思想02 分类讨论思想(文)(教学案)(含解析)

思想二分类讨论思想
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原则 (1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】
类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用
例1.已知{}(){}
2
2
2
|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈，如果A
B B =，求实
数a 的取值范围.
试题分析：化简得{}0,4A =-，由A B B =得B =∅时，{}{}04B =-或时{}0,4B =-时，解出并验
证即可得出结果.
综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.
点评：本题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.解本题时，通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系，把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题，集合A 、B 均是关于x 的一元二次方程的解集，特别容易出现的错误是遗漏了φ=B 的情形，当φ≠A 时，则有φ=B 或φ≠B ，避免出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累.
例2.已知命题:p 指数函数2
()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对
(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.
试题分析：（1）命题p 为真命题等价于2
40ax x a -+>在R 上恒成立，分0a =与0a ≠由二次函数的性
质讨论即可；（2）命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题等价于命题p 与命题q 一真一假，先分别求出命题p 为真命题、命题q 为真命题时a 的范围，再求“P 真q 假”与“P 假q 真”时a 的范围，再求a 的并集即可.
试题解析：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意.当0a ≠时，
0∆<且0a >，故2a >；
（2）若q 为真，则221a x x >-
+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，2
21y x x
=-+为增函数且(,1)x ∈-∞-，故1a ≥.“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，故12a ≤≤.
点评：本题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题，属容易题；当两个命题均为真命题时，“p q ∧”为真命题，其余为假命题，当两个命题均为假命题时，“p q ∨”为假命题，其余为真命题，由此可得“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假，是解本题的关键.
规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论． 举一反三
1.设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+<，{}|114B x x =≤+≤． （1）若1m =，求A B ；
（2）若A
B A =，求实数m 的取值集合．
2.已知命题:p 函数()()
2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 关于x 的方程22
3210
x ax a -++=的两个实根均大于3，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围． 试题解析：若p 真，则00
a >⎧⎨
∆<⎩，∴3a >，若q 真，令()22
321f x x ax a =-++，则应满足
()()()22234210
399210a a f a a ⎧∆=--+≥⎪⎨=-++>⎪⎩，∴222522
a a a a a ⎧
⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或∴52a >，又由题意可得p 真q 假或p 假q 真，若p 真
q 假，则352a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴a 无解，若p 假q 真，则3
5
2
a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，∴532a <≤．综上可得，a 的取值范围是5|32a a ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭。

类型二：分类讨论思想在导数中的运用
例3.设函数()ln ax f x e x λ=+，其中0a <，e 是自然对数的底.
（1）若()f x 是()0 +∞，
上的单调函数，求λ的取值范围； （2）若1
0e
λ<<，证明：函数()f x 有两个极值点.
试题分析：（1）首先求得导函数，然后分0λ≤、0λ>求得函数的单调区间，并求得其最小值，由此求得λ的取值范围；（2）首先结合（1）求得函数的最小值为11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，然后根据λ的范围得到函数()g x 的
零点区间，从而使问题得证．
试题解析：（1）()()'0ax ax
axe f x ae x x x
λ
λ
+=+=>.①若0λ≤，则()'0f x <，则()f x 是()0 +∞，
上的减函数；②若0λ>，令()ax g x axe λ=+，其中0a <，0x >，则()()'1ax g x ae ax =+，令()'0g x =，得1
x a =-，
当10 x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，
上，()'0g x <，()g x 递减，当1 x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，上，()'0g x >，()g x 递增.故当1x a =-时，()g x 取极小值，也是最小值11g a e λ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭.因此当10e λ-≥，即1e λ≥时，()0g x ≥，此时()'0f x ≥，()
f x 是()0 +∞，
上的增函数.综上所述，所求λ的取值范围是(]1 0 e ⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭
，，. （2）由（1）知()g x 的极小值即最小值为11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为10e λ<<，所以11g a e λ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
0<，又
()00g λ=>，所以()100g g a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，因此()g x 在10 a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
上有唯一零点.注意到11e λ<<，所以11a a λ->-，111g e a λλλλ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以下证明：1
110g e a λλλλ-⎛⎫
-=-> ⎪⎝⎭
.注意到上述不等式
1
2
1
1
2ln 2ln 0e
λλλλ
λ
-⇔>⇔>-
⇔+
>，令()112ln 0e ϕλλλλ⎛⎫=+
<< ⎪⎝
⎭，则()222121
'0λϕλλλλ-=-=<，所以()1
2ln ϕλλλ=+
在10 e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，所以()112ln 20e e e e ϕλϕ⎛⎫
>=+=-> ⎪⎝⎭
，即1
110g e a λλλλ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭
，因此()g x 在1 a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭，上有唯一零点2t .所以()10 x t ∈，时，()0g x >，
()'0f x >，()f x 递增；()12 x t t ∈，时，()0g x <，()'0f x <，()f x 递减；()2 x t ∈+∞，时，()0g x >，
()'0f x >，()f x 递增；综上所述，函数()f x 有两个极值点12 t t ，，其中1t 是极大值点，2t 是极小值点.
点评：解答单调性与函数的导数的关系的思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式．导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之，函数是增函数则导函数的值不小于零；函数是减函数则导函数的值不大于零．
规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内． 【举一反三】 设函数()()()()2
21ln ,12
f x x a x a R
g x x a x =
-∈=-+. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当0a ≥时，讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.
(2)令()()()()2
11ln ,02
F x f x g x x a x a x x =-=-
++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数．①当0a =时，()()2
1,0,2F x x x x F x =-+>有唯一零点；当0a ≠时，()()()1'x x a F x x
--=-.②当1a =时，
()'0F x ≤,当且仅当1x =时取等号，所以()F x 为减函数．注意到()()3
10,4ln 402
F F =
>=-<,所以()F x 在()1,4内有唯一零点；
③当1a >时，当01x <<，或x a >时，()'0;1F x x a <<<时，()'0F x >，所以()F x 在()0,1和(),a +∞上单调递减，在()1,a 上单调递增．注意到
()()()1
10,22ln 2202
F a F a a a =+
>+=-+<，所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点；④当01a <<时，0x a <<，或1x >时，()'0;1F x a x <<<时，()'0F x >，所以()F x 在()0,a 和()1,+∞上单调递减，在(),1a 上单调递增．注意到
()()()()()110,22ln 0,22ln 22022
a
F a F a a a F a a a =+
>=+->+=-+<，所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点.综上，()F x 有唯一零点，即函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点. 类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用
例4.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()2 1M ，
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，
两点，
且在直线2:0l x y -+上存在点M ，使得MPQ △为等边三角形，求直线1l 的方程.
试题分析：（1）根据椭圆过点M 及离心率建立方程求得,a b 的值，由此得到椭圆方程；（2）首先根据题意设出直线l 的方程与点,P Q 的坐标，然后联立直线与椭圆的方程，由此利用韦达定理求得||PO 的面积表达式，从而利用等边三角形的性质求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程． 试题解析：（1）依题意得：
22
41
1a b
+=
，c e a ==，又222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22
182
x y +=.（2）显然，直线l 的斜率k 存在，设()00 P x y ，
，则()00 Q x y --，，①当0k =时，PQ 的垂直平分线为y 轴，y 轴与直线m
的交点为(0 M ，
，因为PO =
MO =60MPO ∠=︒，则MPQ △为等边三角形.此时直线1l 的方程为0y =.
②当0k ≠时，可设直线l 的方程为y kx =，联立2218
2y kx
x y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()
22188k x +=.
解得
0x
PO =.又PQ 的垂直平分线为1y x k =-.
由0
1x y y x k ⎧-+=⎪⎨=-⎪
⎩
，可得M ⎛ ⎝⎭，所以
MO =因为
MPQ △为等边三角形，所以MO
，于是
=0k =（舍去）或27k =.此时直线1
l 的方程为2
7y x =.综上所述，直线l 的方程为0y =或27
y x =
. 点评：在解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数、三角等知识解答，这就要求在分析、解决问题时要充分利用数形结合、设而不求法、弦长公式及韦达定理综合思考．
规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征
进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化． 【举一反三】
在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y
为动点，已知点A
，(B ，直线PA 与AB 的斜率之积为定值12
-
． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）若(1,0)F ，过点F 的直线l 交轨迹E 于M ，N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程．
【解析】（1
12=-，整理得2212x y +=．所以所求轨迹E 的方程为2212
x y +=（0y ≠）．
（2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；当直线l 与x 轴垂直时，l ：1x =，
此时M
，(1,2N -
，以MN
为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(12
±，不合题意； 当直线l 与x 既不重合，也不垂直时，不妨设直线l ：(1)y k x =-（0k ≠）．11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN
的中点1212(,(1))22x x x x Q k ++-，由22(1),1,
2y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-=，得2122421k x x k +=+，21222221k x x k -⋅=+，所以Q 222
2(,)2121k k
k k -++，则线段MN 的中垂线m 的方程为2
2212()2121
k
k y x k k k +=--++，
整理得直线m ：221x k y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点2(0,)21k R k +，。