动量定理和动能定理的比较

动量定理和动能定理的比较

王 佃 彬

（河北省唐山市丰南区第一中学 063300）

若是研究力在时间上的积累效果，可用动量定理；若是研究力在空间上的积累效果，可用动能定理。应用它们解决流体问题时，要注意所选的微小变量是t ∆（一小段时间）还是S ∆（一小段位移）内的变量。

一．只能用动量定理：

例 1 太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n 颗，每颗的平均质量为m ，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v 飞行，垂直速度方向的横截面积为S ，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F 。

分析：选取一小段时间t ∆内的太空垃圾为研究对象。

用动量定理分析：在时间t ∆内，飞船穿过体积t v S V ∆⋅=∆的空间，遭遇V n ∆颗太空垃圾，使它们获得动量p ∆，其动量变化率即是飞船应给予的推力，也即飞船引擎的推力。

F = t P ∆∆ = 2nmSv t

t nSv m t v V n m t v M =∆∆⋅=∆⋅∆⋅=∆⋅∆ 用动能定理分析：由于飞船要前进t v x ∆=的位移，引擎推力F 须做功x F W =，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的动能不变，所以：

22

1Mv W ∆=

即：2)(2

1v t nmSv t v F ∆=∆ 得：221nmSv F = 这个结果不对，因为垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性碰撞，需要消耗大量的机械能，因此，“引擎做功就等于垃圾动能的增量”的观点是错误的。

例2 在采煤方法中，有一种是高压水流将煤层击碎而将煤采下。今有一采煤高压水枪，

设水枪喷水口横截面积26cm S =，由枪口喷出的高压水流流速为s m v /600=，设水的密

度为33/101m kg ⨯=ρ，水流垂直射向煤层，试求煤层表面可能受到的最大平均冲击力。

分析：若水柱从枪口流出后不散开，在一定时间内射到煤层上水动量发生变化，由于水的反溅速度的大小、方向有多种可能性，其中动量变化最大的情况是水流垂直于煤层以原速率返回时，煤层受到的冲击力最大。

设在t ∆时间内射到煤层上的水的质量为m ∆，则t sv m ∆=∆ρ，设煤层对水的平均冲击力为F ，规定F 的方向为正方向，由动量定理得：222()2F t sv t sv t sv t ρρρ∆=∆--∆=∆，故232 4.3210F sv N ρ==⨯，

由牛顿第三定律知煤层受到的平均冲力大小为3

4.3210N ⨯，这即是煤层受到的最大冲击

力。

由于这里所选研究对象m ∆的位移无法确定，且冲击力不但对m ∆做功，还对煤层做功，因此无法用动能定理解决。

二．动能定理和动量定理都可用：

例3 把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图1所示，问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p 0，密度为ρ）

模型分析：由于不知开始时进入容器内的空气有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径。注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：

用动能定理：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体

为研究对象，令薄层厚度为L ∆，因L ∆很小，所以其进入容器过程中， 不改变容器压强，下移

2L ∆，故此薄层所受外力是恒 力，即 0()F P P S =-………………①

对进入容器的m ∆气体，由动能定理得：

22

12mv L F ∆=∆………………………………② 而 △m=ρS △L ……………………………③ 联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度：ρ)

(0p p v -=

用动量定理：设小孔的面积为S ，取开始时一小段时间t ∆内进入容器内的气体m ∆为研究对象，由于t ∆很短，m ∆很小，所以容器内气体压强不变。

对进入的m ∆气体，由动量定理得：

mv t F ∆=∆………………………………………④

而t Sv m ∆=∆ρ……………………………………⑤ 联立①、④、⑤式可得：最初中进容器的空气速度：ρ)(0p p v -=

三．综合运用动量定理、动能定理： 例4 质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？

分析：火箭喷气时，要对气体做功，取一段很短的时间，求出此时间内火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。

解：选取△t 时间内喷出的气体为研究对象，设火箭对气体的推力为F ，根据动量定理，有

mv t F ∆=∆ ………………………………①

因为火箭静止在空中，根据牛顿第三定律和平衡条件有

Mg F =………………………………………②

图1

所以Mg

m v t ∆=∆…………………………………③ 对这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：

22

1mv W ∆=

…………………………………④ 所以发动机的功率： Mgv t W P 21=∆=