平面向量教案

第二章 平面向量
2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1.2 向量的几何表示
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：
猫能否追到老鼠（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向哪些量只有大小没有方向
二、新课学习： A B C D
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：
1、数量与向量有何区别
2、如何表示向量
3、有向线段和线段有何区别和联系分别可以表示向量的什么
4、长度为零的向量叫什么向量长度为1的向量叫什么向量
5、满足什么条件的两个向量是相等向量单位向量是相等向量吗
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量这时各向量的终点之间有什么关系
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ:（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、A(起点) B （终点）
a
长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ。

6、巩固练习：P77 练习1、2、3 习题A 1
2.1.3相等向量和共线向量
1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线
．．．．
段的起点无关
．．．．．．.
2、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与．
有向线段的起点无关）
．．．．．．．．．．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：例1 书本76页例2
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗（不一定）
例3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些（FE DO CB ,,）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
2．书本77页练习
三、课后作业：
书本77页习题第2、3、5题
第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
2、情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+
（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+
（3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，
则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：
AC BC AB =+
A B C A B
C
A B
C
O A B
a a a
b b b 二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a + 0 = 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；
（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，
且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加
３．例1、已知向量a 、b ，求作向量a +b
作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=.
４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同 验证结果相同 a A B C
a +
b a +b a
a b b a ｂ ｂ ａa
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：a +b =b +a
５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =
则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+
∴(a +b ) +c =a + (b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例2（P83）略 练习：P84
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P91第1、２、３题
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路： 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB .
解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++
一、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0
如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + (b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
A B
D C
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b
求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量
∵(a b ) + b = a + (b ) + b = a + 0
= a 作法：在平面内取一点O ，
作OA = a ， AB = b ，则BA = a b
即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1AB 表示a b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
3、探究：
如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a ∥b ， 如何作出a b O A B a B b b
B a + (b ) a b O a b B a b
a b a b A A
B B B ’ O a b a a b b O A O B a b a b B A O b
二、 例题：
例3 P86已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a
b 、
c
d .
解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作BA ， DC ， 则BA = a b ， DC = c d
例4、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用a 、b 表示向量AC 、DB .
解：由平行四边形法则得： AC = a + b ， DB = AD AB - = a
b
变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a
b 垂直（|a | = |b |）
变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a
b |（a ， b 互相垂直）
变式三：a +b 与a b 可能是相当向量吗（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ87
三、 作业：P91第4、6、7、8题
平面向量的基本定理及坐标表示
A B
D C
A
B
C
b
a
d c
D
O
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握
应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a
方向相反；λ=0时λa
=0 2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b
)=λa
+λb
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量
1e +32e .
例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b
表示MA ，MB ，MC 和MD
例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：
OA +OB +OC +OD =4OE
例4（1）如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t R)用OA ，OB 表示OP .
（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.
求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线. 四、课堂练习：
1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) 、e 2一定平行 、e 2的模相等
C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y 的值等于( )
B.-3
C.0
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
§2.3.2—§平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
yj xi a +=…………○
1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作
),(y x a =…………○
2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.
在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定。

设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算
（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
AB =OB
OA =( x 2， y 2)
(x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)
（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例：
例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.
例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)当平行四边形为DACB 时，得D 3=(6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， 5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.
解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x ， y)=(0， 0) 即：⎩⎨
⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=1
5
y x ∴3F (
5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 2
1
=
MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB 2BC = .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量
a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=
把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，
)1,0(=j ，)0,0(0=.
2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，
则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课：
a
∥b (b
0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
设a
=(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b
a .
由a
=λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b
0 ∴x 2， y 2
中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成
2
2
11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a
∥b (b
0)0
1221=-=⇔
y x y x b
a λ
三、讲解范例：
例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a
∥b ，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.
例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.
例4若向量a
=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a
=(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0 ∴x=±2 ∵a
与b 方向相同 ∴x=2
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行
吗直线AB 与平行于直线CD 吗
解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD
又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×60 ∴
AC 与AB 不平行
∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
.5 C
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）
B.-1
C.1
3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y的值可能分别为（）
，2 ，2 C.3，2 ，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、课后作业
§平面向量的数量积
一、平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程： 一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.
2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算
若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，
),(y x a λλλ=.
若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
5．a
∥b (b
0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（3）当θ＝
2
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是
θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b= |a||b |cos，
C
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a ×b，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是a b = b c a = c 如右图：a b = |a||b|cos = |b||OA|，b c = |b||c|cos = |b||OA|
a b = b c 但a c
(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )c a (b c )
显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而
一般a 与c 不共线. 3．“投影”的概念：作图
定义：|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当
= 180时投
影为 |b |.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos 2 a b a b = 0
3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||
4 cos =
|
|||b a b
a ⋅ 5 |a
b | ≤ |a ||b |
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb 互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；
⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；
1＝9③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×
2评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） ° ° ° D.４５°
2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为
3
π
，那么向量m =a -4b 的模为（ ） B .23
3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为
3
π
，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .
6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.
7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.
8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.
六、课后作业（略）
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b = |a ||b|cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
C
定义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 e a = a e =|a |cos ；
2 a b a b = 0
3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=|| 4cos =
|
|||b a b
a ⋅ ；5|a
b | ≤ |a ||b |
二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a
证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos ∴a b = b a
2．数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb ) 证：若λ> 0，(λa )b =λ|a ||b |cos ， λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，a (λb )
=λ|a ||b |cos ，
若λ< 0，(λa )b =|λa ||b |cos() =
λ|a ||b |(
cos )
=λ|a ||b |cos ，λ(a b ) =λ|a ||b |cos ，
a (λ
b ) =|a ||λb |cos() = λ|a ||b |(cos ) =λ|a ||b |cos .
3．分配律：(a + b )c = a c + b c
在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1
+ |b | cos
2
∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos 1
+ |c | |b | cos
2
， ∴c (a + b )
= c a + c b 即：(a + b )c = a c + b c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ （3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a 2b 垂直，求a 与b 的夹角.
解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ① (a 4b )(7a 2b ) = 0 7a 2 30a b + 8b 2 = 0 ② 两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2 设a 、b 的夹角为，则cos
=2
1
222==⋅||||||b b b a b a ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB + ∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||2
22 而BD =AD AB - ，
∴|BD |2
=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||2
22
∴|AC |2 + |BD |2 = 22
22AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++
例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
综上所述，四边形ABCD 是矩形.
评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 ·b 是一个实数
2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） B .-72 C.36
3.|a |=3，|b |=4，向量a +43
b 与a -4
3b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3
D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .
五、 课后作业
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.
1 e a = a e =|a |cos ；
2 a b a b = 0
3 当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ⋅=||
4 cos =||||b a b a ⋅ ；5|a b | ≤ |a ||b |
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(λa )b =λ(a b ) = a (λb )
C
分配律：(a + b )c = a c + b c
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.
设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，
j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=
又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=
2. 平面内两点间的距离公式
四、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)
五、 向量垂直的判定
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
六、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
co s =|
|||b a b a ⋅⋅ 七、 讲解范例：
八、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确
到1o )
例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证。