进化博弈论

策略选择了“不同意”
策 略 选 择 了 “ 同 意 ”
uy (1)101 un(1)000 u(1)uyun(1)2
uy (1)01 un (1)000 u(1)unuy 2
u y10u n
uy0un
局中人无积极性选择"不同意",
即选择同意的比例x会越来越大， 进而趋向x1
选 择 同 意 的 比 例 x会 越 来 越 大 ， 进 而 趋 向 x1
引例： 签协议博弈的复制动态和进化稳定策略
签协议博弈：
局中人2 同意(y) 不同意(n)
同意(y) 1，1 不同意(n) 0，0
0，0 0，0
在有限理性的前提下，并非所有的局中人开始就能 找到最佳策略（y, y）。下面分析（y, y）是ESS。
假设群体中采用“同意”比例为 x ，则不同策略期 望得益和总平均得益为：
反应、策略调整规则推导
x i ( t ) 表 示 在 t 时 期 ， 局 中 人 i 的 邻 居 中 采 用 A 策 略 的 数 量 ； 则 采 用 B 策 略 的 数 量 为 2 - x i ( t ) 。 则 局 中 人 i ：
采A 用 的得x益 i(t)： 50[2xi(t)]49 采B 用 的得x益 i(t)： 0[2xi(t)]60 当 xi(t)22/6时 1 ，A 采 ；用 x当 i(t)22/6时 1 ，B 采用
4.1.3 合作的行为生态
动物的适应性是在和生存环境的相互作用中形成的。
在竞争中，动物最终选择进化稳定策略（Evolutionary Stable Strategy，简称ESS）——该策略是被种群大多数 成员所采取的，而且不会受到其它对策的侵蚀。
一种ESS一旦确立，社会稳定下来，偏离的行为将 会受到自然的惩罚。
策略1 策略2
局中人2 策略1 策略2 a, a b, c c, b d, d
设x为采用策略1的比例
一般2X2对称博弈
u1 xa(1x)b u2 xc(1x)d uxu1 (1x)u2
dx dt
x(u1
u)
稳态为：
x*=0， x *=1，
x ( 1 x )x ( [ a c ) ( 1 x )b (d )]x *=(d-b)/(a-b-c+d)
x1是进化稳定E策S略 S x 0不是进化稳定策略
结论： （1）一个稳定状态必须对微小扰动具有稳健性 才能称为进化稳定策略（ESS）。 即，作为稳定策略 的x* ，除了本身必须是稳定状态以外，还必须具有这
样的性质，那就是如果某些局中人由于偶然的错误偏 离了它们，复制动态仍然会使x恢复到x* 。
（2）在数学上， ESS相当于要求：
当xx时，x是增长趋势； 当xx时，x是减小趋势；
d dx tF(x) 0 0， ，x x 当 当 x x 或： F(x)0
所以，从复制动态方程的相位图来看，ESS为与 水平轴相交且交点切线斜率为负的点。
例如，签协议博弈 dx/dt
中，只有x=1，即
（同意，同意）是 ESS。
0
0.5
1
x
一般两人对称博弈复制动态和进化稳定策略
合作博弈 合作 不合作 3，3 0，5 5，0 1，1
思考：囚犯困境中，当亲
缘系数多大时，囚犯会选 择利他行为？
坦白
抵赖
坦白 -8，-8 -10，0
抵赖 0，-10 -1，-1
（2）当x>0时， dx/dt >0，则x呈增加趋势，直至x =1 达到稳态。其意义为，只要开始有人采用“同意”策 略，最终所有的局中人都趋于采用“同意”策略。
进化稳定策略的检验
虽然x*=0, x *=1均为稳态，但不一定都是ESS。验证如下：
比例的博弈方偏离“意同” 比 例 的 博 弈 方 偏 离 “ 不 同 意 ”
dt
22
x(1x)1 (6x)
dx/dt
0
1/6
1x
因为F′(0)>0,F′(1)>0,F′(1/6)<0
所以只有x*=1/6是ESS。 即采用攻击性策略 的博弈方的数量常常稳定在1/6左右的水平。
练习：
求猎鹿博弈的ESS
古代的村庄有两个猎人。当地的猎物主要有两种：鹿 和兔子。如果一个猎人单兵优作战，一天最多只能打 到3只兔子。只有两个一起去才能猎获一只鹿。从填 饱肚子的角度来说，3只兔子能保证一个人3天不挨饿， 而一只鹿却能让两个人吃上5天。
d d x t x ( u y u ) x (x x 2 ) x 2 ( 1 x ) x 2 x 3
动态微分方程的相位图
dx/dt
0
0.5
1
x
稳定状态、不动点：x*=0, x *=1
结论： （1）当x=0时，dx/dt=0，是稳定状态。其意义 为，开始没有人采用“同意”策略，就没有学习模仿 的榜样，因此所有的局中人不会有意识的改变策略。
uyx1(1x)0x unx0(1x)00
ux u y (1x)u nx2
所以，除x=0外，有： uyx1(1x)0x unx0(1x)00
uyun,uyu ux u y (1x)u nx2
在不断的重复博弈过程中，只要局中人有基本的 判断能力，早晚会发现该差异。于是，得益较差的 局中人会或早或迟模仿另一方。
最优反应动态模拟：初次博弈1个A
A
B
A
B
BA
AB
B
B
B
B
B
A
A
A
B
A
A
A
A
A
A
A
A
初次博弈相邻2个A
B
A
A
B
AB
AA
A
B
A
A
A
A
A
初次博弈相连3个A
A
B
A
B
A
A
A
A
A
A
5.2.2 古诺调整过程
古诺模型反应函数
最优反应动态模拟
1
q1
3
q2 2
q2
3
q1 2
2
3
4………
博弈方1 2.5 1.5 2.125 1.875
4.1.2 有限理性及其对博弈的影响
有限理性局中人：不满足完全理性假设的局中人 有限理性意味着一般至少有部分局中人不会采用完 全理性博弈的均衡策略 有限理性意味着均衡是不断调整和改进而不是一次 性选择的结果，而且即使到达了均衡也可能再次偏 离 有限理性局中人会在博弈过程中学习博弈通过试错 寻找较好的策略
4.1.4 有 限 理 性 博 弈 的 分 析 框 架
最优反应动态：有快速学习能力的小群体成员的 反复博弈 复制动态：学习速度很慢的成员组成的大群体随 机配对的反复博弈 进化稳定策略（ESS）
4.2 最优反应动态
4.2.1 协调博弈的有限博弈方 快速学习模型
4.2.2 古诺调整过程
4.2.1 协调博弈的有限博弈方快速学习模型
博弈方2 3
1.75 2.25 1.9375
收敛条件 | dr1 || dr2 |1
dq2 dq1
问题：两寡头始终假设对方产量不变
4. 3 复制动态和进化稳定性： 两人对称博弈
设某一群体进行随机配对重复博弈，且该博弈为 对称博弈，即群体中个体无角色区分，所有个体 均具有相同的战略空间。
这时博弈分析的核心不是博弈方的最优策略的选择， 而是有限理性的博弈方组成的群体成员的策略调整过 程、趋势和稳定性，这里的稳定性是指采用特定策略 的成员的比例不变，而非某个博弈方的策略不变。
望得益超过平均得益的幅度表示，即 uy u ）。
所以，上述比例动态变化的速度可以表示为下列 微分方程：
dx dt
x(uy
u)
以采用“同意”策略类型局中人的比例为例，其动 态变化速度可用下列微分方程反映：
d d x t x ( u y u ) x (x x 2 ) x 2 ( 1 x ) x 2 x 3
鹿
兔子
鹿 兔子
5，5 3，0
0，3 3，3
4.4 生物间合作的机制：亲缘效应和互惠 式的合作行为
（1）
合作 不合作
合作博弈
合作 不合作
3，3
0，5
5，0
1，1
（2）
退 进
斗鸡博弈
退
进
3Hale Waihona Puke Baidu3 1，5
5，1 0，0
（0,5）
（3,3）
0 （1,1） （5,0）
（1,5） （3,3）
（5,1） 0
问题：如何得到帕累托（Pareto）改进？
有利它主义和合作行为在动物界普遍存在。该行为 也可能发生在没有亲缘关系的情况：如共生现象。
4.1.4 有 限 理 性 博 弈 的 分 析 框 架
在有限理性博弈中具有真正稳定性和 较强预测 能力的均衡，必须是能够通过博弈方的模仿、 学习 的调整过程达到的，具有能经受错误偏离的干扰 的 均衡，是在受到少量干扰后仍然能够“恢复”的均衡。
考虑5个有限理性的局中人之间，相邻局中人相互 博弈，快速学习并动态调整。
局中人2
局
A
B
中
人 A 50，50 49，0 5
1 B 0，49 60，60
4
1 2
3
两个NASH均衡，但考虑到对对方理性的信任 问题，风险态度等因素，可能选(A,A)。
局中人2
局
A
B
中
人 A 50，50 49，0
1 B 0，49 60，60
这意味着两种类型局中人的比例x和1-x不是固定不 变的，而是时间的函数： x(t)和1-x (t)。
局中人策略类型比例的动态变化是进化博弈分析 的核心。
上述比例动态变化的速度取决于模仿的速度。该 速度取决于两个因素：
（1）被模仿对象的数量大小（可用x表示）；
（2）被模仿对象的成功程度（可用模仿对象的期
dx/dt
复制动态 相位图
x
1
x
例： 鹰鸽博弈的复制动态 和进化稳定策略
局中人2
鹰
鸽
鹰
v
2
c
,
vc 2
v, 0
鸽
0, v
v ,v
2
2
鹰鸽博弈
v代表双方争夺的利益 c是争夺失败一方的损失
复制动态方程和相位图
设v=2， c=12，则方程为：
d x F (x ) x (1 x )x [ (v c ) (1 x )v ]
汉密尔顿法则：
通过亲缘选择促进利他行为的条件是
c b
r
其中，c为利他者付出的代价，b为受益者获得
的好处，r为亲缘系数。
例如，上述合作博弈中，若局 中人I选择利他行为，收益组 合由(1,1)变为(0,5), 故c=1,b=4， 所以，当亲缘系数r>1/4时， 合作
“利他基因在种群基因库中的 不合作 频率才会增加”。
一般模型
策略1 策略2
局中人2 策略1 策略2 a, a b, c c, b d, d
一般2X2对称博弈
进化博弈设定是在一个大群体的成员中进行随机配 对的反复博弈。
基本模型是两个局中人之间的对称博弈。含义是两 个博弈位置是无差异的。
其中abcd可以是任何得益，根据问题设定。
复制动态分析
复制动态的进化规则是生物学 中生物特征进化规则
第四章 进化博弈论
4.1 有限理性与进化博弈论
4.1.1 进化博弈的基础假设——有限理性
传统的博弈均衡，例如Nash均衡及其精炼是以 完全理性都是共同知识(common knowledge)为 前提的。
然而，完全理性在现实中很难满足，当社会经 济环境和决策问题较复杂时，人们必须存在很大的 理性局限。有限理性对人们的决策、行为选择方式 有很大影响，有限理性基础上的博弈分析与完全理 性博弈分析也有很大区别。进化博弈分析是有限理 性博弈分析的基本框架。