高考数学一轮复习 53课时作业

高考数学一轮复习 53课时作业
一、选择题
1．(2010·福建卷，理)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.1
2 B.3
3 C.22
D.32
答案 A
解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2.
2．已知sin α＝1213，cos β＝4
5
，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－
β)等于( )
A.33
65
B.6365
C ．－1665
D ．－5665
答案 A
解析 因为α是第二象限角，且sin α＝12
13，所以cos α＝－
1－144169＝－5
13
.又因为β是第四象限角，cos β＝4
5，所以sin β＝－
1－1625＝－3
5
.sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝33
65
.
3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π
4
)等于( )
A.7
5 B.15 C ．－75
D ．－15
答案 B
解析 因为α∈(0，π2)，sin α＝3
5
，所以cos α＝
1－925＝4
5
. 所以2cos(α＋
π
4
)＝2(cos αcos
π
4
－sin αsin
π
4
)＝2(
22cos α－22
sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝1
5
4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α D ．cos β
答案 C
解析 等式即cos(α－β＋β)＝cos α
5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝6
2
，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
答案 B
解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°
b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°
c ＝
6
2
＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝23
3，则cos A cos B ＝( )
A.14
B.34
C.12 D ．－14
答案 B
解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B
cos B
＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B ＝32cos A cos B ＝23
3
∴cos A cos B ＝3
4
7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.13
18 B.1322 C.322
D.16
答案 C
解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4，所以
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
α＋β－⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4
＝tan α＋β－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.
8．(09·陕西卷)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2
α＋sin2α
的值为( )
A.10
3
B.53
C.23 D ．－2
答案 A
解析 3sin α＝－cos α⇒tan α＝－1
3
.
1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2
α＋2sin αcos α＝1＋tan 2
α
1＋2tan α＝1＋191－23＝103
. 二、填空题
9．cos84°cos24°－cos114°cos6°的值为________． 答案 12
解析 cos84°cos24°－cos114°cos6°＝cos84°cos24°＋cos66°sin84°＝cos84°cos24°＋sin24°sin84°＝cos(84°－24°)＝cos60°＝1
2
.
10．(2010·全国卷Ⅰ，理)已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan (π
4＋2α)
＝________.
答案 －1
7
解析 由cos 2α＝2cos 2
α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝
－
255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－1
7. 11．(2011·潍坊)化简：
sin 3α－πsin α＋cos 3α－π
cos α
＝________.
答案 －4cos2α
解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3α
cos α＝
－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4α
sin αcos α＝
－
4sin αcos α·cos2α
sin αcos α
＝－4cos2α.
12．不查表，计算1sin10°－3
sin80°＝________.(用数字作答)
答案 4
解析 原式＝cos10°－3sin10°
sin10°cos10°
＝212cos10°－3
2
sin10°sin10°cos10°
＝4
sin30°cos10°－cos30°sin10°
2sin10°cos10°
＝4sin 30°－10°
sin20°
＝4.
三、解答题
13．求(tan10°－3)·cos10°
sin50°的值．
解析 (tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50°＝(sin10°
cos10°－
sin60°cos60°
)·
cos10°sin50°
＝
sin10°cos60°－sin60°cos10°
cos10°cos60°
·
cos10°sin50°
＝
－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1
cos60°
＝－2.
14．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π
4.求cos α的值．
解析 sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π
4
∴
π
2<α＋π
4
<π
∴cos(α＋π
4
)＝－
1－sin
2
α＋π4
＝－35
∴cos α＝cos[(α＋π4)－π
4
]
＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π
4
＝－35×22＋45×22＝2
10
.
15．已知tan2θ＝34(π
2<θ<π)，求2cos 2
θ
2＋sin θ－1
2cos θ＋
π
4的值．
解 ∵tan2θ＝
2tan θ1－tan 2
θ＝3
4
， ∴tan θ＝－3或tan θ＝1
3，
又θ∈(π
2，π)，∴tan θ＝－3，
∴
2cos 2
θ
2
＋sin θ－1
2cos θ＋
π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ
＝1－31＋3＝－1
2
.。