斯托克斯公式
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ur
令 A P, Q, R , 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
3源自文库
Dxy
d
x
d
y
3 2
利用轮换对称性
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例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
证略 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
简介 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一型曲面积分表示:
第七节
第十二章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
个坐标面的交线，取逆时针方向。
解: 由斯托克斯公式得
由轮换对称性，得
二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
3. 场论中的三个重要概念
r
设 u u (x, y, z), A P , Q, R,
, ,
x y z
,则
梯度:
, , gradu
u x
u y
u z
u
散度:
div
A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
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cos cos cos
I
x y
y2 xy
z
dS
xz
o x
2y
0
公式 目录 上页 下页 返回 结束
利用斯托克斯公式得
d ydz
I
x
y2
dzd x y xy
dxd y z xz
例3. 求 其中 是用平面 方向。
截立方体 所得截痕的表面，取逆时针
例4. 求
其中 是球面
在第一卦限部分与三
ur
令 A P, Q, R , 引进一个向量
记作 rot A
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
3源自文库
Dxy
d
x
d
y
3 2
利用轮换对称性
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例2. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
利用斯托克斯公式得
证略 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一型曲面积分表示:
第七节
第十二章
斯托克斯公式
环流量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
个坐标面的交线，取逆时针方向。
解: 由斯托克斯公式得
由轮换对称性，得
二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
(P cos Q cos R cos ) d s
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
3. 场论中的三个重要概念
r
设 u u (x, y, z), A P , Q, R,
, ,
x y z
,则
梯度:
, , gradu
u x
u y
u z
u
散度:
div
A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
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cos cos cos
I
x y
y2 xy
z
dS
xz
o x
2y
0
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利用斯托克斯公式得
d ydz
I
x
y2
dzd x y xy
dxd y z xz
例3. 求 其中 是用平面 方向。
截立方体 所得截痕的表面，取逆时针
例4. 求
其中 是球面
在第一卦限部分与三