数等于u对v的导数乘以v对x的导数，即：dy/dx = du/dv * dv/dx下面我们通过具体的例子来解释复合函数的求导法则，并应用链式法则来计算复合函数的导数。
假设我们想要求解函数y=(2x+1)^3的导数。
我们可以将该函数看作是一个复合函数，其中u(t)=t^3，v(x)=2x+1，即y=u(v(x))。
首先，我们求解 u(t) 对 t 的导数 du/dt。
根据幂函数的导数公式，我们有 du/dt = 3t^2然后，我们求解 v(x) 对 x 的导数 dv/dx。
由于 v(x) = 2x + 1，我们可以直接应用导数的线性性质得到 dv/dx = 2最后，我们将 du/dt 和 dv/dx 相乘，得到 dy/dx = du/dv * dv/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^2所以，函数 y = (2x + 1)^3 对 x 的导数为 dy/dx = 6(2x + 1)^2以下是一些其他常见的复合函数的导数求解例子：1.y=e^x^2首先，设置u(t)=e^t，v(x)=x^2求导得到 du/dt = e^t，dv/dx = 2x。
最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = e^(x^2) * 2x。
2. y = ln(2x + 1)首先，设置 u(t) = ln(t)，v(x) = 2x + 1求导得到 du/dt = 1/t，dv/dx = 2最后，dy/dx = du/dv * dv/dx = (1/(2x + 1)) * 2 = 2/(2x + 1)。
专题十八 简单的复合函数的导数
高考数学（江苏专用）
专题十八 简单的复合函数的导数
考点清单
考点 简单的复合函数的导数
考向基础 1.复合函数求导法则 [f(g(x))]'x=f '(u)|u=g(x)·g'(x),即y'x=y'u·u'x. 以上求导法则,也称为复合函数求导的“链式法则”. 2.(1)[f(ax)]'x=① a·f '(ax) (其中a≠0); (2)[f(x+b)]'x=② f '(x+b) ; (3)[f(ax+b)]'x=af '(ax+b)(其中a≠0).
当-2<a<0时,-
2 a
>1,此时f(x)在(-∞,1)和
2 a
,
上单调递减,在1,
2 a
上
单调递增.
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(3)当a>0时, f(x), f '(x)随x的变化情况如下表:
x f '(x) f(x)
3 a
,
2 a
+
增
-2
a
0 极大值
2 a
,1
-
减
∵f
3 a
>0,f(1)<0,
得x1=0,x2=
n 1 2n 1
,x3=1,因为n≥2,所以x1<x2<x3.
当n为偶数时, f(x), f '(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
f '(x)
+
0
0,
n 1 2n 1
n 1 2n 1
n 1 2n 1
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数的导数求解方法是通过链式法则来完成的，链式法则是微分学中的一条重要定理，用于计算复合函数的导数。
链式法则的公式如下：设函数y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，且y=f(u)及u=g(x)都是定义在实数集上的函数，则复合函数y=f(g(x))是可导的，其导数为：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/dx表示复合函数y = f(g(x))的导数，dy/du表示函数y = f(u)关于u的导数，即f'(u)，du/dx表示函数u = g(x)关于x的导数，即g'(x)。
链式法则的理解可以形象地理解为：复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数的导数。
具体而言，链式法则可以分为两个步骤：1.外层函数对内层函数的导数：首先计算函数y=f(u)关于u的导数，即f'(u)。
这一步是对内层函数的导数进行计算。
2.内层函数对自变量的导数：然后计算函数u=g(x)关于x的导数，即g'(x)。
这一步是对自变量的导数进行计算。
最后，将两个步骤得到的导数相乘，即得到复合函数y = f(g(x))关于自变量x的导数dy/dx。
链式法则的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的复合函数的导数，包括多元函数、隐函数和参数方程等等。
下面将针对一些常见的函数类型，给出链式法则的具体应用示例：1.多项式函数：对于多项式函数y=f(u)=a_n*u^n+a_{n-1}*u^{n-1}+...+a_1*u+a_0，其中u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则计算得到。
例如，设y = (3x^2 + 2x + 1)^3，则u = g(x) = 3x^2 + 2x + 1，可以求出du/dx = 6x + 2、然后，求f(u)关于u的导数，有df/du =3u^2、最后，根据链式法则，复合函数y = (3x^2 + 2x + 1)^3关于x的导数dy/dx = df/du * du/dx = 3u^2 * (6x + 2) = 3(3x^2 + 2x +1)^2 * (6x + 2)。
复合函数求导方法
复合函数求导方法在微积分中，复合函数是一种十分常见的函数形式，它由两个或多个函数组合而成。
对于复合函数的求导，我们需要掌握一定的方法和技巧。
本文将介绍复合函数求导的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下基本的导数求法。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以用极限的形式表示为：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]这是导数的定义式，也是我们求导的基本方法。
而对于复合函数，我们需要使用链式法则来进行求导。
链式法则的表述如下，若函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))可导，并且有。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]这就是链式法则的数学表达形式。
简单来说，就是先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
下面我们通过实例来具体说明复合函数求导的方法。
假设我们要求函数y=(x^2+1)^3的导数。
首先，我们可以将这个函数看作外层函数f(u)=u^3，内层函数u=g(x)=x^2+1。
按照链式法则，我们先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
首先，对外层函数f(u)=u^3求导，得到f'(u)=3u^2。
然后，对内层函数u=g(x)=x^2+1求导，得到g'(x)=2x。
最后，将两者相乘，得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为：\[ \frac{dy}{dx} = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2 \]这就是复合函数求导的具体步骤和结果。
通过这个例子，我们可以看到，复合函数求导并不难，只需要按照链式法则的步骤进行，便可以得到结果。
除了链式法则，我们在求导复合函数时还可以使用其他方法，比如对数导数法则、指数导数法则等。
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式有哪些链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。
所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。
如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。
要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。
链式法则(chain rule)若h(a)=f[g(x)]则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。
"拓展阅读：复合函数的奇偶性复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。
1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。
奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。
函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。
函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。
复合函数的单调性的判断方法复合函数单调性就2句话：2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数简单记法：负负得正,正在得正,负正得负。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
第2章 §5 简单复合函数的求导法则
§5简单复合函数的求导法则学习目标 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导运算(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．知识点一复合函数的概念已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？答案函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答案设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．梳理一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．知识点二复合函数的求导法则(1)复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．(2)复合函数求导的步骤①适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝φ(x)．②分步求导：要特别注意中间变量对自变量求导，先求f′(u)，再求φ′(x)．③计算f′(u)·φ′(x)，并把中间变量代入原变量的函数．1．函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.(×)2．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(×)3．函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成．(√)类型一 复合函数的概念 例1 指出下列函数的复合关系． (1)y ＝(a ＋bx )x ；(2)y ＝ln 3e x ＋2； (3)y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)；(4)y ＝sin 3⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 解 函数的复合关系分别是： (1)y ＝u x ，u ＝a ＋bx .(2)y ＝ln u ，u ＝3v ，v ＝e x ＋2. (3)y ＝3log 2u ，u ＝x 2－2x ＋3. (4)y ＝u 3，u ＝sin v ，v ＝x ＋1x.反思与感悟 要对复合函数分层，应先准确把握住复合函数的特点，才能选择中间变量，写出构成它的内、外层函数．跟踪训练1 下列函数不可以看成是复合函数的是( ) A ．y ＝x cos x B ．y ＝1ln xC ．y ＝(2x ＋3)4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x考点 简单复合函数的导数 题点 复合函数的概念 答案 A解析 B 中函数y ＝1ln x 是由函数f (u )＝1u和函数u ＝φ(x )＝ln x 复合而成的，其中u 是中间变量；C 中函数y ＝(2x ＋3)4是由函数f (u )＝u 4和函数u ＝φ(x )＝2x ＋3复合而成的，其中u 是中间变量；D 中函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是由函数f (u )＝sin u 和函数u ＝φ(x )＝π2－x 复合而成的，其中u 是中间变量．故选A. 类型二 复合函数的求导例2 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝2x －1；(5)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4；(6)y ＝cos 2x . 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数解 (1)y ′＝2×(3x －2)·(3x －2)′＝6×(3x －2) ＝18x －12.(2)y ′＝16x ＋4·(6x ＋4)′＝33x ＋2.(3)y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1. (4)y ′＝122x －1·(2x －1)′＝12x －1 .(5)y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4·⎝⎛⎭⎫3x －π4′＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数． (1)y ＝ln 3xe x ；(2)y ＝x 1＋x 2；(3)y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单复合函数的导数 解 (1)∵(ln 3x )′＝13x ×(3x )′＝1x，∴y ′＝(ln 3x )′e x －(ln 3x )(e x )′(e x )2＝1x －ln 3x e x ＝1－x ln 3x x e x .(2)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2. (3)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝x (－sin 2x )cos 2x ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－12x sin 4x ′ ＝－12sin 4x －x2cos 4x ·4＝－12sin 4x －2x cos 4x .类型三 复合函数导数的应用例3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切，求a ，b 的值． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点， 可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1. 由f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率． 由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 解 由y ＝e sin x ，得y ′＝(e sin x )′＝cos x e sin x ， 即当x ＝0时，y ′＝1，则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0. 两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2，得c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5) D.x 2x ＋5考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数答案 B解析 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′ ＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′ ＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln 2B ．－ln 2 C.ln 22 D ．－ln 22考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 f ′(x )＝e x －a ·e －x ， 由f ′(x )为奇函数可得a ＝1， 故f (x )＝e x ＋e －x ，f ′(x )＝e x －e －x . 设点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为32，则0e x－0ex －＝32，解得x 0＝ln 2. 3．已知函数f (x )＝ax 2－1，且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．a >0 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝12·(ax 2－1)12-·2ax ＝ax ax 2－1，所以f ′(1)＝a a －1＝2，所以a ＝2.故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π9＝________. 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 3 3解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9sin 3x ＋cos 3x ， ∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π9·3cos 3x －3sin 3x ， 令x ＝π9可得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝f ′⎝⎛⎭⎫π9×3cos π3－3sin π3 ＝32f ′⎝⎛⎭⎫π9－3×32， 解得f ′⎝⎛⎭⎫π9＝3 3.5．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 e 2解析 y ′＝122e x，切线的斜率k ＝12e 2，则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积为 12×2×|－e 2|＝e 2.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键．一、选择题1．函数y ＝2sin 3x 的导数y ′等于( ) A ．2cos 3x B ．－2cos 3x C ．6sin 3xD ．6cos 3x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 D解析 y ′＝2(cos 3x )·(3x )′＝6cos 3x .2．已知函数f (x )＝24x －3，则f ′⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A.14 B.14ln 2 C ．ln 2D ．1考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 ∵f ′(x )＝24x －3·ln 2·(4x －3)′＝24x －1·ln 2，∴f ′⎝⎛⎭⎫14＝ln 2.3．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 y ′＝a －1x ＋1，由题意得当x ＝0时，y ′＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 4．曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D ．1考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 A解析 ∵当x ＝0时，y ′＝－2e －2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝x ，得x ＝y ＝23，∴A ⎝⎛⎭⎫23，23，则围成的三角形的面积为12×23×1＝13.5．若f (x )＝e 2x ln 2x ，则f ′(x )等于( ) A ．e 2xln 2x ＋e 2x2xB ．e 2xln 2x ＋e 2xxC ．2e 2xln 2x ＋e 2xxD ．2e 2x ·1x考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 C解析 f ′(x )＝(e 2x )′ln 2x ＋e 2x (ln 2x )′＝2e 2x ln 2x ＋1xe 2x .6．已知函数f (x )＝e ax ＋3x (x ∈R )，a 为实数，若f ′(x )＝0有大于零的解，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 B解析 ∵f ′(x )＝a e ax ＋3， 由a e ax ＋3＝0，得e ax ＝－3a (a <0)．又f ′(x )＝0有大于零的解， ∴0<－3a<1，∴a <－3.7．要得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)B ．向左平移π2个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)C ．向右平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3， ∴将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f ′(x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3的图像． 二、填空题8．函数y ＝cos(π－3x )的导数y ′＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 3sin 3x解析 ∵y ＝－cos 3x ，∴y ′＝－(－sin 3x )·(3x )′＝3sin 3x . 9．曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用 答案 2解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1， 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1＋1)e 1－1＝2.10．若y ＝f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 考点 简单复合函数的导数 题点 简单的复合函数的导数 答案 1解析 令u ＝2x ＋a ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋a )′＝4(2x ＋a )，则f ′(2)＝4(2×2＋a )＝20，∴a ＝1.11．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，0e x －)，当x ＝x 0时，y ′＝－0ex －＝－2，得x 0＝－ln 2，∴P (－ln 2,2)． 12．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2解析 设切点坐标是(x 0，x 0＋1)，依题意有⎩⎨⎧ 1x 0＋a ＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＝－1，a ＝2.三、解答题13．曲线y ＝e 2x cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程． 考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 由y ′＝(e 2x cos 3x )′＝(e 2x )′cos 3x ＋e 2x (cos 3x )′＝2e 2x cos 3x ＋e 2x (－3sin 3x )＝e 2x (2cos 3x －3sin 3x )，得当x ＝0时，y ′＝2.则切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行，可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，两平行线间的距离d ＝|c －1|5＝5，得c ＝6或c ＝－4. 故直线l 的方程为2x －y ＋6＝0或2x －y －4＝0.四、探究与拓展14．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝2，即所求的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.15．求曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离．考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用解 作出直线l ：2x －y ＋3＝0和曲线y ＝ln(2x －1)的图像(图略)可知它们无公共点，所以平移直线l ，当l 与曲线相切时，切点到直线l 的距离就是曲线上的点到直线l 的最短距离，y ′＝12x －1(2x －1)′＝22x －1. 设切点为P (x 0，y 0)，所以22x 0－1＝2，所以x 0＝1， 所以y 0＝ln(2×1－1)＝0，即P (1,0)．所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线l ：2x －y ＋3＝0的最短距离为P (1,0)到直线l ：2x －y ＋3＝0的距离，最短距离d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5.。
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
简单复合函数求导
简单复合函数的导数一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a-========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则（二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±（三）复合函数求导法则1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。
则)()('∙'='x u f y φ2、多次复合函数求导法则类推二、典型例题分析：例1、求下列函数的导数； 1）、3(23)y x =- 2）、l n (51)y x =+练习：求下列函数的导数 1）、2(23)y x =+2）、3(13)y x =-例2、求下列函数的导数； 1）、131y x =- 2)、cos(12)y x =-练习：求导数； 1）、1ln y x= 2）、2x y e =3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则简单复合函数的求导法则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂的函数导数问题。
在这里，我将详细介绍简单复合函数的求导法则及其应用。
什么是简单复合函数？简单复合函数是指由两个或多个基本函数组成的新函数，其中一个基本函数作为另一个基本函数的自变量。
例如，f(x) = sin(2x)就是一个简单复合函数。
如何求解简单复合函数的导数？对于简单复合函数f(g(x))，我们可以使用链式法则来计算其导数。
具体来说，链式法则可以表达为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'表示f(x)的导数，g'表示g(x)的导数。
例如，对于f(x) = sin(2x)，我们可以设g(x) = 2x，则：f'(x) = cos(2x)g'(x) = 2因此，(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)= cos(2*2x) * 2= 2cos(4x)这样就得到了sin(2x)的导数为2cos(4x)，这个结果可以进一步用于计算更加复杂的函数。
需要注意的是，在使用链式法则时，我们需要先计算内层函数（即g(x)）的导数，并将其代入到外层函数（即f(x)）的导数中。
简单复合函数的应用简单复合函数的求导法则在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 物理学中，运动物体的位置、速度和加速度之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到运动物体在不同时刻的速度和加速度。
2. 金融学中，利率和时间之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到不同时间点上的利率变化率。
3. 工程学中，电路元件之间的电流和电压之间可以用简单复合函数表示。
对于这些函数，我们可以使用链式法则来计算它们的导数，从而得到电路元件在不同时刻上的功率和能量变化率。
复合函数求导公式如何求导函数
复合函数求导公式如何求导函数1.复合函数的定义复合函数是指一个函数的输入是另一个函数的输出。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数可以表示为y=f(g(x))。
2.链式法则链式法则描述了复合函数的导数与内外函数的导数之间的关系。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx3.复合函数的导数计算根据链式法则，求复合函数的导数需要分别计算内外两个函数的导数，并将其乘以一起。
为了方便计算，将内外函数分别用u表示。
假设f(u)的导数为df/du，g(x)的导数为dg/dx，复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx可以表示为：dy/dx = (df/du) * (dg/dx)这里有一个例子来帮助理解复合函数的求导过程：4.例子假设有函数y=(x^2+1)^3，将其拆分为内外两部分，即令u=(x^2+1)，f(u)=u^3、我们可以看到，y是f(u)的复合函数。
首先，计算内外两个函数的导数。
对于外函数f(u)=u^3，其导数df/du=3u^2对于内函数u=(x^2+1)，其导数du/dx=2x。
然后，将内外函数的导数代入链式法则，并将其相乘，得到复合函数的导数。
dy/dx = (df/du) * (du/dx)=(3u^2)*(2x)注意，这里的u实际上是内函数的值，即u=(x^2+1)，所以将其代入式子中。
=3(x^2+1)^2*2x最终，我们得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为dy/dx =3(x^2+1)^2 * 2x。
当然，这只是一个简单的例子，实际问题中可能会更加复杂。
不过，不管是什么样的复合函数，都可以通过链式法则来求导。
只需要先计算内外函数的导数，然后将其代入公式即可。
总之，复合函数求导公式通过链式法则，将复合函数的导数化简为内外函数导数的乘积。
通过理解和应用这一公式，可以在实际问题中简化求导计算，提高计算效率。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式
在微积分学中，借助表达式，如复合函数的求导法则公式，可以推导出函数的导数，从而研究函数变化的规律。
复合函数的求导法则公式指的是：设有函数f(x)和g(x)，其中f为g的复合函数，g(x)的导数为g'(x)，f(x)的导数为f'(x)，则f(x)的导数的表达式为
f'(x)=g'(x)f′(g(x)).这一公式也可以被称作链式法则。
具体来讲，复合函数求导时，首先要确定函数f(x)和g(x)，然后将f(x)表示为g(x)的复合函数，将其根据链式法则表示为f′(x)=g′(x)f′(g(x))。
由于这里共有两个变量，因此当可以充分解释复合函数的求导公式时，就可以使用链式法则将其求导表达式化简为一个，最终求得函数f(x)的导数。
在使用链式法则求解复合函数求导公式时，要注意一个问题，就是对导函数的理解。
只有彻底理解了导函数的内容和作用，才能正确解释复合函数求导公式。
此外，由于这个公式既涉及函数f(x)的求导，也涉及函数g(x)的求导，因此要求读者在实际计算中，具有足够的推导过程和数学计算能力，才能给出正确的求解思路，最终得到准确的解决方案。
总而言之，复合函数求导法则公式是一种有效的链式求导方法，在研究函数变化规律时，它有着重要的作用。
但同时，由于复合函数的复杂程度也很大，因此读者在实际应用时，要加强对复合函数和链式法则的认识，以保证最终的正确求解。
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证 设变量 x 有增量 ∆x，相应地变量 u 有 ， 增量 ∆u， 从而 y 有增量 ∆ y. 由于 u 可导 ， ， 可导，
所以 lim ∆u = 0.
∆x → 0
∆y ∆y ∆u = lim ∆y ⋅ lim ∆u lim = lim ⋅ ∆x → 0 ∆ u ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆ u ∆ x
∆y ∆u ′ = lim ⋅ lim = yu ⋅ u′x， ∆u → 0 ∆ u ∆x → 0 ∆ x
即
y′ = y′ ⋅ u′ . x u x
y = sin 2 x 的导数 分析： 分析： (sin x)′ = cos x ⇒ (sin 2 x)′ = cos 2 x ?
例1：求 ：
解1：y ′x = ( s i n 2 x ) ′ = ( 2 s i n x c o s x ) ′ ：
练习2 练习2 解
设 y = (2x + 1)5，求 y ′.
把 2x + 1 看成中间变量 u， ， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 复合而成， y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于
y′ u = ( u )′ = 5u ,
5 4
u′ = ( 2 x + 1)′ = 2. x
1 2 u = 1 2 (1 − x 2 ) 也在心中运算 .
′ yu = ( u )′ =
这样可以直接写出下式
y′ = x
1 2 (1 − x 2 )
⋅ (1 − x )′ x =
2
−x 1 − x2
.
练习3 练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f ′(x). 解
f ′( x ) = cos x 2 ⋅ ( x 2 )′ x = 2 x cos x 2
1)
2)
(u ( x) ± v( x)) ' = u '( x) ± v '( x)
(u ( x) ⋅ v( x)) ' = u '( x)v( x) + u ( x)v '( x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3) ′ u ( x) u '( x)v( x) − u ( x)v '( x) = v( x) )′ = 2u ,
所以
u′ = (sin x )′ = cos x . x
′ y′x = yu ⋅ u′x = 2u ⋅ cos x = 2 sin x cos x .
例3 解
设 y = 1 − x 2 , 求 y ′.
记在脑子中. 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中
简单复合函数的 求导法则
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知识回顾
1、导数公式表
函数 导函数
y = c(c是常数）
y = xα (α为实数）
y = a x (a > 0, a ≠ 1)
y′ = 0
y ′ = α x α −1
y′ = a x ln a
y=e
x
y′ = e x
y′ = 1 x ln a 1 y′ = x
y' =
x cos x − x sin x 2x
cos x sin 2 x
y'= −
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二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对 于 函 数 y = f (ϕ ( x )), 令 u = ϕ ( x ), 若 y = f ( u ) 是 中 间 变 量 u的 函 数 ， u = ϕ ( x ) 是 自 变 量 x的 函 数 ， 则 称 y = f (ϕ ( x )) 是 自 变 量 x 的 复 合 函 数 .
= 2 (cos x cos x − sin x sin x ) = 2 cos 2 x
解2： y = sin 2 x 可由y=sinu,u=2x复合而成 ：
′ yu = cos u , u ′ = 2 x
′ x ∴yu.u′ = 2cosu = 2cos2x ′ ′ ′ ∴yx = yu ⋅ux =2cos2x
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练习1 练习
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y = sin 2 x； (2) y = 3 x + x + 1；
2
y = sin u ,
y = u,
y = cos u ,
u = 2x
u = 3x 2 + x + 1
u = sin x
(3) y = cos(sin x)； (4) y = (a + bx n ) m； 1 (5) y = sin(1 − ). x
作 业
课本P51页习题2-5第1,2题
例1 求下列函数的导数 1 （） y = (2 + 5 x)10 1 x
【解析】
(2)
y = sin 3 x + sin x3
例1 求下列函数的导数 1 （） y = (2 + 5 x)10 1 x (2) y = sin 3 x + sin x3
解：(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.
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课前练习：
1 1 1. y = x( x + + 2 ), 求y '； x x x x 2. y = x − sin cos , 求y '； 2 2
2
1 y ' = 2x + 2 x
2
1 y ' = 1 − cos x 2
3. y = x cos(− x), 求y '；
1 4. y = , 求 y '； sin x
y′x = y′ ⋅ u′ = 5u 4 ⋅ 2 = 10( 2 x + 1)4 . 所以 u x
例2 解
设 y = sin2 x，求 y ′. ， 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利
用乘法的导数公式，这里， 用乘法的导数公式，这里， 我们用复合函数求导法. 我们用复合函数求导法 复合而成. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成 而
y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = sin x
Title
y′ = cos x
y′ = − sin x
y′ = 1 cos 2 x
1 sin 2 x
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y = cos x
y = tan x
y = cot x
y′ = −
2.导数的四则运算法则： 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
2
由 y=u
′ yu =
2
与 u = 3 x − 2复合而成.
2u
=
6 x − 4 ; u′x =
′ x y = y = yu ⋅ u ′
' ' x
3 ;
' x
′ x 分析三个函数解析式以及导数 yu , u ′ , y
之间的关系:
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复合函数的求导法则
定理 均可导， 设函数 y = f (u)， u = ϕ (x) 均可导， ， 也可导. 则复合函数 y = f (ϕ (x)) 也可导 且
例2 求曲线y = 3 (3 x 2 + 1)在点（ ，4）处的切线方程。 13
【解析】
自学课本：P50，例3
复习检测
复习检测
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作 业 课本P51页习题2-5第3,5题
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′ x 或 x y′ = yu ⋅ u′， y′ = f ′(u) ⋅φ′(x) x
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 因变量对自变量求导, 量求导,乘以中间变量对自变量求导. 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 注意： )
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
y =u ,
m
u = a + bx .
n
y = sin u,
1 u = 1− x
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① y x = y =[(3x− 2) ]' = (9x −12x + 4) =18x −12
'
'
2
问题： 如何求 y = (3 x − 2 ) 2 的导数？
2 '
② 其实， =(3x −2) 是一个复合函数， y