正态总体样本均值与样本方差的分布

Sw
Sw2 .
小结
两个重要定理
定理6.1
X
~
N
,
2
n
;
(n 1)S 2
2
~
2(n 1)
定理6.2
X ~ t(n 1)
S/ n
1. 设总体 X ~ N (1, 22 ), X1, X2 ,L , Xn 为X的样本,则
A. X 1 ~ N (0,1) 2
B. X 1 ~ N (0,1) 4
本均值和样本方差, 则
(1) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1);
2 1
2 2
nm
(2)
S12 / S22
2 1
/
2 2
~ F(n 1, m 1);
wk.baidu.com(3)
当
2 1
2 2
2
时,
( X Y ) (1 2 ) ~ t(n m 2),
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
(n 1)S12 (m 1)S22 , nm2
在概率统计问题中，正态分布占据着十分重
要的位置，这是因为许多量的概率分布或者是正
态分布，或者接近于正态分布，而且，正态分布
有许多优良性质，便于进行较深入的理论研究。
因此，我们着重来讨论一下正态总体下的抽样分
布，其中最重要的统计量自然是样本均值和样本
方差。
样本均值
X
1n n i1
Xi
样本方差
S2
1 n1
C. X 1 ~ N (0,1) 2n
D. X 1 ~ N (0,1) 2
2. 设总体 X ~ N (0,1), X1, X2 ,L , Xn 为X的样本,则
X
X~
,
~
,
Sn
P
X
2 1
X
2 2
X
2 3
2.5
.
n i 1
(Xi
X )2
6.3.1 单个正态总体的情形
定理6.1 设 X1, X2 ,L , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
(1)
X
~
N
,
2
n
或
X
n
~
N
0, 1;
(2)
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1);
(3) X 与 S 2 相互独立.
定理6.2 设 X1, X2 ,L , Xn 是来自正态总体 N (, 2 )
的样本, X 与 S2 是样本均值与样本方差, 则
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
6.3.2 两个正态总体的情形
定理6.3 设 X1 , X 2 ,L , X n 与Y1,Y2 ,L ,Ym 分别是来
自正态总体
N
(
1
,
2 1
),
N
(2
,
2 2
)的样本,
且这两个
样本互相独立, 设 X , S12 分别为 X1 , X 2 ,L , X n 的样
本均值和样本方差, Y , S22 分别为Y1 ,Y2 ,L ,Ym 的样