高中数学第三章导数及其应用习题课(1)课时作业(含解析)新人教A版选修11

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高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数表示函数在点处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于且小于，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间内恒有，那么函数在区间内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（）解：C导函数的图象在轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由时导函数图象在轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由时导函数图象在轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数在开区间答案：解析：3. 已知函数，的导函数的图象如下图，那么，的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和都是单调递增的，但增长的越来越慢，增长的越来越快，并且在处，的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高中数学第三章导数及其应用教材习题本新人教A版选修11

1 第三章导数及其应用P854、求下列函数的导数：（1）x x y 23log += （2）x n e x y = （3）xx y sin cos = 5、已知函数22813)(x x x f +-=，且4)('0=x f ，求0x .P98-991、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）12)(+-=x x f （2）x x x f cos )(+=（3）42)(-=x x f （4）x x x f 42)(3+=5、求下列函数的极值：（1）26)(2++=x x x f （2）x x x f 12)(3-=（3）3126)(x x x f +-= (4)348)(x x x f -=6、求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：（1）26)(2++=x x x f ，]1,1[-∈x （2）x x x f 12)(3-=，]3,3[-∈x（3）3126)(x x x f +-=，]1,31[-∈x （4）348)(x x x f -=，]5,3[-∈x B 组利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：（1）),0(,sin π∈<x x x ；（2）)1,0(,02∈>-x x x ；（3）0,1≠+>x x e x ；（4）0,ln ><<x e x x x .P1101、已知点P 和点Q 是曲线322--=x x y 上的两点，且点P 的横坐标是1，点Q 的横坐标是4，求：（1）割线PQ 的斜率；（2）点P 处的切线方程.2、求下列函数的导数：（1）x x y tan 2=; (2)x x e y ln = 5、求函数32)(x x f =的单调区间.6、已知函数q px x x f ++=2)(，试确定p,q 的值，使当1=x 时，)(x f 有最小值4.7、已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，求c 的值.。

高中数学第三章导数及其应用章末演练轻松闯关三含解析新人教A版选修11

高中数学第三章导数及其应用章末演练轻松闯关三含解析新人教A 版选修11[学生用书P139(单独成册)])[A 基础达标]1．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )A.－sin x ＋x sin x（1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x（1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x解析：选C.y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2. 2．(2019·济南高二检测)函数f (x )＝e xln x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1)D ．y ＝x －e解析：选C.因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0，所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)．3．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋2ax 有大于0的极值点，则( ) A ．a <－1eB ．a >－1eC ．a <－12D ．a >－12解析：选C.由y ＝e x＋2ax ，得y ′＝e x＋2a .由题意，得e x＋2a ＝0有正数解．当x >0时，e x＝－2a >1，即a <－12.4．(2019·长春高二检测)已知函数f (x )＝x 2e x，当x ∈[－1，1]时，不等式f (x )<m 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C ．[e ，＋∞)D ．(e ，＋∞)解析：选D.由f ′(x )＝e x(2x ＋x 2)＝x (x ＋2)e x，得当－1<x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当0<x <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，且易得f (1)>f (－1)，故当x ∈[－1，1]时，f (x )max ＝f (1)＝e ，则m >e.故选D.5．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<0解析：选C.易知函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )为增函数，由f (x 1)＋f (x 2)>0⇔f (x 1)>－f (x 2)⇒f (x 1)>f (－x 2)⇒x 1>－x 2⇒x 1＋x 2>0.6．函数y ＝a27x 3＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝________．解析：由题可得y ′＝a9x 2.可设切点为(x 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a27x 3＋1，a9x 20＝1，解得a ＝4.答案：47．设函数f (x )＝x (e x－1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x (e x－1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈[－1，0]时，f ′(x )≤0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间是[－1，0]．答案：(－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0]8．已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x －2，给出以下命题：①若函数y ＝f (x )＋3bx 不存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是(1，＋∞)； ②过点M (0，2)且与曲线y ＝f (x )相切的直线有三条；③方程f (x )＝22－x 的所有实根的和为16.其中真命题的序号是________．解析：因为y ＝f (x )＋3bx ＝x 3－6x 2＋(9＋3b )x －2，所以y ′＝3x 2－12x ＋9＋3b ，若函数y ＝x 3－6x 2＋(9＋3b )x －2不存在单调递减区间，则有(－12)2－12(9＋3b )≤0，解得b ≥1，所以①是假命题；设过点M (0，2)的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则有3x 20－12x 0＋9＝y 0－2x 0.又点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，所以y 0＝x 30－6x 20＋9x 0－2，代入上式，得x 30－3x 20＋2＝(x 0－1)[x 0－(1＋3)][x 0－(1－3)]＝0，解得x 0＝1或x 0＝1＋3或x 0＝1－3，所以过点M (0，2)且与曲线y ＝f (x )相切的直线有三条，所以②是真命题；由题意，得函数f (x )＝x3－6x 2＋9x －2的图象关于点(2，0)成中心对称，且函数y ＝22－x 的图象也关于点(2，0)成中心对称，结合图象(图略)可知方程f (x )＝22－x 有4个实数根，故所有实数根的和为4＋4＝8，所以③是假命题．答案：②9．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1，16)处的切线方程．解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . 因为f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3. 所以f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y ＝16.10．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝ f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. [B 能力提升]11．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x <f (x )，且f (2)＝0，则f （x ）x>0的解集为( )A ．(0，2)B ．(0，2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅解析：选A.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝f ′（x ）·x －f （x ）x 2<0，所以f （x ）x 为减函数，又因为f (2)＝0，所以f （2）2＝0.所以f （x ）x>0的解集为0<x <2，故选A. 12.已知函数y ＝f ′（x ）x的图象如图所示(其中f ′(x )是定义域为R 的函数f (x )的导函数)，则以下说法错误的是( )A ．f ′(1)＝f ′(－1)＝0B ．当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值C ．方程xf ′(x )＝0与f (x )＝0均有三个实数根D ．当x ＝1时，函数f (x )取得极小值解析：选C.由图象可知f ′(1)＝f ′(－1)＝0，A 说法正确．当x <－1时，f ′（x ）x<0，此时f ′(x )>0；当－1<x <0时，f ′（x ）x>0，此时f ′(x )<0，故当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值，B 说法正确．当0<x <1时，f ′（x ）x <0，此时f ′(x )<0；当x >1时，f ′（x ）x>0，此时f ′(x )>0，故当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，D 说法正确．故选C.13．设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a ＞1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若当x ≥0时，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a ＞1知，2a ＞2，当x ＜2时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x ＜2a 时，f ′(x )＜0，故f (x )在区间(2，2a )上是减函数．当x ＞2a 时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a ＞1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2，2a )上是减函数．(2)由(1)知，当x ≥0时，f (x )在x ＝2a 或x ＝0处取得最小值．f (2a )＝13(2a )3－(1＋a )(2a )2＋4a ·2a ＋24a ＝－43a 3＋4a 2＋24a ＝－43a (a ＋3)(a －6)，f (0)＝24a .由假设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f （2a ）＞0，f （0）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，－43a （a ＋3）（a －6）＞0，24a ＞0，解得1＜a ＜6.故a 的取值范围是(1，6)．14．(选做题)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]内有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R上有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．。

高中数学(人教A版,选修11)【课时作业与单元检测】：第三章+导数及其应用(12份)第三章 §3.4

§3.4 生活中的优化问题举例课时目标通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________，通过前面的学习，我们知道________是求函数最大(小)值的有力工具，运用________，可以解决一些生活中的______________．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题 ↓ 优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________ _过程．一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2 (0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米4．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34V D ．23V5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ．33 cmB ．1033 cmC ．1633 cmD ．2033cm6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400)，则总利润最大时，年产量是( )7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．三、解答题10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)13．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．§3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1．优化问题导数导数优化问题作业设计1．B [V ′(x )＝60x －3x 2＝0，x ＝0或x ＝40.可见当x ＝402．C [y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0<x <9时，y ′>0；当x >9时，y ′<0，故当x ＝9时，函数有极大值，也是最大值．]3．A [要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x(x >0)，则L ′＝2－512x 2.令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．]4．C [设底面边长为a ，直三棱柱高为h . 体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V 3a 2，表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a 2＝32a 2＋43Va ，S ′＝3a －43V a 2，由S ′＝0，得a ＝34V .经验证，当a ＝34V 时，表面积最小．]5．D [设高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．]6．D [由题意，总成本为c ＝20 000＋100x ，所以总利润为p ＝r －c＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400)， p ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)－100 (x >400)，p ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，p ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．] 7．5解析依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．1∶1解析设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.9．3解析设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r 2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．10．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．11．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x极小值故x 18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．12．解设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x 2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．13．解收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)，L ′＝－14q ＋21，令L′＝0，即－14q＋21＝0，解得q＝84. 因为当0<q<84时，L′>0；当84<q<200时，L′<0，所以当q＝84时，L取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．。

精选-高三数学选修11第三章导数及其应用专项练习(带答案)-文档资料

高三数学选修1-1第三章导数及其应用专项练习（带答案）导数的考察一般都伴随着函数，以下是第三章导数及其应用专项练习，希望对大家有帮助。

一、填空题1.当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________.(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率;②在x0处的变化率;③在x1处的变化率;④以上都不对.2.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+x时，函数的增量y=______________.3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+x，f(1+x))，则yx=________.4.某物体做运动规律是s=s(t)，则该物体在t到t+t这段时间内的平均速度是______________.5.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.6.已知函数y=f(x)=x2+1，在x=2，x=0.1时，y的值为________.7.过曲线y=2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______.8.若一质点M按规律s(t)=8+t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________.二、解答题9.已知函数f(x)=x2-2x，分别计算函数在区间[-3，-1]，[2,4]上的平均变化率.10.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+x，1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快?12.函数f(x)=x2+2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)=2x-3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值.参考答案1.①2.f(x0+x)-f(x0)3.4+2x解析 y=f(1+x)-f(1)=2(1+x)2-1-212+1=4x+2(x)2，yx=4x+2(x)2x=4+2x.4.s(t+t)-s(t)t解析由平均速度的定义可知，物体在t到t+t这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比.所以v=st=s(t+t)-s(t)t.5.-1解析 yx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1.6.0.417.1解析由平均变化率的几何意义知k=2-11-0=1.8.4.1解析质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由st求得，即v=st=s(2.1)-s(2)0.1=4.1.9.解函数f(x)在[-3，-1]上的平均变化率为：f(-1)-f(-3)(-1)-(-3)=[(-1)2-2(-1)]-[(-3)2-2(-3)]2=-6.函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：f(4)-f(2)4-2=(42-24)-(22-22)2=4.10.解∵y=f(1+x)-f(1)=(1+x)3-1=3x+3(x)2+(x)3，割线PQ的斜率yx=(x)3+3(x)2+3xx=(x)2+3x+3.当x=0.1时，割线PQ的斜率为k，则k=yx=(0.1)2+30.1+3=3.31.当x=0.1时割线的斜率为3.31.11.解乙跑的快.因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小.12.解函数f(x)在[0，a]上的平均变化率为f(a)-f(0)a-0=a2+2aa=a+2.函数g(x)在[2,3]上的平均变化率为g(3)-g(2)3-2=(23-3)-(22-3)1=2.∵a+2=22，a=2.第三章导数及其应用专项练习的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家取得更好的成绩。

高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A版选修11

高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P129(单独成册)])[A 基础达标]1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )解析：选C.依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上单调递增，在(c ，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．2．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)，(1，＋∞)D ．(－3，1)解析：选D.f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，由f ′(x )＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，解得－3＜x ＜1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为(－3，1)．3．三次函数y ＝f (x )＝ax 3－1在R 上是减函数，则( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ≤0D ．a ＜0 解析：选D.y ′＝3ax 2，要使f (x )在R 上为减函数，则y ′≤0在R 上恒成立，即a ≤0，又a ＝0时，y ′＝0恒成立，所以a ≠0.综上a ＜0.4．函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 解析：选A.由f (x )＝12x ＋cos x 得f ′(x )＝12－sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6.故选A. 5．若f (x )＝ln x x，e ＜a ＜b ，则( ) A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )f (b )＞1解析：选A.因为f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，当x ∈(e ，＋∞)时，1－ln x ＜0，所以f ′(x )＜0，所以f (x )在(e ，＋∞)内为单调递减函数．故f (a )＞f (b )．故选A.6．若函数f (x )＝e x x，则f (x )的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，令f ′(x )＜0，得x ＜0或0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1)．答案：(－∞，0)和(0，1)7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 8．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.因为对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上为增函数.又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，所以x ＞－1时，g (x )＞0.所以由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b 的值；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝－4，f ′（1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，x ∈R ， f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3；由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)．[B 能力提升]10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a 2－3b <0，则f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常数函数D ．既不是减函数也不是增函数解析：选B.由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝4a 2－12b ＝4(a 2－3b )<0，故f ′(x )>0在R 上恒成立，即f (x )在R 上为增函数． 11．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为________．解析：函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上单调递减，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上，y ＝f ′(x )<0，所以f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)12．设函数f (x )＝ax －ax －2ln x .(1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为 f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，且f ′(2)＝0，所以a ＋a4－1＝0，所以a ＝45.所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x＝25x 2(2x 2－5x ＋2)．令f ′(x )≥0，解得0＜x ≤12或x ≥2；令f ′(x )≤0，解得12≤x ≤2，所以f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12和[2，＋∞)，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2，所以需ax 2－2x ＋a ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1.所以a 的取值范围是[)1，＋∞.13．(选做题)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2＞0.解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a （1－x ）x(x ＞0)，当a ＞0时，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)．即f (x )＞－2，所以f (x )＋2＞0.。

高中数学 3.3.1函数的单调性与导数课时作业新人教A版选修11

3.3.1 函数的单调性与导数课时目标掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)确定f (x )的单调区间．一、选择题 1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，0] 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用 3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝0 2．变化得快陡峭平缓作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.] 3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.]4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．] 5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.]7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33 ＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11， ∴f (x )的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．。

高中数学第三章 3.1.13.1.2变化率与导数课时作业新

3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念课时目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0limx →ΔyΔx＝____________，我们称它为函数y =f (x )在x ＝x 0处的，记为或即f ′(x 0) ＝0lim x →ΔyΔx一、选择题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上都不对2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0lim x f x 0－Δx －f x 0Δx 等于 ( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－26．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( )A ．at 0B ．－at 0 C.1at 0 D ．2at 0题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．8．过曲线y ＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝ΔsΔt＝s t 0＋Δt －s t 0Δt.2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ；0 Δy Δx .→0 ΔyΔx.第三章导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念答案知识梳理1．f x 2－f x 1x 2－x 1 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx2．lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx 导数 f ′(x 0) y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx作业设计 1．A2．B [∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .] 3．B [Δy Δx ＝f 3－f 13－1＝1－32＝－1.]4．A [lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0－f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－lim Δx →0f x 0－f x 0－ΔxΔx＝－f ′(x 0)．]5．B [∵Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32Δx ＝－Δx －3，∴lim Δx →0Δy Δx＝－3.] 6．A [∵Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt ＝12a Δt ＋at 0，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.] 7．0.41 8．1解析由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.9．4＋Δt 4解析在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v 1＋Δt －v 1Δt＝Δt ＋4，t ＝1时的瞬时加速度是li m Δt →0 ΔvΔt ＝li m Δt →0(Δt ＋4)＝4. 10．解函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f －1－f －3－1－－3＝[－12－2×－1]－[－32－2×－3]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f 4－f 24－2＝42－2×4－22－2×22＝4.11．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·1＋1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·1＋1＋Δx ， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx ·1＋1＋Δx ＝－11＋0·1＋1＋0＝－12，∴y ′|x ＝1＝f ′(1)＝－12.12．2解析由导数的定义，得 f ′(0) ＝lim Δx →0 f Δx －f 0Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋b Δx ＋c －c Δx＝lim Δx →0[a ·(Δx )＋b ]＝b . 又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0.∴f 1f ′0＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb＝2.13．解运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以0 Δv Δt＝li m Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第三章导数及其应用 3.1.3 含解析

3.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f'(x 0)>0B.f'(x 0)<0C.f'(x )=0D.f'(x 0)不存在2.已知曲线y =12x2−2上一点P (1,-32),则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°y =1x2−2,∴y'=limΔx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx =limΔx →012(Δx )2+x ·ΔxΔx=lim Δx →0(x +12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴点P (1,-32)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 3.曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2x=1=lim Δx →0(1+Δx )3-2(1+Δx )+1-(13-2×1+1)Δx=1,因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 4.若曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B .12C.−12D.−1y'=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.又直线2x-y-6=0不过(1,1)点,∴a=1即为所求.5.函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3).由图可知f'(3)<f'(2).作出过A(2,f(2))与B(3,f(3))两点的直线,斜率k AB=f(3)-f(2)3-2=f(3)−f(2).设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2<k AB<k1.6.曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程为.Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴y'|x=2=limΔx→0(2+Δx)=2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.x-y-2=07.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f′(1)=.M处的切线方程y=12x+2,得f(1)=12×1+2=52,f′(1)=12,则f(1)+f'(1)=52+12=3.8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.y=x2-1,得y′|x=x0=2x0,由y=1-x3,得y′|x=x0=−3x02.由题意得2x0=-3x02,即3x02+2x0=0.解得x0=0或x0=−23.或−239.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为y′|x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=2x0.直线2x-6y+5=0的斜率为1,由题设知2x0·1=−1,解得x0=−3,此时y0=94,故点P的坐标为(-32,94).10.若函数f(x)=x−1,求它与x轴交点处的切线的方程.f(x)=x−1=0,得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f'(x)=limΔx→0(x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx=limΔx→0[1+1x(x+Δx)]=1+1x2,∴切线的斜率k=1+1=2.∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.能力提升1.设f(x)为可导函数且满足lim-2x→0f(1)-f(1-2x)2x=−1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2lim →0f(1)-f(1-2x)=lim-2x→0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x→0f[1+(-2x)]-f(1)-2x=f′(1)=−1.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)·Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1.因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设点P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1切点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1.∴y=x2+ax+1.∵y'=limΔx→0(x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1=limΔx→02x·Δx+(Δx)2+aΔx=limΔx→0(2x+Δx+a)=2x+a,∴y'|x=0=a=1.4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π4,π2 ],则点P的横坐标的取值范围为()A.(-∞,12]B.[−1,0]C.[0,1]D.[-12,+∞)5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.★6.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值.l与曲线C相切于点P(x0,y0),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由题意可知k=4,即3x02−4x0=4,解得x0=−23或x0=2.因此切点坐标为(-23,4927)或(2,3),当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5.故切点为(-23,4927),a=12127或切点为(2,3),a=-5.★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.ΔyΔx=(x+Δx)2+1-(x2+1)Δx=2x+Δx,得y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),y0=x02+1,所以a-(x02+1)=2x0(1−x0),即x02−2x0+a−1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).。

高中数学第3章导数及其应用习题课课件选修11高二选修11数学课件

解析因为(yīn wèi)函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，
所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，
而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，
故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝
－32.
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解答
2.函数(hánshù)f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围. 解由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立. 因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3. 即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.
∵f(x)在区间(qū jiān)(－1,1)上不单调，
∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围为(0,3).
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解答
反思(fǎn sī)与感悟 f(x)为(a，b)上的增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的
f(x)的单调性单调递_增__ 单调递_减__
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知识点二求函数y＝f(x)的极值(jízhí)的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)，>0右侧(yòu cè) f′(x)<0，那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<，0 右侧 f′(x)，>0那么f(x0)是极小值.

高中数学(人教A版,选修11)【课时作业与单元检测】：第三章+导数及其应用(12份)第三章 3.1.3

3.1.3导数的几何意义课时目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了________________________________________．2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P (1，－3)且与曲线y ＝x 2相切的直线的斜率．11．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1 (a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．能力提升12．已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值．13．在曲线E ：y ＝x 2上求出满足下列条件的点P 的坐标．(1)在点P 处与曲线E 相切且平行于直线y ＝4x －5；(2)在点P 处与曲线E 相切且与x 轴成135°的倾斜角．1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x0)＝f′(x0) (x －x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3．1.3 导数的几何意义答案知识梳理1．f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率函数f (x )在x ＝x 0附近的变化情况3．导函数导数 lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 作业设计1．D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02(x ＋Δx )3－2x 3Δx ＝lim Δx →02(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx ＝lim Δx →0[2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2]＝6x 2. ∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)，所以k ＝f ′(2)＝2－3－1－2＝－1－3＝13>0.] 3．C [f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．]4．B [2x ＋y ＋1＝0，得y ＝－2x －1，由导数的几何意义知，h ′(a )＝－2<0.]5．B [曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，切线与x 轴平行或重合．]6．B [根据导数的几何意义，在x ∈[2,3]时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)>f ′(3)．] 7．－1解析由偶函数的图象和性质可知应为－1.8．2x －y ＋4＝0解析由题意知，Δy ＝3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝2. ∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x . ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9. ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a <0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2ax ＋b )＝2ax ＋b . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12. 13．解 f ′(x ) ＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)为所求的点，(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)．(2)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即y 0＝14，即P ⎝⎛⎭⎫－12，14.。

高中数学(人教A版,选修11)【课时作业与单元检测】：第三章+导数及其应用(12份)第三章 3.3.2

3.3.2 函数的极值与导数课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧__________，右侧__________．类似地，函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧__________，右侧__________．我们把点a 叫做函数y ＝f (x )的____________，f (a )叫做函数y ＝f (x )的__________；点b 叫做函数y ＝f (x )的________________，f (b )叫做函数y ＝f (x )的__________．极小值点、极大值点统称为__________，极大值和极小值统称为________．极值反映了函数在____________________的大小情况，刻画的是函数的________性质．2．函数的极值点是______________的点，导数为零的点__________(填“一定”或“不一定”)是函数的极值点．3．一般地，求可导函数f (x )的极值的方法是：解方程f ′(x )＝0.当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________； (2)如果在x 0附近的左侧__________，右侧__________，那么f (x 0)是__________； (3)如果f ′(x )在点x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)____________．一、选择题1. 函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( ) A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0 B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0 D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( )A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <27．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______.8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x .11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a ＝1，b ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个极值点，x 3是f (x )的一个零点，且x 3≠x 1，x 3≠x 2.证明：存在实数x 4，使得x 1，x 2，x 3，x 4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x 4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．3．3.2 函数的极值与导数答案知识梳理1．f ′(x )<0 f ′(x )>0 f ′(x )>0 f ′(x )<0 极小值点极小值极大值点极大值极值点极值某一点附近局部2．导数为零不一定3．(1)f ′(x )>0 f ′(x )<0 极大值 (2)f ′(x )<0 f ′(x )>0 极小值 (3)不是极值作业设计 1．C2．C [∵f (x )在x ＝1处存在极小值， ∴x <1时，f ′(x )<0，x >1时，f ′(x )>0.]3．A [∵f ′(x )＝1－1x 2，由f ′(x )>0，得x >1或x <－1，又∵x >0，∴x >1.由⎩⎨⎧f ′(x )<0，x >0.得0<x <1，即在(0,1)内f ′(x )<0，在(1，＋∞)内f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上有极小值．]4．A [f (x )的极小值点左边有f ′(x )<0，极小值点右边有f ′(x )>0，因此由f ′(x )的图象知只有1个极小值点．]5．A [f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b <03－3b >0，解得0<b <1.]6．D [∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∴f ′(x )的图象是开口向上的抛物线，只有当Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0时，图象与x 轴的左交点两侧f ′(x )的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f ′(x )的值分别小于零、大于零．所以才会有极大值和极小值．∴4a 2－12(a ＋6)>0得a >6或a <－3.]7．3解析 f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.∵f ′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a ＝3.8．1 －3解析因为f ′(x )＝3ax 2＋b ，所以f ′(1)＝3a ＋b ＝0. ① 又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2. ② 由①②解得a ＝1，b ＝－3. 9.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴f ′(x )>0时得：x >a 或x <－a ，f ′(x )<0时，得－a <x <a . ∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎨⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0.a >0解得a >22. 10．解 (1)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e .11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6. 因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ，故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52.12．(1)解当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)，因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)证明因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b3)，由于a <b ，故a <a ＋2b3，所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b3.不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点，故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)，x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.。

最新高中数学(人教A版选修1-1)课时作业：第3章导数及其应用3.2.1 3.2.2(一)

最新人教版数学精品教学资料§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______； (2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________； (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________； (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________； (5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)； (6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)； (8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，πB ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π45．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．1105237．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________．8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________. 9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度静止 y ′＝1 瞬时速度匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x .]2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227，所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]． ∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3， ∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.]7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0.8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2.(4)y ′＝(10x )′＝10x ln10.11．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝nn ＋1.a n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝－lg100＝－2. 13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e，∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，即x ＋e y －e 2－1＝0.。

高中数学(人教A版,选修11)【课时作业与单元检测】：第三章+导数及其应用(12份)第三章章末检测(A)

第三章章末检测 (A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，－3) C ．(－2，－3) D ．(－2,3) 2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1)及(0,1) B ．(－1,0)及(1，＋∞) C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠05．函数y ＝x 2－4x ＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是( ) A ．f (5)，f (0) B ．f (2)，f (0) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (2)6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 010x 1＋ log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009的值为( ) A ．－log 2 0102 009 B ．－1 C ．(log 2 0102 009)－1 D ．17．方程－x 3＋x 2＋x －2＝0的根的分布情况是( )A ．一个根，在（－∞，－13）内B ．两个根，分别在（－∞，－13）、(0，＋∞)内C ．三个根，分别在（－∞，－13）、（－13，0）、(1，＋∞)内D ．三个根，分别在（－∞，－13）、(0,1)、(1，＋∞)内8．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 10. 已知f (x )的导函数f ′(x )图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )11．函数f (x )＝ln x －x 2的极值情况为( )A ．无极值B ．有极小值，无极大值C ．有极大值，无极小值D ．不确定12．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8x22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．14．f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________________________________________________________________________．16．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)当x ∈（0，π2）时，证明：tan x >x .18．(12分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．若规划建设的仓库是高度与AB 的长相同的长方体建筑，问AB 长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)19.(12分)已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积．20．(12分)要设计一容积为V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r 和高h 之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第三章导数及其应用(A) 答案1．B [∵f ′(x )＝2x ＋2＝0，∴x ＝－1. f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3. ∴M (－1，－3)．]2．A [y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]3．D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由f (x )在x ＝－3时取得极值，即f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5.] 4．C [f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于f ′(x )＝0有两个不等实根，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ≠0，Δ＝4－12a >0.解得a <13且a ≠0.]5．D [y ′＝2(x －2)．x ＝2时，y ′＝0；x <2时，y ′<0；x >2时，y ′>0.∴x ＝2是极小值点，f (2)＝－3；又f (0)＝1，f (5)＝6，故f (5)是最大值，f (2)是最小值．]6．B [∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2 010x 1＋log 2 010x 2＋…＋log 2 010x 2 009 ＝log 2 010(x 1·x 2·…·x 2009)＝log 2 010(12·23·…·2 0092 010)＝log 2 01012 010＝－1.]7．A [令f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋1，令－3x 2＋2x ＋1＝0，得x ＝1，或x ＝－13，故函数f (x )在x ＝1和x ＝－13处分别取得极大值f (1)＝－1和极小值f ⎝⎛⎭⎫－13＝－5927，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x 轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－13内．]8．A9．A [设圆柱横截面圆的半径为R ，圆柱的高为h ，则2R ＋h ＝2. ∵V ＝πR 2h ＝πR 2(2－2R )＝2πR 2－2πR 3， ∴V ′＝2πR (2－3R )＝0.令V ′＝0，则R ＝0(舍)或R ＝23.经检验知，R ＝23时，圆柱体积最大，此时h ＝23，V max ＝π·49×23＝827π.]10．A [∵(－∞，－2)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数；同理f (x )在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]11．C [因为f (x )＝ln x －x 2，所以f ′(x )＝1x－2x ，令f ′(x )＝0得x ＝22 (x ＝－22舍去)．当0<x <22时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x >22时，f ′(x )<0，函数单调递减．所以函数f (x )＝ln x －x 2在x ＝22处取得极大值，无极小值．] 12．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 13．a ≥3解析由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a ≥3x 2， x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3. 14．3解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3. 15．(－2,15)解析设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.又∵P 点在第二象限内，∴x 0＝－2，∴y 0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)． 16．21解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧－2＋4＝－2a3－2×4＝b3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ＝－24.∴a －b ＝－3＋24＝21.17．证明构造函数f (x )＝tan x －x ，判断f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性．设f (x )＝tan x －x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. ∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′－1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x－1 ＝1cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x＝tan 2x >0. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又∵f (x )＝tan x －x 在x ＝0处可导且f (0)＝0，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f (x )>f (0)恒成立，即tan x －x >0.∴tan x >x .18．解因为DC AM ＝NDAN ，且AM ＝30，AN ＝20.所以ND ＝AB AM ·AN ＝2x3，得AD ＝AN －ND ＝20－2x3.仓库的库容V (x )＝(20－2x3)·x ·x＝－2x 33＋20x 2(0<x <30)，令V ′(x )＝－2x 2＋40x ＝－2x (x －20)＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去)．当x ∈(0,20)时，V ′(x )>0；当x ∈(20,30)时，V ′(x )<0.所以当x ＝20时，V (x )有极大值也是最大值．即AB 的长度为20米时仓库的库容最大． 19．解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)，因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －y ＝－13x －229，可得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝⎛⎭⎫－223，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512. 20．解由V ＝πr 2h ，得h ＝Vπr 2.设盖的单位面积造价为a ，则储油罐的造价M ＝a πr 2＋2a ·2πrh ＋4a ·πr 2＝5a πr 2＋4aVr ，M ′＝10a πr －4aVr 2，令M ′＝0，解得r ＝32V 5π，∴经验证，当r ＝32V5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h ＝Vπr 2＝325V 4π. ∴当r h ＝32V 5π325V 4π＝25时，储油罐的造价最省． 21．解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.22．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.以下分两种情况讨论：①若0<a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0f (12)>0即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，5＋a 8>0.解不等式组得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0f (1a )>0即⎩⎪⎨⎪⎧5－a 8>0，1－12a 2>0.解不等式组得22<a <5或a <－22. 因此2<a <5.综合①②，可知a 的取值范围为0<a <5.。

高中数学(人教A版,选修11)课时作业与单元检测：第三章

第三章章末总结知识点一导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ①又y1＝f(x1) ②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．例1已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．知识点二导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋sin x；(2)f(x)＝x(x－a)2.知识点三导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .知识点四导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．例5 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围．章末总结答案重点解读例1 解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.例2 解 (1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝12＋cos x ，令12＋cos x >0，解得2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，令12＋cos x <0，解得2k π＋2π3<x <2k π＋4π3(k ∈Z )，因此，f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，单调减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )．(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3 解令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是a ≤16.例5 解 ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7，因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7. 所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。

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高中数学第三章导数及其应用习题课（1）课时作业（含解析）
新人教A 版选修11
一、选择题
1．函数y ＝f (x )＝1
x
在x ＝2和x ＝3处的导数的大小关系是( )
A. f ′(2)<f ′(3)
B. f ′(2)>f ′(3)
C. f ′(2)＝f ′(3)
D. 大小关系不确定
解析：∵(1x )′＝－1x 2，∴y ′| x ＝2＝－122＝－1
4，
即f ′(2)＝－14，y ′| x ＝3＝－132＝－1
9，
即f ′(3)＝－1
9.
∵－14<－19
，
∴f ′(2)<f ′(3)，故选A. 答案：A
2．过曲线y ＝x 上的点(4,2)的切线方程是( ) A. x ＋4y ＋4＝0 B. x －4y －4＝0 C. x －4y ＋4＝0
D. x ＋4y －4＝0
解析：∵y ′＝(x )′＝1
2x ，
∴y ′| x ＝4＝124＝1
4.
∴切线的斜率k ＝1
4
.
∴所求的切线方程为y －2＝1
4(x －4)，
即x －4y ＋4＝0.故选C. 答案：C
3．曲线y ＝9
x
在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．135°
D ．120°
解析：y ′＝－9x 2，∴f ′(3)＝－9
3
2＝－1，∴切线的倾斜角为135°，故选C.
4．[2014·山西模拟]设函数f (x )＝g (x )＋x 2
，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－12
解析：本题主要考查导数的计算以及导数的几何意义等有关知识．由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4，故选A. 答案：A
5．已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范
围是( )
A.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π4
B.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫π4，π2
C.⎝
⎛⎦
⎥⎤π2，3π4
D. ⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫3π4，π
解析：本题主要考查导数的运算、几何意义、斜率与倾斜角的关系以及基本不等式等有关知识．
y ′＝－4e
x
e x
＋1
2
＝－4e x
＋2＋1e
x
≥－1，
即－1≤tan α<0，所以3π
4≤α<π.
答案：D
6．[2013·浙江高考]已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝
f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小，故选B.
答案：B 二、填空题
7．已知f (x )＝13x 3
＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.
解析：f ′(x )＝x 2
＋3f ′(0)，
令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12
＋3f ′(0)＝1.
8．设f (x )＝a ·e x
＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，则a ＋b ＝________.
解析：f ′(x )＝(a ·e x
＋b ln x )′＝a e x
＋b x
，
∴f ′(1)＝a e ＋b ＝e ，f ′(－1)＝a e －b ＝1
e
.
∴a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：1
9．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n
∈N *
，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2011⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＝__________.
解析：∵f 1′(x )＝cos x －sin x ，
∴f 2(x )＝cos x －sin x ，f 2′(x )＝－sin x －cos x . ∴f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 3′(x )＝－cos x ＋sin x . ∴f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 4′(x )＝sin x ＋cos x . ∴f 5(x )＝sin x ＋cos x .∴f 5(x )＝f 1(x )．不难得出f n (x )＝f n ＋4(x )，
∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2011⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2011⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2012⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－f 2012⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2 ＝503⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 1⎝
⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－f 2012⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＝503⎝
⎛
sin π
2＋cos π2＋cos π2－sin π2－sin
π2
⎭⎪⎫－cos π2－cos π2＋sin π2－f 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2＝－1. 答案：－1 三、解答题 10．(1)求曲线y ＝
2x
x 2
＋1
在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为s ＝
t －1t
2＋2t 2
，求t ＝3时的瞬时速度．
解：(1)y ′＝
2
x 2＋1－2x ·2x x 2＋12＝2－2x
2
x 2＋12
，
y ′|x ＝1＝
2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x
x 2＋1
在(1,1)处的切线方程为y ＝1.
(2)s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2
)′＝t 2
－2t t －1t 4
＋4t ＝－1t 2＋2t 3＋4t ， s ′|t ＝3＝－19＋2
27
＋12＝112627
.
11．路灯距地平面为8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C ，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v .
解：设路灯距地平面的距离为DC ，人的身高为EB .
设人从C 点运动到B 处路程为x 米，时间为t 秒，AB 为人影长度，设为y ，则∵BE ∥CD ，∴AB AC ＝BE CD .∴
y
y ＋x ＝1.68
. 又84 m/min ＝1.4 m/s ，∴y ＝14x ＝7
20t (x ＝1.4t )．
∴y ′t ＝7
20
.
∴人影长度的变化速率为7
20
m/s.
12．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2
ln x ＋b ，其中a >0.设两
曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在公共点处的切线相同．
(1)若a ＝1，求b 的值；
(2)试写出b 关于a 的函数关系式．
解：(1)y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，且f ′(x )＝x ＋2，g ′(x )＝3
x
，
所以f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
12
x 2
0＋2x 0＝3ln x 0＋b ，x 0
＋2＝3
x
.
由x 0＋2＝3
x 0
，得x 0＝1，或x 0＝－3(舍去)．
所以b ＝5
2
.
(2)y ＝f (x )(x >0)，y ＝g (x )(x >0) 在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，且f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a
2
x
，
所以f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧
12x 2
＋2ax 0
＝3a 2
ln x 0
＋b ，x 0
＋2a ＝3a
2
x
.
解得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)． ∴b ＝52a 2－3a 2
ln a (a >0)．。