九年级数学下册-利用二次函数解决几何图形面积最值问题同步练习

利用二次函数解决几何图形面积最值问题练习

知|识|目|标

经历利用二次函数的有关性质解决实际问题的过程,会利用二次函数解决几何面积的最值问题．

目标会利用二次函数解决面积最值问题

例1 教材补充例题将一根长为100 cm的铁丝围成一个矩形框,要想使铁丝框的面积最大,应怎样围？

【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤

(1)分析题中的变量与常量．

(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型．

(3)结合函数图像及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,求出面积的最大(小)值．

例2 教材“复习巩固”第15题针对训练如图5－5－2,在矩形ABCD中,AB＝6 cm,BC＝12 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动,同时,点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动,P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止运动,设经过t s时,△PBQ的面积为S cm2.

(1)求S与t之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；

(2)当t取何值时,S的值最大？最大值是多少？

图5－5－2

【归纳总结】几何问题中应用二次函数时的三个注意点

(1)点在线段上的取值范围．

(2)顶点的横坐标、纵坐标必须符合实际意义．

(3)自变量和函数值的单位．

知识点建立函数模型,解决图形中的最值问题

利用二次函数解决几何图形面积最值问题的一般步骤：

(1)列：分析几何图形的特点,设出自变量x ,根据题中两个变量之间的关系列出二次函数表达式；

(2)求：利用公式法或配方法求出其最大(小)值； (3)写：结合相关问题写出结果．

如图5－5－3,利用一面墙,其他三边用80 m 长的篱笆围一块矩形场地,墙长为30 m,求围成矩形场地的最大面积．

图5－5－3

解：设矩形场地的面积为S m 2

,所围矩形ABCD 的边BC 为x m. 由题意,得S ＝x ·12(80－x )＝－12

(x －40)2

＋800,

∴当x ＝40时,S 最大＝800,符合题意,

∴当所围矩形ABCD 的边BC 为40 m 时,矩形场地的面积最大,最大面积为800 m 2

. 你认为上述解答有问题吗？若有问题,请说明理由,并给出正确的解答过程．

详解详析

【目标突破】

例1 解：设矩形框的一边长为x cm ,则与其相邻的另一边长为(50－x)cm ,矩形的面积是y cm 2,那么y ＝(50－x)x ＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2

＋625.

∵a ＝－1＜0,∴当x ＝25时,y 有最大值, 则50－x ＝50－25＝25,

即要使铁丝框的面积最大,应将其围成边长为25 cm 的正方形． [备选例题] 某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大？下面是两名学生争议的情境：

请根据上面的信息,解决问题：

(1)设AB ＝x 米(x ＞0),试用含x 的代数式表示BC 的长； (2)请你判断谁的说法正确,为什么？

解：(1)由AB ＝x 米,可得BC ＝69＋3－2x ＝(72－2x)米． (2)小英的说法正确．理由：

矩形面积S ＝x(72－2x)＝－2(x －18)2

＋648. ∵72－2x ＞0,∴x ＜36,∴0＜x ＜36, ∴当x ＝18时,S 取得最大值, 此时x ≠72－2x,

∴面积最大时的图形不是正方形．

例2 解：(1)经过t s 时,AP ＝t cm ,故PB ＝(6－t)cm ,BQ ＝2t cm , 故S ＝12·(6－t)·2t＝－t 2

＋6t.

(2)∵S ＝－t 2

＋6t ＝－(t －3)2

＋9, ∴当t ＝3时,S 的值最大,最大值为9. 【总结反思】

[反思] 上述解答有问题,解答有关二次函数的实际问题时未考虑自变量的取值范围,墙长30 m ＜40 m ,故x ＝40时矩形ABCD 的面积最大是不正确的．

正解：设矩形场地的面积为S m 2

,所围矩形ABCD 的边BC 长为x m ．由题意,得

S ＝x·12(80－x)＝－12

(x －40)2

＋800.

因为墙长为30 m ,所以0

又因为当x ＜40时,S 随x 的增大而增大,

所以当x ＝30时,S 取得符合实际意义的最大值,此时S ＝750.故围成矩形场地的最大面

积为750 m 2

.