高考数学总复习教案：合情推理与演绎推理

第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页

)

考情分析考点新知

能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了

解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎

推理的基本方法，并能运用它们进行一些简

单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系

和区别．

① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比

等进行简单的推理，了解合情推理在数学发

现中的作用.

②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的

基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

③了解合情推理和演绎推理之间的联系和

差异.

1. (选修12P35练习题4改编)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝⎝

⎛

⎭

⎫1

3x是指数函数(小前提)，所以y＝⎝

⎛

⎭

⎫1

3x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________.

答案：大前提错误

解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．

2. (选修12P35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________

________________________________________________________________________.

答案：每一个矩形的对角线相等(大前提)正方形是矩形(小前提)正方形的对角线相等(结论) 3. (选修12P29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.

答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

解析：等式右边的底数为左边的项数．

4. (选修12P29练习题3(2)改编)观察下列等式：

2

1＋2＝4；

2

1×2＝4；

3

2＋3＝

9

2；

3

2×3＝

9

2；

4

3＋4＝

16

3；

4

3×4＝

16

3；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为______________________．

答案：

n＋1

n＋(n＋1)＝

n＋1

n×(n＋1)(n∈N*)

解析：由归纳推理得

n＋1

n＋(n＋1)＝

n＋1＋（n2＋n）

n＝

（n＋1）2

n，

n＋1

n×(n＋1)＝（n＋1）2

n，所以得出结论

n＋1

n＋(n＋1)＝

n＋1

n×(n＋1)(n∈N*)．

5. 已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S＝

1

2×底×高，可得扇形的面积公式为________．

答案：12rl

1. 归纳推理

(1) 归纳推理的定义

从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图

实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论

(3) 归纳推理的特点

① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．

② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．

③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 2. 类比推理

(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理． (2) 类比推理的思维过程

观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论

3. 演绎推理

(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程． (2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S －M(S 是M)② S — P(S 是P)③

其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断． [备课札记]

题型1 归纳推理

例1 在各项为正的数列{an}中，数列的前n 项和Sn 满足Sn ＝12⎝⎛

⎭

⎫an ＋1an .

(1) 求a1，a2，a3；

(2) 由(1)猜想数列{an}的通项公式； (3) 求Sn.

解：(1) 当n ＝1时，S1＝12⎝⎛

⎭

⎫a1＋1a1，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵ a1>0，∴ a1＝1；

当n ＝2时，S2＝12⎝⎛

⎭

⎫a2＋1a2，即a22＋2a2－1＝0.

∵ a2>0, ∴ a2＝2－1.同理可得，a3＝3－ 2. (2) 由(1)猜想an ＝n －n －1.

(3) Sn ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练

已知数列{an}满足a1＝2，an ＋1＝1＋an

1－an (n ∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007

＝________． 答案：－1

2 3

解析：(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－12、a4＝1

3、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.

(解法2)由an ＋1＝1＋an 1－an ，联想到两角和的正切公式，设a1＝2＝tan θ，则有a2＝tan ⎝⎛⎭

⎫π4＋θ，

a3＝tan ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，a4＝tan ⎝⎛⎭

⎫3π4＋θ，a5＝tan(π＋θ)＝a1，….则a1·a2·a3·a4＝1，

故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.