.一般周期函数的傅里叶级数

,
an
2
0
f ( x)cos nxdx
2
0
x cos nxdx
2
[
x
sin n
nx
cos nx n2
]0
2
n2
(cos
n
1)
2
n2
[(1)n
1]
(n 1,2, ),
(2k
4 1)2
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
f
(x)
2
4
cos
x
1 32
cos 3x
bn
1
F (z)sin nzdz.
z x , F (z) f ( x)
l
f
(x)
awk.baidu.com 2
(an
n1
cos n
l
x
bn sin
n
l
x)
其中
an
1l
l l
f
( x)cos n
l
xdx,
bn
1l
l l
f
( x)sin n
l
xdx.
(n 0,1,2,3, ) (n 1,2,3, )
(1) 如果 f ( x) 为奇函数 , 则有
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
定理 (1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开成傅
里叶级数时,它的傅里叶系数为
an 0
(n 0,1,2, )
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
(n 1,2, )
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
收敛于 f ( 0) f ( 0) () 0,
2
2
在连续点x( x (2k 1))处收敛于f ( x),
x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
an 0, (n 0,1,2, )
1 52
cos 5x
( x )
2、非周期函数展开成正弦或余弦级数
非周期函数的周期性延拓
设 f ( x)定义在[0, ](或[0,l])上, 延拓成以2 (或 2l )
bn
1l
l l
f ( x)sin n
l
x dx
,
(n 1,2, )
证明 令z x , l x l z , l
设 f ( x) f (lz ) F (z) , F (z)以 2 为周期 .
F ( z )
a0 2
(an
n1
cos nz
bn
sin
nz),
其中
an
1
F (z)cos nzdz,
上的表达式为
f
(x)
0 k
2 x 0
0 x 2 (k 0) ,
将其展
成傅氏级数.
y
k
解 l 2, 满足狄里克雷充分条件.
a0
1 2
0
2
0dx
1 2
2
0 kdx
k,
4 2 0 2
x 4
an
1 2
2
0 k
cos n
2
xdx
0,
(n 1,2, )
bn
12
2 0 k
sin n
2
xdx
例 2 设 f ( x) 是周期为2 的周期函数,它在 [, )上的表达式为 f ( x) | x | ,将 f ( x) 展
开成傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
f ( x)是以2为
y
周期的偶函数,
bn 0, (n 1,2, )
2 0 2 x
a0
2
0
f
( x)dx
2
0
xdx
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
一、以2l 为周期的傅氏级数
定理 设周期为 2l 的周期函数 f (x) 满足Dirichlet
充分条件，则 f (x) 的傅里叶级数
a0 2
n1
(an
cos
n
l
x
bn
sin
n
l
x)
在每点处收敛.
且当 x 是 f (x) 的连续点时 , 级数收敛于 f (x) .
当
x
是
f (x)
的间断点时,
级数收敛于
f (x) 2
f (x)
.
其中
an
1 l
l l
f ( x)cos n
l
x dx
,
(n 0,1,2, )
f
(x)
n1
bn
sin
n
l
x
,
其中系数
bn
2l
l 0
f ( x)sin n
l
x dx ,
(n 1,2, )
(2) 如果 f ( x) 为偶函数 , 则有
f
(x)
a0 2
n1
an
cos
n
l
x
,
其中系数
an
2l
l 0
f ( x)cos n
l
x dx
(n 0,1,2, )
例 设 f ( x)是周期为 4 的周期函数,它在[2,2)
k (1 cos n) n
2k n
当n 1,3,5, ,
0 当n 2,4,6,
f ( x) k 2k (sin x 1 sin 3x 1 sin 5x ) 2 23 2 5 2 ( x ; x 2k,k Z )
二、正弦级数与余弦级数
1、周期奇函数和偶函数的傅里叶级数
cos nx
称为余弦级数.
例 1 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成
傅氏级数.
y
3 2
0
2 3 x
例 1 设 f ( x) 是 周 期 为2 的 周 期 函 数 , 它 在 [,)上的表达式为 f ( x) x ,将 f ( x) 展开成
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
2
0
x sin
nxdx
2
[
x
cos n
nx
sin nx n2
]0
2 cos n n
2 (1)n1, n
(n 1,2, )
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x )
2
3
4
( x ; x (2k 1) , k Z)
(2)当周期为2 的偶函数 f ( x) 展开成傅
里叶级数时,它的傅里叶系数为
an
2
0
f
( x)cos nxdx
(n 0,1,2, )
bn 0
(n 1,2, )
定义
如果 f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx
n1
称为正弦级数.
如果 f ( x)为偶函数,
傅氏级数a0
2
an
n1
第八节 一般周期函数的傅里叶级数
一、以 2l 为周期的函数的傅里叶级数 二、正弦级数与余弦级数
回顾：函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
②
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: