北师大版数学高二-选修1试题 导数的概念
北师大版数学高二-选修1-1测评12 导数的概念 导数的几何意义
学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则limΔx→0f(1＋x)－f(1)x等于()A．2B．1C.12D．14【解析】limΔx→0f(1＋x)－f(1)x＝f′(1)＝1.【答案】 B2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝aΔx＋b(Δx)2Δx＝a＋bΔx，当x趋于x0，即Δx趋于0时，平均变化率趋于a，∴f′(x0)＝a.【答案】 C3．如图3-2-2所示的是y＝f(x)的图像，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()图3-2-2A．f′(x A)>f′(x B) B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定【解析】分别过A，B两点作曲线的切线，由切线的斜率知k B>k A，∴f′(x B)>f′(x A)．故选B.【答案】 B4．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于()【导学号：63470061】A．1 B．2C．4 D．6【解析】可得f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0[a(1＋Δx)＋b]－(a＋b)Δx＝limΔx→0aΔxΔx＝a，又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，故a＋b＝2，即b＝0，所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.【答案】 C5．已知曲线f(x)＝－2x和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为()A．y＝－2x＋4 B．y＝－2x－4 C．y＝2x－4 D．y＝2x＋4【解析】ΔyΔx＝－21＋Δx＋21Δx＝21＋Δx，∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.∴直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.【答案】 C二、填空题6．(2016·亳州高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.【解析】∵f(1)＝1＋2＝3，f′(1)＝k＝1，∴f (1)＋f ′(1)＝4. 【答案】 47．(2016·蚌埠高二检测)曲线y ＝x 2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________．【解析】 设切点横坐标为x 0， f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0，∴2x 0＝tan 30°＝33，∴x 0＝36，∴y 0＝112. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫36，1128．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于________.【导学号：63470062】【解析】 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a .∴可令2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，1＋x 2，x <0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．【解】 当x ＝1时，Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1.由导数的定义，得f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.当x ＝－1时，Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝1＋(－1＋Δx )2－1－(－1)2Δx＝Δx －2.由导数的定义，得f′(－1)＝limΔx→0(Δx－2)＝－2.所以f′(1)·f′(－1)＝12×(－2)＝－1.10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．【解】曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝f′(1)＝limΔx→0 3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.[能力提升]1．曲线y＝x3＋6在点P(1,7)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－4 B．－3C．4 D．10【解析】ΔyΔx＝(1＋Δx)3＋6－(13＋6)Δx＝3Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3Δx＝(Δx)2＋3Δx＋3.当Δx→0时，ΔyΔx→3.∴在(1,7)处的切线方程为y－7＝3(x－1)．令x＝0得y＝4.【答案】 C2．(2016·杭州高二检测)若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P (1,3)，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 【解析】 ∵点P (1,3)既在直线上又在曲线上， ∴3＝k ＋1，且3＝1＋a ＋b ，即k ＝2，a ＋b ＝2.根据导数的定义知y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ， ∴3×12＋a ＝k ，∴a ＝－1，b ＝3. 【答案】 A3．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )＋3－(x 2＋2x ＋3)Δx＝lim Δx →0 (2x ＋2)·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2x ＋2)＝2x ＋2.∴可设P 点横坐标为x 0，则曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2. 由已知得0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－12， ∴点P 横坐标的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－124．过曲线y ＝x 2＋1上点P 的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标.【导学号：63470063】【解】 设切点P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx ＝2x 0.所以过点P 的切线方程为：y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x ＋1－x 20，又此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得2x 2＋2x 0x ＋2－x 20＝0. 即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，73或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，73.。
北师大版数学高二选修1-1 作业 3.2导数的概念及其几何意义
1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( )A ．2B ．－12C ．－2 D.12解析：由导数几何意义知，f ′(3)＝－2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．不确定解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)1＝lim Δx →0 a Δx Δx ＝lim Δx →0a ＝a ， ∴a ＝2.答案：A3．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A 、B 处切线的倾斜角分别为α、β，则π2<α<β<π. ∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B4．已知曲线f (x )＝－2x 和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.答案：C5．已知f (x )＝1x ，则lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx的值是________． 解析：f (2＋Δx )－f (2)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )， ∴f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12(2＋Δx )， ∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝li m Δx →0 －12(2＋Δx )＝－14. 答案：－146．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是________．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.8．已知曲线y ＝f (x )＝x 2＋1，则是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：设切点为P (x 0，y 0)．由Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx＝2x 0＋Δx ，得f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0. 则切线的斜率为k ＝2x 0.由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又因为切线过(1，a )，y 0＝x 20＋1，所以a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线， a 的取值范围是{a |a <2}．。
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第三章 §2 导数的概念及其几何意义
探究二
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思维辨析
探究二
导数的几何意义及其应用
【例2】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率
等于(
)
A.0 B.2
C.4 D.6
1
7
(2)求曲线 y= − 在点 P 4,- 4 处的切线方程.
分析(1)利用导数几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得
Δ →0 x
Δ
不存在,则称 f(x)在 x=x0 处不可导.
x→0 Δ
① lim
-5-
§2导数的概念及其几何意义
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f(1+x)-f(1)
等于(
3x
Δ→0
【做一做 1】 (1)设函数 f(x)可导,则 lim
A.f'(1)
)
B.3f'(1)
1
C. 3f'(1)
-9-
§2导数的概念及其几何意义
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率.
(
)
(2)函数f(x)在x0处的导数与Δx无关,只与x0有关.(
)
(3)曲线的切线与曲线只有一个公共点.(
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反思感悟求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数一般按下列步骤:
(1)求函数的增量 Δy=f(x0 +Δx)-f(x0);
高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义训练含解析北师大版选修1_1
§2 导数的概念及其几何意义A组1.若函数f(x)=-3x-1,则f'(x)=()A.0B.-3xC.3D.-3解析:f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=lim Δx→0-3(x+Δx)-1+3x+1Δx=limΔx→0(-3)=-3.答案:D2.已知函数y=f(x)的图像如下图所示,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是()A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定解析:由图像易知,点A,B处的切线斜率k A,k B满足k A<k B<0,由导数的几何意义,得f'(x A)<f'(x B).答案:B3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则a=()A.-1B.1C.-2D.2解析:k=limΔx→0(2+Δx)3-23Δx=limΔx→0[12+6Δx+(Δx)2]=12,∴过点(2,8)的切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,∴a=1.答案:B4.若曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为()A.(1,-8)B.(-1,-12)C.(1,-8)或(-1,-12)D.(1,-12)或(-1,-8)解析:设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x03+x0-10.切线斜率k=limΔx→0(x0+Δx)3+(x0+Δx)-10-(x03+x0-10)Δx=limΔx→0[(3x02+1)+3x0·Δx+(Δx)2]=3x02+1=4,∴x0=±1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).答案:C5.曲线f(x)=x2在x=0处的切线方程为.解析:f'(0)=limΔx→0(0+Δx)2-0Δx=limΔx→0Δx=0,又切线过点(0,0),故切线方程为y=0.答案:y=06.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f'(4)=.解析:由题意得,f'(4)=-2,f(4)=-2×4+9=1.因此,f(4)+f'(4)=1-2=-1.答案:-17.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a围成的三角形的面积为16,则a=.解析:因为f'(a)=limΔx→0(a+Δx)3-a3Δx=3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为(23a,0),由题设知三角形面积为12|a-23a|·|a3|=16,解得a=±1.答案:±18.求下列函数的导数.(1)求函数f(x)=√x在x=1处的导数;(2)求y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数.解(1)解法一(导数定义法):Δy=√1+Δx-1,Δy Δx =√1+Δx-1Δx=√1+Δx+1.limΔx→√1+Δx+1=12,∴f'(1)=12.解法二(导函数的函数值法):Δy=√x+Δx−√x,Δy Δx =√x+Δx -√x Δx=√x+Δx+√x . ∴lim Δx →0Δy Δx=lim Δx →√x+Δx+√x =2√x . ∴f'(x )=2√x ,∴f'(1)=12. (2)y'=lim Δx →0(x +Δx )2+a (x +Δx )+b -(x 2+ax +b )Δx=lim Δx →02x (Δx )+a (Δx )+(Δx )2Δx =lim Δx →0(2x+a+Δx )=2x+a.9.导学号01844032已知曲线y=1t -x 上点P (2,-1). 求:(1)曲线在点P 处的切线的斜率;(2)曲线在点P 处的切线方程.解将P (2,-1)代入y=1t -x ,得t=1,∴y=11-x .∴y'=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx=limΔx →011-(x+Δx )-11-x Δx =limΔx →0Δx [1-(x+Δx )](1-x )Δx =lim Δx →01(1-x -Δx )(1-x )=1(1-x )2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为1(1-2)2=1;(2)曲线在点P 处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0.B 组1.曲线y=f (x )=12x 2-2在点(1,-32)处切线的倾斜角为( ) A.1 B.π4C.54D.-π4 解析:由导数的定义可知f'(x )=x ,所以f'(1)=1=tan θ,故θ=π4.答案:B2.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直,则a b 的值为( ) A.23 B.-23 C.13 D.-13 解析:由导数的定义可得y'=3x 2,∴y=x 3在点P (1,1)处的切线斜率k=3.由条件知,3×a b =-1,∴a b =-13.答案:D3.函数y=f (x )的图像在点P (5,f (5))处的切线方程是y=-x+8,则f (5)+f'(5)= . 解析:由题意知,f (5)=-5+8=3,f'(5)=-1, ∴f (5)+f'(5)=2.答案:24.如图,函数f (x )的图像是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f [f (0)]= ;lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx = .(用数字作答)解析:易知f (x )={-2x +4(0≤x ≤2),x -2(2<x ≤6),∴f (0)=4,f [f (0)]=f (4)=2.由导数的定义知limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =f'(1)=-2.答案:2 -25.导学号01844033已知曲线C :y=1t -x 经过点P (0,-1),求: (1)曲线在点P 处的切线的斜率.(2)曲线在点P 处的切线的方程.(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程.解(1)将P (0,-1)代入y=1t -x 中得t=-1, ∴y=-1x+1.∴Δy Δx =f (x+Δx )-f (x )Δx=-1x+Δx+1+1x+1Δx =1(x+Δx+1)(x+1),∴lim Δx →0Δy Δx=1(x+1)2, ∴曲线在点P 处切线的斜率为k=1(0+1)2=1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y+1=x ,即x-y-1=0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上,设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0,y 0), 则切线斜率k=y 0x 0=1(x 0+1)2, ∵y 0=-1x 0+1,∴x 0=-12,∴切点M (-12,-2),切线斜率k=4,切线方程为y+2=4(x +12),即y=4x.6.导学号01844034已知直线l 1为曲线y=f (x )=x 2+x-2在(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程;(2)求由直线l 1,l 2和x 轴围成的三角形的面积.解(1)f'(x )=limΔx →0(x+Δx )2+(x+Δx )-2-x 2-x+2Δx =lim Δx →02x (Δx )+(Δx )2+Δx Δx =lim Δx →0(2x+Δx+1)=2x+1.∴f'(1)=2×1+1=3,∴直线l 1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l 2与曲线y=x 2+x-2相切于点B (b ,b 2+b-2),则l 2的方程为y=(2b+1)x-b 2-2.∵l 1⊥l 2,则有2b+1=-13,b=-23,∴直线l 2的方程为y=-13x-229.(2)解方程组{y =3x -3,y =-13x -229,得{x =16,y =-52. 故直线l 1和l 2的交点坐标为(16,-52).l 1,l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0),(-223,0), 故所求三角形的面积S=12×253×|-52|=12512.。
北师大版数学数学 3.2.1导数的概念同步练习北师大版选修1-1
学案导学 备课精选】2015年高中数学 3.2.1导数的概念同步练习（含解析）北师大版选修1-1 课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f x 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx. 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f x 1－f x 0x 1－x 0＝0limx ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx .一、选择题1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．下列各式正确的是( )A.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0x B.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0－Δx ＋f x 0Δx C.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0＋Δx －f x 0Δx D.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f x 0＋Δx ＋f x 0Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－16．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1B .12C .13D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，则f 1f ′0的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念作业设计1．B2．C3.A [0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx =0lim x ∆→－f x 0－f x 0－Δx Δx =－0lim x ∆→f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5.A6．D7．4 m /s解析 s ′(2)=0lim x ∆→22＋Δt 3－52＋Δt 2－2×23－5×22Δt ＝4.8．－11解析 0limx ∆→f x 0－Δx －f x 0Δx =－0lim x ∆→f x 0－Δx －f x 0－Δx →0 f x 0－Δx －f x 0－Δx ＝－f ′(x 0)＝－11.9．2解析 ∵f ′(1)=0limx ∆→a 1＋Δx －a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ·1＋1＋Δx =－11＋0·1＋1＋0＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12. 11．解 G ′(10)=0lim x ∆→G 10＋Δx －G 10Δx =0lim x ∆→0.110＋Δx 2＋2.610＋Δx －0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)=0lim x ∆→f Δx －f 0Δx ＝0lim x ∆→a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx ＝0lim x ∆→＝b. 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a>0，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0lim x ∆→40＋Δt 2＋2Δt －3－4×02＋2×0－3Δt＝2；s ′(5)=0lim x ∆→45＋Δt 2＋25＋Δt －3－4×52＋2×5－3Δt ＝42， 故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .。
北师大版高二数学导数知识点汇总
北师大版高二数学导数知识点汇总一、导数的概念与定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]二、导数的基本运算法则1. 导数的线性性质：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(a) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(b) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；2. 导数的乘积法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；3. 导数的商法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导且g(x)≠0，则有以下运算法则：\[\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{(g(x))^2}}\]三、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数f(x)=c，其中c为常数，导数为零，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^xln(a)。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=\frac{1}{{xln(a)}}。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
四、高阶导数和隐函数的导数1. 高阶导数：若函数f(x)在某一区间内的每一个点处都存在导数f'(x)，则f'(x)也是一个函数，称为f(x)的一阶导函数。
导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min) 的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和 c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度 为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中 药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度 为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液 中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
P(x,x²)
T
P0(1,1)
1
2x
y
请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
o
P
y=f(x) Q
割 线
T 切线
x
割线斜率与切线斜率
1.割线的斜率
k f (x0 x) f (x0 ) x
2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
k0
lim
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .
2
3 x0
1 x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
-1
即点P处的切线的斜率等于4. -2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
北师大版数学高二选修1-1 第四章复习 导数的概念及性质 单元测试
第四章复习：导数的概念及性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.典型例题 基础过关（1）若a≤0，)(x f '=e x-a≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x-a≥0,∴e x≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f（x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a≥0，即a≤e x在R 上恒成立.∴a≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a≤0.（3）方法一 由题意知e x-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a≥1.同理可知e x-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a≤3x 2对x∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得a≥3x 2,x∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x 变化时，y,y′的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2 32⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 1y′ + 0 - 0 + y8单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 2795 单调递增↗4∴y=f（x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795 变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y′=4x 3-4x,令y′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f（x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax(-ax 2+2x)>0,得0<x<a2.∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数,∴f（x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a≤2时，f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f（x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R ),其中a∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a.由于a≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a,a) a (a,+∞) )(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a - ↗0 ↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a），且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表： x(-∞,a)a (a,3a ) 3a (3a,+∞) )(x f ' - 0 + 0 - f(x) ↘↗-3274a ↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）,且f （3a ）=-3274a .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x∈［9,11］.(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5,∴8≤6+32a≤328.在x=6+32a 两侧L′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a≤328，即29≤a≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x∈N *，且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x∈N *,且1≤x≤19).（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．小结归纳。
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
北师大版数学高二选修1试题 4.2.1实际问题中导数的意义
第四章 §2 2.1一、选择题1．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值 B ．函数值y 在x ＝x 0时的瞬时变化率 C ．函数值y 在x ＝x 0时的平均变化率 D ．无意义 [答案] B[解析] 根据导数的几何意义知选B.2．质点运动的速度v (单位：m/s)是时间t (单位：s)的函数，且v ＝v (t )，则v ′(1)表示( ) A ．t ＝1s 时的速度 B ．t ＝1s 时的加速度 C ．t ＝1s 时的位移 D ．t ＝1s 时的平均速度[答案] B[解析] v (t )的导数v ′(t )表示t 时刻的加速度．3．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2(t 表示时间)，则t ＝2时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6[答案] A[解析] 速度v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t .所以加速度a (t )＝v ′(t )＝12t －10，当t ＝2时，a (t )＝14，即t ＝2时汽车的加速度为14. 4．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如图所示，那水瓶的形状是( )[答案] B[解析] 在曲线上任取一个横坐标为h 0的点，则注水量V 在h 0到h 0＋Δh 的平均变化率为ΔV Δh，在h 0处的导数为V ′＝lim Δx →0 ΔV Δh .由图像可知，随着h 0的增大，曲线的切线的倾斜角越来越小，切线的斜率也就越来越小，即导数越来越小，那么在Δh不变的前提下，平均变＝ΔS，因此，水瓶中水面的面积会越来越小，故选B.化率ΔVΔh5．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1<a<2 B．a<－1C．a>2 D．a<－1或a>2[答案] D[解析]f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，函数有极大值和极小值，则f′(x)＝0有两个不等实根，故Δ＝36a2－36×(a＋2)>0，即a2－a－2>0.所以a<－1或a>2.6．如图，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图像大致是()[答案] D[解析]由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符；选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快．符合实际． 二、填空题7．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝3t 2＋t ，则速度v ＝10时的时刻t ＝________.[答案] 32[解析] s ′＝6t ＋1，则v (t )＝6t ＋1，设6t ＋1＝10， 则t ＝32.8．火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100m/s.则熄火后________秒后火箭速度为零(g 取10m/s 2)．[答案] 10[解析] 由已知，得火箭的运动方程为h (t )＝100t －12gt 2，∴h ′(t )＝100－gt .令h ′(t )＝0，即100－gt ＝0，∴t ＝100g ＝10(s)．即火箭熄火后10s 速度变为零． 三、解答题9．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h ，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义．[答案] f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5[解析] 在第2h 和6h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． ∵f ′(x )＝2x －7.∴f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.在第2h 与第6h ，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2h 附近，原油温度大约以3℃/h 的速度下降；在第6h 附近，原油温度大约为5℃/h 的速度上升．10．修建面积为x m 2的草坪需要成本y 元，且y 是x 的函数：y ＝f (x )＝10x 2＋x . (1)求当x 从50变到60时，成本y 关于修建面积x 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f ′(50)，并解释它的实际意义．[答案] (1)平均变化率为1101元/m 2 (2)f ′(50)＝1001元/m 2 [解析] (1)当x 从50变到60时，成本关于草坪面积x 的平均变化率为f (60)－f (50)60－50＝(36000＋60)－(25000＋50)10＝1101(元/m 2)．它表示在草坪面积从50m 2增加到60m 2的过程中，草坪面积每增加1m 2，成本平均增加1101元．(2)f ′(x )＝20x ＋1，∴f ′(50)＝1001(元/m 2)．f ′(50)表示当草坪面积为50m 2时，每增加1m 2，成本就要增加1001元.一、解答题1．自由落体运动的方程为s ＝12gt 2.(1)求t 从3s 变到3.1s 时，s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(3)．[答案] (1)3.05g m/s (2)3g m/s [解析] (1)Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ×3.12－12g ×32＝0.305g ， Δt ＝0.1，∴ΔsΔt＝3.05g (m/s)．它表示从t ＝3s 到t ＝3.1s 这段时间内，自由落体运动的物体的平均速度为3.05g (m/s)． (2)s ′＝gt ，∴s ′(3)＝3g (m/s)，它表示自由落体运动的物体在t ＝3s 时的瞬时速度为3g (m/s)．2．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g 氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为A (t )＝500×0.834t .(1)氡气的散发速度是多少？(2)A ′(7)的值是什么(精确到0.1)？它表示什么意义？ [解析] (1)A ′(t )＝500×0.834t ×ln0.834.(2)A ′(7)＝500×0.8347×ln0.834≈－25.5，它表示7天后氡气散发的瞬时速度． 3．一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速度向容器里注水，求注水t s 时水面上升的速率．[答案] 13·33nh 2πr 2·13t 2cm/s[解析] 设注水t s 时，水面半径为x cm ，水面高度为y cm ，则有⎩⎨⎧y h ＝x rt ·n ＝π3·x 2·y ，从而得到y 关于t 的函数关系式为：y ＝33nh 2πr 2·3t ，从而y ′＝13·33nh 2πr 2·13t 2，故注水t 秒时水面上升的速率为： 13·33nh 2πr 2·13t 2(cm/s)． 4．一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为Q (t )＝3t 2－ln t . (1)求当t 从1变到2时，电荷量Q 关于t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求Q ′(2)，并解释它的实际意义．[答案] (1)从t ＝1s 到t ＝2s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A (2)Q ′(2)＝11.5 在t ＝2s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C ，也就是这一时刻电路的电流为11.5A[解析] (1)当t 从1变到2时，电荷量从Q (1)变到Q (2)，此时电荷量关于时间t 的平均变化率为Q (2)－Q (1)2－1＝3×22－ln2－(3×12－ln1)1≈8.31，它表示从t ＝1s 到t ＝2s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电量为8.31C ，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31A.(2)Q ′(t )＝6t －1t ，Q ′(2)＝11.5，它的实际意义是，在t ＝2s 这一时刻，每秒经过该电路的电量为11.5C ，也就是这一时刻电路的电流为11.5A.5．将1kg 铁从0℃加热到t ℃需要的热量Q (单位：J)：Q (t )＝0.000297t 2＋0.4409t . (1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是多少？它的实际意义是什么？ (2)求Q ′(100)，并解释它的实际意义．[答案] (1)0.4498 表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量0.449 8J (2)Q ′(100)＝0.5003 表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J[解析] (1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q (20)－Q (10)20－10＝0.4498，它表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量0.449 8J.(2)Q ′(t )＝0.000594t ＋0.4409，则Q ′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J.。
北师大版数学高二-选修1试题 3.3计算导数
3.3计算导数同步练习一、选择题1．函数()f x 在0x x =处的导数0000()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆（ ） Ａ．与0x x ∆，都有关Ｂ．仅与0x 有关而与x ∆无关Ｃ．仅与x ∆有关而与0x 无关Ｄ．与0x x ∆，均无关2．设0()0f x '=，则曲线()y f x =在点00(())x f x ，处的切线（ ）Ａ．与x 轴平行或重合Ｂ．与x 轴相交 Ｃ．与x 轴垂直Ｄ．不存在3．已知32cos y x x =+，则y '等于（ ） Ａ．2236sin x xx -+- Ｂ．22312sin 3x x x -+- Ｃ．22316sin 3x x x -++ Ｄ．22316sin 3x x x -+- 4．定义在R 上的两个函数()f x 与()g x 的导函数是()f x '与()g x '，则()()f x g x ''=是()()f x g x =的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件5．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线，则()y f x =的图象的顶点在（ ）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限6．已知3579013579()f x a a x a x a x a x a x =-+-+-，其中019a a a ，，…，是实常数，且90a ≠，则其导函数是（ ）Ａ．奇函数Ｂ．偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数二、填空题7．在函数2()f x x x =-+的图象上取点(12)--，及邻近一点(12)x f -+∆-+∆，，则 f x∆=∆ ． 8．已知函数2ln x y x =，则y '= ．9．球的体积公式34()π3V R R =的导数2()4πV R R '=，即为表面积公式，由此联想到其他类似有趣的公式，试写出一个 ．10．某物体作匀速直线运动，其运动方程是s vt b =+，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是 ．11．42()7f x x bx =++（b 是常数），()()g x f x '=，则()g x '= ．12．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的距离的最小值 是 ． 三、解答题13．设()ln x f x ae b x =+，且(1)f e '=，1(1)f e'-=求a ，b 的值．14．已知曲线515y x =上一点M 处的切线与直线3y x =-垂直，求此切线的方程．15．设()()sin ()cos f x ax b x cx d x =+++，试确定常数a 、b 、c 、d ，使得()cos f x x x '=．3.3计算导数同步练习答案一、选择题1.答案：B2.答案：A3.答案：D4.答案：B5.答案：A6.答案：B二、填空题7.答案：3x -∆8.答案：22ln 2ln xxx x + 9.答案：圆的面积2πS R =与周长公式2πS R '= 10.答案：相等11.答案：2122x b +12.三、解答题13.解：()x b f x ae x '=+，则1ae b e a b ee +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，， 解得10a b ==，。
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章 2 导数的概念及其几何意义 (2)
1. 根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法．
2. 求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的步骤：
(1)求函数值的改变量Δ y＝f(x0＋Δ x)－f(x0)；
(2)求平均变化率ΔΔ
y＝f（x0＋Δ x
x）－f（x0）； Δx
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝
Δ Δ
y x.
3. 注意导数的实际意义、几何意义．
题目类型一、求函数的导数例1ຫໍສະໝຸດ 求函数y＝f(x)＝
1在 x
x＝1
处的导数．
【思路探究】 先计算函数值的改变量，再代入公式计
算，注意Δy 需要化简整理．
解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－1＋1＋ΔΔx x＝
－Δx 1＋Δx（1＋
1＋Δx），
∴Δ Δyx＝－
1 1＋Δx（1＋
【解析】 ∵Δy＝1＋Δx＋1＋1Δx－1－11 ＝Δx－1＋Δx1＋1＝（ΔΔx＋x）1 2. ∴Δ Δyx＝ΔΔx＋x 1， ∴y′|x＝1＝ ΔΔx＋x 1＝0. 【答案】 0
4. 求曲线 y＝f(x)＝x2＋1 在点 P(1，2)处的切线方程．
解：因为点 P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率即为：
(1)f（x1＋Δ
x）－f（x1）是函数 Δx
f(x)在(x1，x1＋Δ
x)上的
平均变化率，有什么几何意义？
(2)Δ x 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δ x)上的平均变 化率即为函数 y＝f(x)在 x1 点的瞬时变化率，能否看成函数 y ＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
确． 【答案】 C
2. 曲线 y＝－2x2＋1 在点(0，1)处的切线的斜率是( )
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念 导数的几何意义 课件(40张)
高中数学北师大版选修1-1单元优选卷：(9)导数的概念及其几何意义
单元优选卷（9）导数的概念及其几何意义1、设()00f x '=,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线( ) A.不存在B.与x 轴平行或重合C.与x 轴垂直D.与x 轴斜交 2、设2(),f x x =则lim ()()x af x f a a x →--等于（ ） A.2a-B.2aC.22a -D.22a3、已知曲线32y x =上一点()1,2A ,则A 处的切线斜率等于( ) A. 2 B. 4C. ()2662x x +∆+∆ D. 64、设曲线2y ax =在点(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则a =( ) A ．1 B.12 C ．12- D ．-1 5、已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11,则()()000lim x f x x f x x∆→-∆-=∆ ( )A. 11B. -11C.111 D. 111-6、在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =，②2y x =，③3y x =，④1y x=中,平均变化率最大的是( )A.④B.③C.②D.①7、已知函数21y x =+的图像上一点()1,2及邻近点(1,2)x y +∆+∆,则0lim x yx∆→∆=∆ ( )A. 2B. 2xC. 2x +∆D. 22x +∆8、设()f x 为可导函数,且满足()()112lim12x f f x x→--=-,则()'1f 的值为( )A. 2B. 1-C. 1D. 2-9、已知函数()y f x =的图象如图,则'()A f x 与()'B f x 的大小关系是( )A. ()()''A B f x f x >B. ()()''A B f x f x <C. ()()''A B f x f x =D.不能确定10、下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有交点,这点一定是切点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若()0f x '不存在,则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线 D.若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线,则()0f x '不一定存在11、已知()()P 1,1,Q 2,4-是曲线2y x =上的两点,则与直线P Q 、平行的曲线2y x =的切线方程是__________.12、质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位: m ,时间单位: s ),则质点M 的瞬时速度等于8/m s 时的时刻t 的值为__________.13、如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则()()0ff =__________;0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆__________。
2.2导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版选择性(1)
y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
名师点睛
1.直线倾斜角 θ θ ≠
2
与其斜率k之间的关系是k=tan θ.
2.利用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:
(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;
0 -4
2
规律方法
1.首先要理解过某点的含义,切线过某点,这点不一定是切点.
2.过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0,f(x0)).
(2)建立方程
1 -( 0 )
f'(x0)=
.
1 - 0
(3)解方程得k=f'(x0),x0,f(x0),从而写出切线方程.
k= lim
=2x0+1.
x
Δ→0
=
x20 +x0 +1
,
x0 +1
x20 +x0 +1
∴2x0+1=
,解得 x0=0
x0 +1
或 x0=-2.
当x0=0时,切线斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
当x0=-2时,切线斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即
的范围内,曲线可以看作直线,这就是以直代曲的思想.
自主诊断1Biblioteka 判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.
北师大版数学高二-选修1素材 3.3导数的概念与运算创新试题赏析1
导数的概念与运算创新试题赏析导数的应用比较广泛,对导数概念的理解和导数的运算是导数问题解决的根本,本文就一些新颖的试题，给大家做一个介绍.例1．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2,周长C (r )=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则22R R ππ'（）＝①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子 ：②式可以用语言叙述为： . 解析：仿照①式，球的体积公式V 球＝343R π，表面积公式24S Rπ=,有32443R R ππ''V (R)=（）＝ ，故○2式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”赏析:由题目所给条件的类比,通过合理的发散和联想,从二维的圆到三维的球,观察周长,面积,体积公式间的区别和联系,得出答案.球的体积,表面积的 推导实质也是从极限的思想入手.本题考查了导数的某些实际背景,可借助如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等帮助理解和消化.同时也考查了类比的数学思想.例2:水面上的同心圆波纹，水波的半径以6 m/s 的速度增大，在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是___________.解析：水波面的圆面积和时间的关系是S=236t π，在2s 末水波面的圆面积的膨胀率是S '=72πt 在t=2时的导数 所以2144t S π='=赏析：有膨胀率的这样一个我们不太熟悉的概念横在面前，问题的关键则是如何去理解这个概念.可从导数的定义及几何和物理方面的意义去理解,膨胀率同样是变化率，问题则是求水波圆面积从2s 到（2+x ∆）s 之间的平均变化率（0→∆x ），这个问题很显然是求导数的问题.变化率在我们的生活中到处可见，如增长率、膨胀率、效率、密度、速度等，所反映的均是一种变化的情况, 高中微积分课程的核心价值就是变化率思想,导数则是描述事物变化率的数学模型，瞬时变化率就是导数.例3．已知1()sin cos f x x x =+，记2132()(),()(),......,f x f x f x f x ''==1()(),n n f x f x -'=(,2)n N n *∈≥，则122007()()......()222f f f πππ+++=________． 解析：123()sin cos ,()cos sin ,()sin cos ,f x x x f x x x f x x x =+=-=-- 451()cos sin ,()sin cos (),......,f x x x f x x x f x =-+=+=故原式=123()()()1222f f f πππ++=-。
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3.2.1 导数的概念同步练习
1．已知函数f(x)=x 2＋2x －1图象上一点P （1，2），点Q 也是图象上一点，且Q 位于点P 的右边，若点Q 无限逼近P ，则直线PQ 的斜率（ ）
A ． 不断增大且为负
B ．不断增大且为正
C ．不断减小且为正
D ．不断减小且为负
2．已知函数y=x 2＋1的图象上一点A （1，2）及其邻近一点B （1＋△x,2＋△y ）,则直线AB 的斜率是 （ ）
A ．2
B ．2x
C ．2＋△x
D ．2＋(△x)2
3． 一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=
14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为0的时刻是 （ ）
A ．4s 末
B ．8s 末
C ．0s 末与8 s 末
D ．C ．0s 末，4s 末，8 s 末
4． 满足f′(x)=f(x)的函数是 （ ）
A ．f (x)=1－x
B ．f (x)=x
C ．f (x)=0
D ．f (x)=1
5．直线y=－2x ＋1上两点的横坐标增量△y 与纵坐标增量△x 的比值是 ．
6．一质点的运动方程是S=2t 2＋1（位移单位：m ，时间单位：s),则平均变化率是 ．
7．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 ． 8．设函数y=f(x)=x 2－1，
（1） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值增量△y ；
（2） 当自变量x 由1变到1．1时，求函数值的平均变化率；
（3） 求该函数图象在点（1，y 0）处的切线方程．
参考答案
1．C ．提示：观察图形．
2．C ．提示：用△x 表示邻近点的坐标，再用斜率计算公式．
3．D ．提示：联想速度与路程的关系．
4．C ．提示：求导后再作比较，注意等式要恒成立．
5．－2．提示：联想斜率与比值大小的关系．
6．4t ＋2△t ．
7．()()/
11222,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切
线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n n a n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和()
12122212n n n S +-==--
8．(1)0.21；(2)2.1；(3)y=2x －2．。