黑龙江省大庆第一中学2020学年高二数学寒假开学检测试题 理
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学(理)试题
大庆实验中学2019-2020学年度下学期开学考试数学（理）试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.设a ，b ，c 为实数，且a ＞b ＞0，则下列不等式正确的是( )A.1a <1b B ．ac 2＜bc 2 C.b a >abD ．a 2＜ab 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72 3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( ) A ．20 B ．23 C ．24 D ．285.如图，O 是坐标原点，M ，N 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则|OM →＋ON →|的范围为( )A ．[0，2)B ．[0，2)C ．[1，2)D ．[1，2)6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里7.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对8.若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 9.已知函数f (x )＝3sin(π－x )cos(－x )＋sin(π＋x )cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭图象上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB →·AC →＝( )A ．9＋π29B ．9－π29C ．4＋π24D ．4－π2410.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 11.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.12.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)06,2πωφ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭.若函 数g (x )＝f (x )－m 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－1，1] B ．{－1}∪11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[－2，1)D ．{－2}∪(－1，1]二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知x >2，求f (x )＝2x ＋1x －2的最小值________．14.过点A(4，1)的圆C 与直线1x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____． 15.记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________． 16.在底半径为2，母线长为4柱的表面积__________.三．解答题（本题共6道大题，共70分）17.（本题10分）已知向量()()sin ,2,cos ,1a b θθ=-=． （1）若//a b ，求tan θ； （2）当,123ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()22f a b a b θ=--的最值. 18.（本题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为,n T 且11221,1,2a b a b =-=+=.(1)若335,a b +=求{}n b 的通项公式； (2)若321,T =求3S .19.（本题12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， S 是ABC ∆的面积， ()224S a b c =--，且6b c +=.（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.20.（本题12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 14与()21n a +的等比中项。
黑龙江省大庆2023-2024学年高二下学期开学质量检测试题 数学含答案
大庆高二年级寒假开学质量检测数学试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）1.已知集合{}|||3A x x =<，集合{}2|40B x x x =-<，则A B ⋃=（）A.()3,4- B.()0,3 C.()0,4 D.()3,42.下列所给的四个命题中，不是真命题的为A.两个共轭复数的模相等 B.z R z z ∈⇔=C.1212z z z z =⇔=± D.2z z z=⋅3.已知命题p ：x ∃∈R ，2210mx mx -+<是假命题，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.(]0,1C.()(),01,-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞+∞ 4.已知向量()()1,,1,1a m b ==-，且()a b b +⊥r r r ，则实数m =（）A.3B.12C.12-D.3-5.已知实数0a b >>，m R ∈，则下列不等式中成立的是（）A.b m ba m a +>+ B.11(()22ab<C.m m a b> D.22a b -->6.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()f x =（）A.e e 2x x -- B.e e 2x x -+C.e e 22x x x --- D.e e 22x x x --+7.下列说法正确的是（）A.函数1y x x=+的最小值是2B.函数4π()cos 0,cos 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于4C.若x ，R y ∈，则x yy x+的最小值2D.函数()33x x f x -=+的最小值是28.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.173B.375C.102D.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒10.已知数列{}n a 中，()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+，则能使13n a =-的n 可以为（）A.2021B.2022C.2023D.202411.已知函数()23sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π312.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.1D P 与AC 所成的角可能是π6C.1AP DC ⋅u u u r u u u u r是定值D.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为2三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，若222a b c +-=，2ab =，则cos C =____.14.若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =_________.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________.16.已知正三棱锥-P ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，若2PE EC =，且PA BE ⊥，则正三棱锥-P ABC 外接球的半径为____________．四、解答题（共6道大题，共70分）17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.19.已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x 的最小正周期为2，()f x 的一个零点是16．（1）求()f x 的解析式；（2）当[0,](0)x m m ∈>时，()f x 的最小值为12-，求m 的取值范围．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n n a b ⋅是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，设()01PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --5，求λ.22.如图所示：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于,C D 两点，交y 轴于点,,P PC CM PD DM λμ==.记ACD 的面积为S .（1）若离心率32e =，求椭圆E 的标准方程；（2）在（1）的条件下①求证：λμ+为定值；②求S 的取值范围；大庆高二年级寒假开学质量检测数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）1.已知集合{}|||3A x x =<，集合{}2|40B x x x =-<，则A B ⋃=（）A.()3,4- B.()0,3 C.()0,4 D.()3,4【答案】A 【解析】【分析】解不等式确定集合A 、B 后再求并集即可.【详解】∵{}{}|3|33A x x x x =<=-<<，{}(){}{}2|40|40|04B x x x x x x x x =-<=⋅-<=<<，∴{}()|343,4A B x x ⋃=-<<=-.故选:A.2.下列所给的四个命题中，不是真命题的为A.两个共轭复数的模相等 B.z R z z ∈⇔=C.1212z z z z =⇔=± D.2z z z=⋅【答案】C 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，根据已知中的条件，将z a bi =+代入，解关于a ，b 的方程，求出满足条件的a ，b 的值，可以判断出A ，B ，D 为真命题，举出反例说明，也可能1212z z z z =⇔=±不成立，即可判断C 错误，进而得到答案．【详解】对于A ，设(,)z a bi a b R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，||||z z ==模相等，故A 正确；对于B ，z R z z ∈⇔=，故B 正确；对于C ，例如11z i =+，2z =12||||z z =但不满足12=±z z ，故C 错误；对于D ，设(,)z a bi a b R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，此时，222||z z z a b =⋅=+，故D 正确.故选C.【点睛】本题考查的知识点是复数的基本概念，其中根据复数模的计算方法及复数的基本运算法则，设复数为z a bi =+代入各个选项，判断命题的真假是解答本题的关键．3.已知命题p ：x ∃∈R ，2210mx mx -+<是假命题，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.(]0,1C.()(),01,-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由命题p 的否定“x ∀∈R ，2210mx mx -+≥”为真命题求解．【详解】解：由题意，命题p 的否定“x ∀∈R ，2210mx mx -+≥”为真命题．当0m =时，10>恒成立；当0m ≠时，()2Δ240m m m >⎧⎪⎨=-≤⎪⎩，解得(]0,1m ∈．综上，[]0,1m ∈．故选：A ．4.已知向量()()1,,1,1a m b ==-，且()a b b +⊥r r r ，则实数m =（）A.3B.12C.12-D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.【详解】由()()()1,,1,12,1a m b a b m ==-⇒+=-.因为()a b b +⊥r r r ，所以()()()121103a b b m m +⋅=⨯+-⨯-=⇒=．故选:A.5.已知实数0a b >>，m R ∈，则下列不等式中成立的是（）A.b m ba m a +>+ B.11(()22ab<C.m m a b> D.22a b -->【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，及特殊值，逐一分析选项即可.【详解】对于A ：当0m =时，不成立，所以A 错误；对于B ：由指数函数1()2xy =图象与性质得，其在R 是减函数，0a b >> ，11()()22ab∴<，所以B 正确；对于C ：当0m =时，不成立，所以C 错误；对于D ：幂函数2y x -=在()0,+∞单调递减，而0a b >>，所以22a b --<，所以D 错误.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和幂函数的单调性应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.6.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()f x =（）A.e e 2x x -- B.e e 2x x -+C.e e 22x x x --- D.e e 22x x x --+【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()()e ()()e x x f x g x x f x g x x -⎧+=+⎨-+-=-⎩，由函数的奇偶性可得()()e ()()e x xf xg x xf xg x x-⎧+=+⎨-+=-⎩，解之即可求解.【详解】由题意知，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则()(),()()f x f x g x g x -=--=，所以()()e ()()e x x f x g x x f x g x x -⎧+=+⎨-+-=-⎩，即()()e ()()e x xf xg x xf xg x x -⎧+=+⎨-+=-⎩，解得e e 2()2x x x f x --+=.故选：D7.下列说法正确的是（）A.函数1y x x=+的最小值是2B.函数4π()cos 0,cos 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于4C.若x ，R y ∈，则x yy x+的最小值2D.函数()33x x f x -=+的最小值是2【答案】D 【解析】【分析】选项AC 可以取特殊值举反例；选项B 不符合取等号的条件；选项D 用基本不等式求得.【详解】对于A ，当=1x -时，11y x 122x 1=+=--=-<，故A 错误；对于B ，4()cos 4cos f x x x =+≥=，当且仅当4cos cos 2cos x x =⇒=±，不符合余弦函数的最值，故取不到等号，B 错误；对于C ，当1,1x y ==-时，1122x yy x+=--=-<，故C 错误；对于D ，()332x x f x -=+≥=，当且仅当330x x x -=⇒=时，取等号，故D 正确；故选：D8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.3B.5C.2D.【答案】B 【解析】【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出12,BF BF ，进而利用勾股定理可得,a c 的关系，从而可求出结果.【详解】由题意知延长,CA DB 则必过点1F ,如图：由双曲线的定义知121222AF AF aBF BF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，又因为5cos 13BAC ∠=-，所以15cos 13F AB ∠=，因为0AB BD ⋅=，所以AB BD ⊥，设113,0AF m m =>，则15,12AB m BF m ==，因此22132122AF m aBF m a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而由22AF BF AB +=得1321225m a m a m -+-=，所以5a m =，则1125BF a =，225BF a =，122F F c =，又因为2221212BF BF F F +=，所以()222122255a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223725a c =，即5e =，故选：B.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒【答案】ABC 【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.【详解】对于A ，当直线的倾斜角为90︒时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，当直线的倾斜角为45︒时，斜率为1，当直线的倾斜角为135︒时，斜率为1-，故B 错误；对于C ，若一条直线的倾斜角为90α=︒，则该直线的斜率不存在，故C 错误；对于D ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角是90︒，当直线与y 轴垂直时，直线的倾斜角是0︒，即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒，故D 正确.故选：ABC.10.已知数列{}n a 中，()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+，则能使13n a =-的n 可以为（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】AD 【解析】【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于13-的项.【详解】()*11N 1n n a n a +=-∈+ 211111111111n nn n n n n a a a a a a a ++++∴=-=-=-=-+-++-++又32111111n n nn n n n na a a a a a a a ++=-=-=-=++--+-+{}n a ∴是以3为周期的周期数列.又因为12a =，所以211113a a =-=-+，故13n a =-时()23Z n k k =+∈经检验A D 都符合.故选：AD11.已知函数()23sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B ，求出()f x 后利用对称中心点的计算即可判断；对于C ，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D ，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于y 轴对称进行判断即可.【详解】因为()2333π33sin cos 222262f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-+-⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；当π12x =-时，26π0x -=，所以函数()f x 的图象关于点π,122⎛-- ⎝⎭对称，B 正确；易知函数()f x 的定义域为R ，又()ππ2266f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π26x f x ⎛⎫≠+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 不是偶函数，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后得到的图象对应的函数为()()ππ2226262g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++-=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意，函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ，即ππ26k ϕ=+，k ∈Z ，当1k =时，ππ2π263ϕ=+=，故D 正确．故选：ABD12.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.1D P 与AC 所成的角可能是π6C.1AP DC ⋅u u u r u u u u r是定值 D.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为2【答案】AC 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助数量积公式与点平面距离公式逐项计算即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()10,0,3D 、()3,0,0A 、()3,3,0B 、()13,3,3B 、()13,0,3A 、()0,3,0C 、()10,3,3C 、则()10,3,3AB = ，()10,3,3A B =-，()3,3,0AC =- ，()113,0,0D A =，()10,3,3DC =，设11A P A B λ=，()0,1λ∈，则()10,3,3A P λλ=- ，()11113,3,3D P D A A P λλ=+=- ，故()110333330D P AB λλ⋅=⨯+⨯+⨯-=，即11D P AB ⊥，故A 正确；若1D P 与AC 所成的角可能为π6，则存在()0,1λ∈，使得1π3cos ,cos 62D P AC ==成立，即111cos ,2D P AC D P AC D P AC⋅==⋅，化简得24410λλ++=，即12λ=-，由()0,1λ∈，故舍去，即1D P 与AC 所成的角故可能是π6，故B 错误；()110,3,33AP AA A P λλ=+=-，故()193339AP DC λλ⋅=+-=，故C 正确；当12A P PB =时，有1123A P A B = ，故()0,2,1AP = ，()13,0,3D A =-，设平面1D AP 的法向量为(),,m x y z =，则有20330y z x z +=⎧⎨-=⎩，令2x =，则有()2,1,2m =- ，则点1C 到平面1D AP 的距离11DC m d m ⋅===，故D 错误.故选：AC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C的对边，若222a b c +-=，2ab =，则cos C =____.【答案】22【解析】【分析】由余弦定理代入求解即可.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，则2222cos a b c ab C +-==，又2ab =，所以cos C=2，故答案为：2.14.若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =_________.【答案】36【解析】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得.【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，由221:430C x y x +-+=可得()2221x y -+=，即该圆以()2,0为圆心，1为半径，圆222:(2)(3)C x y m +++=，圆心为()2,3--，51==-且0m >，解得36m =.故答案为：36.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________.【答案】2p =【解析】【详解】试题分析：有2,ce a==得2,,c a b ==所以双曲线的渐近线为.y =又抛物线的准线方程为,2px =-联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得,,,.2222p p A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在AOB ∆中，,AB =O 到AB 的距离为2p .1222AOB pS p ∆=∴⋅== .考点：双曲线与抛物线的几何性质.16.已知正三棱锥-P ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，若2PE EC =，且PA BE ⊥，则正三棱锥-P ABC 外接球的半径为____________．【答案】62【解析】【分析】据题意，根据线面垂直的判定定理，可证得BC ⊥面PAG ，进而证明PA ⊥面PBC ，由此可得到,,PA PB PC 两两垂直，将三棱锥补形成正方体，即可求出外接圆半径.【详解】设正三棱锥-P ABC 的底面中心为点O ，连接PO ，则PO ⊥面ABC ，连接AO 并延长，交BC 于点G ，连接PG ，如图所示，因为底面ABC 是正三角形，则G 为BC 的中点，PG BC ⊥，AG BC ⊥，又PG AG G ⋂=，PG ⊂面PAG ，AG ⊂面PAG ，所以BC ⊥面PAG ，又因为PA ⊂面PAG ，所以BCPA ⊥，又因为PA BE ⊥，BC BE B = ，因为2PE EC =，所以E PC ∈，故BE ⊂面PBC ，又因为BC ⊂面PBC ，所以PA ⊥面PBC ，因为PB ⊂面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以,PA PB PA PC ⊥⊥，因为三棱锥-P ABC 是正三棱锥，且底面ABC 是边长为2的正三角形，所以,,PA PB PC 两两垂直，且PA PB PC ===将其补形成棱长为正方体，如图：所以正三棱锥-P ABC 外接球的半径为1622==.故答案为：2【点睛】方法点睛：求几何体外接球半径或体积（表面积），常用方法有：补形法，利用射影定理，建立空间直角坐标系.四、解答题（共6道大题，共70分）17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯.【解析】【分析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）124,,a a a 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224na nnn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列，()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.【答案】（1）0.030a =（2）84分钟（3）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解.（2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解.（3）先根据分层抽样的方法确定位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以()0.01020.0250.0200.005101a ⨯++++⨯=，解得0.030a =.【小问2详解】因为成绩落在[)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=，落在[)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=，所以第75百分位数落在[)80,90.设第75百分位数为m ，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，故第75百分位数为84，所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟.【小问3详解】由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[70,80)的人数为1000.330⨯=，阅读时间位于[]90,100的人数为1000.110⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[70,80)有3人，设为1b ，2b ，3b ，位于区间[90,100)有1人，设为c .则从5人中任取3人，样本空间()()()()()()()()()(){}121312323123121323Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b c a b b a b c a b c b b b b b c b b c b b c =共含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅读时间在[70,80)”，()()()()()(){}121323121323,,,,,,,,,,,,,,,,A a b b a b b a b b b b c b b c b b c =，，含有6个样本点.所以63()105P A ==，所以恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率为35.19.已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x 的最小正周期为2，()f x 的一个零点是16．（1）求()f x 的解析式；（2）当[0,](0)x m m ∈>时，()f x 的最小值为12-，求m 的取值范围．【答案】（1）π()sin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题设中周期求得ω，再由零点条件可求ϕ，即得函数解析式；（2）由x 的范围求出整体角ππ6x -的范围ππ,π66m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象，依题意须使π7ππ66m -≤，解之即得m 的取值范围.【小问1详解】由题知2π2T ω==，所以πω=．又因为1πsin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ6k ϕ+=，Z k ∈，即：ππ6k ϕ=-+，Zk ∈又ππ22ϕ-<<，则π6ϕ=-，所以π()sin π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为π()sin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[0,]x m ∈，令ππππ,π666t x m ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，因为sin y t =在ππ,π(0)66m m ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，如图，可知须使π7ππ66m -≤，解得43m ≤，所以m 的取值范围是40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n n a b ⋅是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n n a =，212n nn b -=（2）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由n S 与n a 的关系式易得关于通项的递推式()122n n a a n -=≥，根据等比特征求出通项，代入{}n n a b ⋅的通项可求出n b ；（2）因212n nn b -=属于“差比数列”，运用错位相减法可求得n T ，由3n T λ≥-恒成立，即232n n λ+≥恒成立，利用数列的函数思想，求函数()*23,N 2nn f n n +=∈的最大值即可.【小问1详解】当1n =时，1122a a =-，解得12a =．当2n ≥时，1122,22n n n n S a S a --=-=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，故2n n a =．又()12121n n a b n n ⋅=+-=-，故21212n nn n n b a --==．【小问2详解】因为212n n n b -=，所以23135212222-=++++ n n n T ①，234111352122222+-=++++ nn n T ②，①-②得:21111111111211121323122222222222n n n n n n n n n T -+-++--+⎛⎫⎛⎫=++++-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．所以2332n nn T +=-．不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，转化为232nn λ+≥对一切*n ∈N 恒成立．令()*23,N 2nn f n n +=∈，()()()12110,2n n f n f n f n +--+-=<单调递减，()max5()12f n f ==52λ∴≥所以实数λ的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，设()01PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --5，求λ.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=【解析】【分析】（1）根据四边形AECB 为平行四边形可得12CE AD =，知AC CD ⊥，由面面垂直和线面垂直性质可得AC PD ⊥，结合PD PC ⊥可证得结论；（2）以C 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得λ.【小问1详解】取AD 中点E ，连接AC ，CE ，// AD CB ，AE CB =，∴四边形AECB 为平行四边形，AB CE ∴=，又12AB AD =，12CE AD ∴=，AC CD ∴⊥， 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，AC PD ∴⊥，90CPD ∠= ，即PD PC ⊥，又AC PC C = ，,AC PC ⊂平面PCA ，PD ∴⊥平面PCA .【小问2详解】取CD 中点F ，连接PF ，PC PD = ，PF CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PF ⊂平面PCD ，PF ∴⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，,CD CA正方向为,x y 轴正方向，作z 轴平行于直线PF ，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,A，P，()0,0,0C，()D，(PA ∴=，()CD =，CP =，(),PQ PA λ∴==，)CQ CP PQ ∴=+=，设平面CDQ 的法向量(),,n x y z =，则))00CD n CQ n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y λ=-，解得：0x =，2z λ=，()0,1,2n λλ∴=-；平面PCD y ⊥轴，∴平面PCD 的一个法向量()0,1,0m =，cos ,5m n m n m n⋅∴==⋅，解得：12λ=，满足01λ<<，12λ∴=.22.如图所示：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于,C D 两点，交y 轴于点,,P PC CM PD DM λμ==.记ACD 的面积为S .（1）若离心率32e =，求椭圆E 的标准方程；（2）在（1）的条件下①求证：λμ+为定值；②求S 的取值范围；【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②330,2⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解,,a b c 的值，（2）联立直线方程与椭圆方程得韦达定理给，结合向量的坐标运算即可求解83λμ+=-，由弦长公式，结合对勾函数的单调性即可求解面积的范围.【小问1详解】由题意可知322,c b e a ===222a b c =+，所以2,1a b ==，故椭圆方程为：2214x y +=【小问2详解】由（1）得2214x y +=，依题意，直线l 不垂直于坐标轴，①设直线:1,0l x ty t =-≠，设()()1122,,,C x y D x y ，由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：()224230t y ty +--=，则12122223,44t y y y y t t +==-++，由PC CM λ= 得()111y y tλ-=-，即111ty λ=-+，而PD DM μ=，同理211ty μ=-+，因此，2121212221184222334ty y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+，所以83λμ+=-为定值.②()()222212121212222212434444t t y y y y y y y y t t t +⎛⎫-=-=+-+ ⎪+++⎝⎭，由()2,0A ，则有212222163612433t S AM y y t t t +=⋅-==+++，令233u t =+>1y u u=+在)3,+∞22333t t +>+3302S <<，所以S 的取值范围是330,2⎛ ⎝⎭.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
黑龙江省大庆第一中学2018_2019学年高二数学寒假开学检测试题文
黑龙江省大庆第一中学2018-2019学年高二数学寒假开学检测试题文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，则A. 的实部为B. 的虚部为C. 的虚部为D. 的共轭复数为2. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取人，从女生中任意抽取人进行调查．这种抽样方法是A. 简单随机抽样法B. 抽签法C. 随机数表法D. 分层抽样法3. 按数列的排列规律猜想数列的第项是4. 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为A. B. C. D.5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则6. “”是“方程表示的图形为双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，在一个棱长为的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是A. B. C. D.8. 从分别写有，，，，的个乒乓球中，任取个，这个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为A. B. C. D.9. 按下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为A. B. C. D.10. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A. B. D.11. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时间段，他们每人各做一项工作，一人查资料，一人写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面种说法都是正确的：① 甲不在查资料，也不在写教案；② 乙不在打印材料，也不在查资料；③ 丙不在批改作业，也不在打印材料；④ 丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断A. 甲在打印材料B. 乙在批改作业C. 丙在写教案D. 丁在打印材料12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．14. 已知圆上任意一点处的切线方程为，类比以上结论：双曲线上任意一点处的切线方程为．15. 若对，，有恒成立，则的取值范围是．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为三、解答题（共6小题；共70分）17. 当为何值时，复数是（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?18. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老年人，结果如下：附：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?19. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．20. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（1）求关于的回归方程；（2）用所求回归方程预测该地区年（）的人民币储蓄存款．附：回归方程中，，．21. 已知抛物线经过点，，是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若，求面积的最小值．22. 设，分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．高二数学文科暑假作业检测试卷----答案第一部分1. C2. D3. C4. B5. D6. A7. D8. A9. C 10. A 11. A 【解析】由题可知，题中个命题都正确，将个命题以图标形式呈现：“如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料”它的逆否命题是，“若丙在查资料，则甲在打印材料”．结合图及最后一个命题，可以推断出，丙在查资料，乙在写教案，丁在批改作业，甲在打印材料．12. D第二部分13. 一个三角形至多有一个锐角14.【解析】由圆上任意一点为，把圆的方程中的，替换为，，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线上任意一点为，则有切线方程为．【解析】因为，，所以，当且仅当即时取等号，所以．【解析】由双曲线定义知，又已知，所以，在中，由余弦定理得，要求的最大值，即求的最小值，因为，所以，解得，即的最大值为第三部分17. （1）由题意知所以．故当时，复数为实数．（2）由题意得即所以或且．故当或且时，为虚数．（3）由题意得所以所以或．故当或时，复数为纯虚数．18. （1）．（2），有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．19. （1）由频率分布直方图，可知：月均用水量在的频率为．同理，在，，，等组的频率分别为，，，，，．由解得．（2）由（1）知，位居民月均用水量不低于吨的频率为，由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为．（3）设中位数为吨．因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以．由，解得．故可估计居民月均用水量的中位数为吨．20. （1）列表计算如下：这里．又，，从而，，故所求回归方程为．（2）将代入回归方程可预测该地区年的人民币储蓄存款为（千亿元）．21. （1）由抛物线经过点知，解得．则抛物线的方程为．抛物线的焦点坐标为，准线方程为．（2）由题知，直线不与轴垂直，设直线，由消去，得．设，，则，．因为，所以，即，解得（舍）或．所以，解得．所以直线．所以直线过定点．当且仅当，或，时，等号成立．所以面积的最小值为．22. （1）易知，，，所以，，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立消去，整理得，所以由得又所以又因为，即，所以。
2019-2020学年黑龙江省大庆高二上学期开学考试数学（理）试题
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc <C ．b a a b> D ．2a ab <【答案】A【解析】对于A 选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B 可举出特例；C 原式等价于22b a >不正确；D 等价于a<b ，不合题意. 【详解】设,,a b c 为实数，且0a b >>，构造函数1y x =在x>0时是减函数，故11a b<,故A 正确；当c=0时，22ac bc =，故B 不正确；C. b aa b>等价于22b a >，不合题意；D.2a ab <等价于a<b,不合题意. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了不等式的大小关系的判断，一般比较大小的题目，可以通过不等式的性质来判断大小，也可通过代特值，排除选项；也可构造函数，通过函数的单调性得到大小关系.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =( ) A ．20 B ．23C ．24D ．28【答案】D【解析】将已知条件转化为1a d ,的形式，列方程组，解方程组求得1a d ,的值，进而求得10a 的值. 【详解】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得18,4a d =-=，故101983628a a d =+=-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1a d ,、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a d ,，进而求得数列其它的一些量的值.5．如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +|的范围为( )A ．)B ．[0,2)C ．)D ．[1,2) 【答案】A【解析】设OM ON 和的夹角为θ，θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，则cosθ∈[﹣1，0），|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON =2+2cosθ即可． 【详解】设,OM ON 的夹角为θ,θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦,则cos θ∈[-1,0),|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON =2+2cos θ∈[0,2),故|OM ON +|的范围为). 答案A 【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．192里 B ．48里C ．24里D ．96里【答案】B【解析】由题意可得每天所走的步数构成公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式列方程求出首项，进而可得第三天的步数. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为12的等比数列，∴ 由等比数列的求和公式可得：61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得：1192a =， ∴22311192()482a a q ==⨯=，故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，关键是要理解题目的意思，是基础题. 7．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125πD ．都不对【答案】B【解析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =解得2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．若在ABC 中，()()()2sin sin sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为C A B 、、是三角形的内角，所以有180A B C ︒+=-，即()sin sin A B C +=，再通过三角变换解得cos 0B =，最终得出结果．【详解】()()()2sin sin sin A B A B C +-=，()()()2sin sin sin A B A B A B ⎡⎤+-=+⎣⎦， ()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦， ()()()sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤⎡⎤++--=⎣⎦⎣⎦， ()sin sin cos 0A B A B ⎡⎤+=⎣⎦，因为()sin A B +与sin A 不为0，所以cos 0B =， 即90B ︒=，故选B ． 【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦中的()sin A B +不可以直接消去，要考虑到()sin 0A B +=的情况．9．已知函数f (x )sin(π-x )cos(-x )+sin(π+x )cos π-2x ⎛⎫⎪⎝⎭图象上的一个最低点为A ,离A 最近的两个最高点分别为B 与C ,则·AB AC =( )A ．9+2π9B ．9-2π9 C ．4+2π4D ．4-2π4【答案】D【解析】由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x+π6）﹣12，结合正弦函数图像特点可得A 、B 、C 的坐标，可得向量的坐标，计算可得． 【详解】f (x )sin x cos x-sin 2x=2·sin 2x-1-cos22x2=x+12cos 2x-12=sin π1262x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,因此f (x )最大值为12,最小值为-32. 设A 03,-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则B 0π1-,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C 0π1,22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 于是ππ-,2,,222AB AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故·AB AC =4-2π4.故答案为D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.10．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
大庆XX中学2020—2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案
大庆XX中学2020—2021学年高二上学期开学考试数学试题含答案数学试题试卷说明：1、本试卷满分150 分，答题时刻120 分钟。
2、请将答案直截了当填涂在答题卡上，考试终止只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)：1.过点P（2，-1）且倾斜角为的直线方程是（）A.x-y+1=0B.x-2y--2=0C.x-y-3=0D.x-2y++1=02.已知a＞b，则下列不等式正确的是（）A.ac＞bcB.a2＞b2C.|a|＜|b|D.2a＞2b3.函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范畴是（）A.（0，4）B.[0，4）C.[0，4]D.（0，4]4.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sin C=4sin A，cos B=，则△ABC 的面积为（）A.1B.C.2D.5.已知平面α⊥平面β，直线m，n均不在平面α、β内，且m⊥n，则（）A.若m⊥β，则n∥βB.若n∥β，则m⊥βC.若m⊥β，则n⊥βD.若n⊥β，则m⊥β6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（）A.8B.8+4C.4+2D.2+7.设数列{a n}是等比数列，且a n＞0，S n为其前n项和．已知a2a4=16，，则S5等于（）A.40B.20C.31D.438.设等差数列{a n}的前n项为S n，已知S13＞0，S14＜0，若a k•a k+1＜0，则k=（）A.6B.7C.13D.149.在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若==，则△ABC是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.任意三角形D.等腰直角三角形10.已知点A（a，2）到直线l：x-y+3=0距离为，则a等于（）A.1B.±1C.-3D.1或-311.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则AD1与平面BB1D1所成角的正弦值为（）A. B. C. D.12.入射光线沿直线x-2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.2x+y+3=0D.2x-y+3=0二、填空题（本大题共四个小题，每题5分，共20分）：13. 在△ABC中，，A=120°，则角B的大小为______ ．14. 已知实数x，y满足，则z=3x-y的最大值为______ ．15、已知函数，则f（x）取最小值时对应的x的值为______ ．16．若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范畴是 ______ ．三、解答题（共六道大题，总分70分）：17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2b-c）cos A-acos C=0（1）求角A．（2）若边长a=，且△ABC的面积是，求边长b及c．18.（本小题满分12分）如图，空间几何体的底面是直角梯形，，，，平面，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19、已知数列{a n}的前n项和S n，满足：S n＝2a n－2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项a n；(2)若数列{b n}满足b n＝log2(a n＋2)，T n为数列{b na n＋2}的前n项和，求T n20．如图，游客从某旅行景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲动身2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车内与甲的距离最短？21.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60 且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）（理）求二面角A-BC-P 的余弦值． （文）求异面直线PC 与AD 的夹角的余弦值22.在数列 中， ，当 时，满足 ．（Ⅰ）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；（Ⅱ）令 ，数列的前 项和为 ，求使得 对所有都成立的实数的取值范畴．参考答案1-5 CDBBB6-10 CCBDD11-12 AB13.30°14.1015.-116.[-1，1]17.解：（1）△ABC中，∵（2b-c）cos A-acos C=0，∴由正弦定理得（2sin B-sin C）cos A-sin A cos C=0，------（2分）∴2sin B cos A=sin（A+C）=sin B，---------（3分）∵sin B≠0，∴2cos A=1，∴cos A=0.5，∴A=60°．---------（5分）（2）由△ABC的面积是=，∴bc=3．再由a2=b2+c2-2bc•cos A，可得b2+c2=6．解得b=c=．18. （1）证明：设线段AD的中点为Q，连接PQ，BQ，则在△MAD中，PQ为中位线，故PQ∥MD，又PQ平面MCD，MD平面MCD，因此PQ∥平面MCD.在底面直角梯形ABCD中，QD∥BC且QD=BC，故四边形QBCD为平行四边形，故QB∥DC，又QB平面MCD，DC平面MCD，因此QB∥平面MCD.又因为PQ∩QB=Q，因此平面PQB∥平面MCD，又PB平面PQB，因此PB∥平面MCD.（2）解：因为MA⊥平面ABCD，因此MA⊥DC，因为∠ADC=90°，因此AD⊥DC，又因为MA∩AD=A，因此DC⊥平面MAD，,，因此三棱锥P-MCD的体积为.19. a n ＝2n ＋1－2(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1， ∴b na n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝14＋141－12n1－12－n ＋12n ＋2＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1， 20．解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，因此sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．因此索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙动身t min 后，甲、乙两游客距离为d ，现在，甲行走了(100＋50t ) m ，乙距离A 处130t m ，因此由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．21.解：（1）证明：连接BD ，∵底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，∴△ABD 为等边三角形又G 为AD 的中点，∴BG⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，BG ⊂平面ABCD ．∴BG⊥平面PAD （2）（理）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB又BG⊥AD，AD∥BC∴BG⊥BC∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角在R t△PBG中，PG=BG，2 cosθ=（文）由AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB5cos5θ=22. （Ⅰ）证明：两边同除以得，即数列是等差数列，首项，公差，，；（Ⅱ）解：由题意，即关于所有都成立，设即，函数在上是减函数，在上是增函数，故数列从第二项起递减，而，，满足题意的实数的取值范畴为.。
黑龙江省大庆第一中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年度高二数学上学期期末考试试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率（）A. B. C. D.2.总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表以下选取了随机数表中的第1行和第2行选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（）A. 05B. 09C. 07D. 203.已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1， 3，1），则（）A. 与是共线向量B. 的单位向量是1，C. 与夹角的余弦值是D. 平面ABC的一个法向量是4.用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x-8在x=-4时的值，V2的值为（）A. B. 220 C. D. 345.在一次数学竞赛中，高一•1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1-30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73，90]上的学生人数为（）A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B.C. D.7.在正方体中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱、的中点，则直线（）A. 和AC、MN都垂直B. 垂直于AC，但不垂直于MNC. 垂直于MN，但不垂直于ACD. 与AC、MN都不垂直8.下列有关命题的说法错误的是（）A. 若“”为假命题，则p，q均为假命题B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的必要不充分条件是“”D. 若命题p：，，则命题：，9.如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D，则|AB|·|CD|的值是（）A. 8B. 4C. 2D. 110.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A.求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B.求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C.求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D.求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和11.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A. B.C. D.12.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若的一条渐近线是线段的中垂线，则（）A. 2B.C. D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：9075 9660 1918 9257 2716 9325 81214589 5690 68324315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为______ ．14.已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于_______．15.在棱长为2的正方体△ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N的距离为__________.16.以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；②点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；④若过点C（1，1）的直线l交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是其中真命题的序号是______ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．18.移动公司为提升其文化品牌，特地从国外进口了某种音响设备，该设备的使用年限x i(年)与所支出的维修费y i(万元)的数据如下表：(Ⅰ)求所支出的维修费y对使用年限的线性回归方程；(Ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？(附：在线性回归方程中，，；其中，为样本平均值．)19.已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|=8，求k的值．20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC．（1）证明：A1O⊥平面ABC；（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．21.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．22.设椭圆的离心率为，左顶点到直线x+2y-2=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．答案和解析一、选择题1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】D 10.【答案】C11.【答案】B 12.【答案】A二、填空题13.【答案】0.35 14.【答案】4 15.【答案】 16.【答案】②④⑤三、解答题17.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人，设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．18.【答案】解：（Ⅰ）经计算，，又，故线性回归方程为．（Ⅱ）当使用年限为年时，支出的维修费估计为万元．19.【答案】解：（1）∵圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等，∴圆心M的轨迹为抛物线，且，解得p=2，∴圆心M的轨迹方程为x2=4y；（2）联立消去y并整理，得x2-4kx+8=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=8，，解得，结合已知得．=A1C，且O为AC的中点，20. 【答案】（1）证明：∵AA∴A1O⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC；（2）解：如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），，平面A1BC1的法向量为，则有，所以的一组解为，设直线AB与平面A1BC1所成角为α，则sinα=又∵===，所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值：．21.【答案】证明：，，，，E为AD的中点，，≌，，，，，平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知∽，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，同理得平面CPD的一个法向量，二面角的余弦值是，∴|cos＜＞|===，由，解得，22.【答案】解：（Ⅰ）由已知，）因为故所求椭圆的方程为;（Ⅱ）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知x1=x2，y1=-y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为②当直线l的斜率存在时，设其方程为l：y=kx+m．联立得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0所以，由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且故化简得5m2=4（1+k2），故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值法二：（若设直线方程为l：x=my+c，也要对直线斜率为0进行讨论）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点A（x1，y1）在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为l：x=my+c．联立得：（m2+4）y2+2cmy+c2-4=0所以，故，即,所以,所以,化简得5c2=4（1+m2），故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1; 当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，由得，同理故令1+k2=t（t＞1），则故综上，△AOB面积S的最小值为．法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，5m2=4（1+k2），且点O到直线AB的距离为，=故，令1+4k2=t（t≥1），则，因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．。
黑龙江省大庆第一中学2018_2019学年高二数学寒假开学检测试题文
黑龙江省大庆第一中学2018-2019学年高二数学寒假开学检测试题文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知复数，则A. 的实部为B. 的虚部为C. 的虚部为D. 的共轭复数为2. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取人，从女生中任意抽取人进行调查．这种抽样方法是A. 简单随机抽样法B. 抽签法C. 随机数表法D. 分层抽样法3. 按数列的排列规律猜想数列的第项是4. 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为A. B. C. D.5. 下列命题，正确的是A. 命题“，使得”的否定是“，均有”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若，则”的逆否命题是真命题D. 命题“若，则”的否命题是“若，则6. “”是“方程表示的图形为双曲线”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，在一个棱长为的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是A. B. C. D.8. 从分别写有，，，，的个乒乓球中，任取个，这个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为A. B. C. D.9. 按下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为A. B. C. D.10. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A. B. D.11. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时间段，他们每人各做一项工作，一人查资料，一人写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面种说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断A. 甲在打印材料B. 乙在批改作业C. 丙在写教案D. 丁在打印材料12. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 用反证法证明"一个三角形至少有两个锐角"，则反设是．14. 已知圆上任意一点处的切线方程为，类比以上结论：双曲线上任意一点处的切线方程为．15. 若对，，有恒成立，则的取值范围是．16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为三、解答题（共6小题；共70分）17. 当为何值时，复数是（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数?18. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了位老年人，结果如下：附：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?19. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．20. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（1）求关于的回归方程；（2）用所求回归方程预测该地区年（）的人民币储蓄存款．附：回归方程中，，．21. 已知抛物线经过点，，是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若，求面积的最小值．22. 设，分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．高二数学文科暑假作业检测试卷----答案第一部分1. C2. D3. C4. B5. D6. A7. D8. A9. C 10. A 11. A 【解析】由题可知，题中个命题都正确，将个命题以图标形式呈现：“如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料”它的逆否命题是，“若丙在查资料，则甲在打印材料”．结合图及最后一个命题，可以推断出，丙在查资料，乙在写教案，丁在批改作业，甲在打印材料．12. D第二部分13. 一个三角形至多有一个锐角14.【解析】由圆上任意一点为，把圆的方程中的，替换为，，则得到圆的切线方程；类比这种方式，设双曲线上任意一点为，则有切线方程为．【解析】因为，，所以，当且仅当即时取等号，所以．【解析】由双曲线定义知，又已知，所以，在中，由余弦定理得，要求的最大值，即求的最小值，因为，所以，解得，即的最大值为第三部分17. （1）由题意知所以．故当时，复数为实数．（2）由题意得即所以或且．故当或且时，为虚数．（3）由题意得所以所以或．故当或时，复数为纯虚数．18. （1）．（2），有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．19. （1）由频率分布直方图，可知：月均用水量在的频率为．同理，在，，，，等组的频率分别为，，，，，．由解得．（2）由（1）知，位居民月均用水量不低于吨的频率为，由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为．（3）设中位数为吨．因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以．由，解得．故可估计居民月均用水量的中位数为吨．20. （1）列表计算如下：这里．又，，从而，，故所求回归方程为．（2）将代入回归方程可预测该地区年的人民币储蓄存款为（千亿元）．21. （1）由抛物线经过点知，解得．则抛物线的方程为．抛物线的焦点坐标为，准线方程为．（2）由题知，直线不与轴垂直，设直线，由消去，得．设，，则，．因为，所以，即，解得（舍）或．所以，解得．所以直线．所以直线过定点．当且仅当，或，时，等号成立．所以面积的最小值为．22. （1）易知，，，所以，，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立消去，整理得，所以由得又所以又因为，即，所以。
黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学(文)试题(解析版)
黑龙江省大庆第一中学高二寒假开学检测数学（文）试题一、单选题1．已知复数21iz=-+，则（）.A．z的实部为1 B．z的虚部为i-C．z的虚部为-1 D．z的共轭复数为1i+【答案】C【解析】利用复数的运算法则，虚部的定义即可得出．【详解】解：复数22(1)11(1)(1)iz ii i i+===---+--+，z∴的虚部为1-．故选：C．【点睛】本题考查了复数的除法运算法以及虚部的定义，属于基础题．2．一支田径队有男运动员560 人，女运动员420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取16 人，从女生中任意抽取12 人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法【答案】D【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【详解】总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：3，所抽取的比例也是16：12＝4：3．故选D．【点睛】本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．3．数列23，45-，67，89-，…的第10项是( )A．1617-B．1819-C．2021-D．2223-【答案】C【解析】分析：由数列2468,,,, (3579)--，可知奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数2(n n 为项数），分母比分子大1，即可得到通项公式. 详解：由数列2468,,,, (3579)--， 可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号， 而分子为偶数2(n n 为项数），分母比分子大1， 故可得到通项公式()12121n n na n +=-⋅+， ()1110202012121a =-⋅=-，故选C. 点睛：本题主要考查归纳猜想得出数列的通项公式，属于基础题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.4．已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(35)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：将圆的方程22680x y x y +--=化为标准方程得()()222345x y -+-=，过点(35)，的最长弦为直径，所以2510AC =⨯=；最短的弦为过点(35)，且垂直于该直径的弦，所以BD ==AC BD ⊥，四边形ABCD 面积111022S AC BD =⋅=⨯⨯=，故选B ． 【考点】1、圆的标准方程；2、对角线垂直的四边形面积．5．下列命题，正确的是（ ）A ．命题“0x R ∃∈，使得2010x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x ->”B ．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C ．命题“若22x y =，则x y =”的逆否命题是真命题D ．命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠” 【答案】D【解析】对于选项A,正确的是“,x R ∀∈ 均有210x -≥”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B 错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C 错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D.点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答.6．“k ＞9”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0，方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0，方程也表示双曲线．∴“k ＞9”是“方程22194x y k k +=--表示双曲线”的充分不必要条件．选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．7．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）A ．π14-B ．π12C ．π4D ．π112-【答案】A 【解析】【详解】由题意,正方形的面积为22=4.圆锥的底面面积为π. 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1-π4. 故选A .8．从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（ ）. A ．25B ．15C ．35D ．310【答案】A【解析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有4个，由此能求出这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率． 【详解】解：从分别写有a ，b ，c ，d ，e 的5个乒乓球中，任取2个， 基本事件总数2510n C ==，这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：ab ，bc ，cd ，de ，共4个，∴这2个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为42105p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．按下面的程序框图，若输入的253a =，161b =，则输出的结果为（ ）.A ．92B ．46C ．23D ．1【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得253a =，161b =满足条件a b ¹，92r =，满足条件r b <，161a =，92b = 满足条件a b ¹，69r =，满足条件r b <，92a =，69b = 满足条件a b ¹，23r =，满足条件r b <，69a =，23b = 满足条件a b ¹，46r =，此时，不满足条件r b <，23a b ==，退出循环，输出b 的值为23． 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．115D ．3716【答案】A【解析】直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线．由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min＝4065-+＝2．11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 312PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP 斜率为36得，222312tan sin cos 1313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以22211313=4,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+-∠⋅-⋅，故选D. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题12．用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”，则反设是__________. 【答案】一个三角形至多有一个锐角【解析】利用“至少有两个”的反面是“至多有一个”即可判定． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角“，则反设是一个三角形至多有一个锐角．故答案为：一个三角形至多有一个锐角． 【点睛】本题考查了反证法的证明步骤，及“至少有两个”的否定，属于基础题．13．已知圆222x y r +=上任意一点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=，类比以上结论：双曲线22221x y a b-=上任意一点()00,x y 处的切线方程为__________.【答案】00221x x y ya b-= 【解析】由过圆222x y r +=上一点的切线方程200x x y y r +=，我们不难类比推断出过双曲线上一点的切线方程：用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，即可得． 【详解】解：圆：222x y r +=上任意一点0(x ，0)y 处的切线方程为：200x x y y r +=．可以看作是圆的方程中的用0x x 代2x ，用0y y 代2y 而得． 故类比过圆上一点的切线方程，可合情推理，得出：过双曲线：22221x y a b-=上一点0(P x ，0)y 处的切线方程为00221x x y y a b -=．故答案为：00221x x y ya b-=． 【点睛】本题考查利用类比推理得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论． 14．若对有恒成立，则的取值范围是_________【答案】【解析】试题分析：因为，而恒成立，则，当且仅当x=2y 时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为【考点】本试题主要考查了运用均值不等式求解最值。
【数学】黑龙江省大庆市2020学年高二数学下学期开学考试试题理
【关键字】数学黑龙江省大庆市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题理一、选择题1．设命题，则为（）A．B．C．D．2．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的分别为16,28，则输出的（）A. 0B. 2C. 4D. 143．根据如下样本数据得到的回归方程为，若，则每增加个单位，就（）A．增加个单位B．减少个单位C．增加个单位D．减少个单位4. 过点的直线与圆交于两点，当最小时，直线的方程为（）A. B．C．D．5．现有名男同学和名女同学参加演讲比赛，共有道演讲备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行演讲，以下说法不正确的是（）A.三人都抽到同一题的概率为B.只有两名女同学抽到同一题的概率为C. 其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为D.至少有两名同学抽到同一题的概率为6．为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（）A．2 B．3 C. D．7．如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内可以填入（）A．B．C．D．8．已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A．B．C．D．9．给出如下命题，其中所有正确命题的序号是（）①将八进制数326(8) 化为五进制数为1324(5);②用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．记v0＝7，则v2＝63；③简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是抽样过程中每个个体被抽到的机会均等;④某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝72;⑤某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2， (840)机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为12;A．①③⑤ B．③④⑤ C. ①②③④ D．①②③④⑤10．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．B．C．D．11.直线与曲线（为参数，且）有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B． C. D．12．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A．B． C. D．2、填空题13. 已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于_____________________ 14．过点作直线与圆交于两点，若=8，则的方程为_____________________ ．15．已知椭圆：，点，，分别为椭圆的左顶点、上顶点、左焦点，若，则椭圆的离心率是______________ ．16．给出如下命题：①“”是“方程为椭圆方程”的充要条件;②命题“若动点到两定点的距离之差的绝对值为，则动点的轨迹为双曲线”的逆否命题为真命题;③若为假命题，则都是假命题;④已知条件，或，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是;其中所有正确命题的序号是____________________三、解答题17.（10分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，若将曲线向左平移1个单位长度后就得到了曲线，再将曲线上每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标保持不变就得到了曲线，已知直线.（1）求曲线上的点到直线的距离的最大值；（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.18．（12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制,各等制划分标准如表所示:同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取100名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为的学生中随机抽取2名学生，从成绩等级为的学生中随机抽取1名学生进行调研，求抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率．19．（12分）在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高2、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有5人．(1)把在前排就座的高二代表队5人分别记为，现从中随机抽取3人上台抽奖，求和至少有一人上台抽奖的概率；(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数,x y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．20. （12分）三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1AO ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA上，且4AD AB ==. （1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值.21.（12分）已知抛物线223y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点. （1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.22．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，作直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，M 为线段PQ的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2122,3k k k =-． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点()D ，且满足2DP QD =，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．大庆实验中学2016-2017学年度下学期开学初考试高二年级数学（理）答案一、选择题BCDAD BCADC BA 二、填空题14． 30x y =-=或； 1516．④ 三、解答题17.（10分）解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，则曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值max 1d =.————————————————3分（2）设曲线2C 上任意一点的坐标为''(,)x y ，曲线1C 上任意一点的坐标为(,)x y ，由题意可得伸缩变换为'',x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩解得'',3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，可得曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=，即2233x y +=，————————————————6分 直线1l的参数方程为1,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴12||||||1MA MB t t ⋅==————————————————10分18.（12分）解：（1）由题意，可知10(0.0120.0560.0180.010)1x ⨯++++=，∴0.004x = ∴甲学校的合格率为1100.0040.96-⨯=，而乙学校的合格率为210.98100-=———6分 （2）将乙校样本中成绩等级为,C D 的6名学生分别记为123412,,,,,C C C C D D （其中34,C C 代表成绩在65分以上的2名同学），则由题意抽取3名学生的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121122131132141142231232241242341342,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C CD C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D 共12个，其中“至少有一名学生成绩在65分以上”包含{}{}{}{}{}{}{}{}131132141142231232241242,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D，共8个基本事件．∴抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率为82123P ==——12分19（12分）解：(1)由题意得，从高二代表队5人中随机抽取3人的所有基本事件有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e 共10种，设“高二代表队中a 和b 至少有一人上台抽奖”为事件A ，则事件A 的基本事件有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e 共9种，所以P(A )＝910．————6分 (2)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，点(x ，y)在如图所示的正方形OABC内，由6300101x y x y +-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到的区域如图中阴影部分所示．所以阴影部分的面积为12×(13＋12)×1＝512．设“该代表中奖”为事件B ，则P(B )＝5121＝512．————12分20.（12分）（1）连接AO ，⊥O A 1 底面ABC ，⊂BC AO ,底面ABC ，AO O A O A BC ⊥⊥∴11,，且1AA 与底面ABC 所成的角为AO A 1∠，即31π=∠AO A .在等边ABC ∆中，易求得AO =在AOD ∆中，由余弦定理，得3OD ==，22212OD AD OA ∴+==，即1AA OD ⊥.又.,//111BB OD BB AA ⊥∴ ,,,BC AO OC OB AC AB ⊥∴== 又O O A AO O A BC =⋂⊥11, ，⊥∴BC 平面O AA 1，又⊂OD 平面O AA 1，BC OD ⊥∴，又B BB BC =⋂1， ⊥∴OD 平面C C BB 11.———————6分（2）如下图所示，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()()()123,0,0,0,2,0,0,0,6,0,2,0A C A B -故()()11123,2,0,0,2,6A B AB AC ==-=-- 由（1）可知11,4AD AA =∴可得点D 的坐标为333,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴平面C C BB 11的一个法向量是333,0,22OD ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭. 设平面C B A 11的法向量(),,n x y z =，由11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，13cos ,13OD n OD n OD n⋅∴<>==易知所求的二面角为钝二面角 ， ∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-———————12分 21．（12分）解：（1）依题意可设直线1:6AB x my =+， 将直线AB 与抛物线联立21623x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒29610y my --=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得12122319y y m y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵1233AF FB y y =⇒=-，213m ⇒=，或.———————6分（2）121211121 2226639 OACB AOBS S OF y y y y∆==•-=⨯-==≥⨯=当0m=时，四边形OACB的面积最小，最小值为19. ———————12分22．（12分）解：（1）设()()1122,,,P x y Q x y，代入椭圆的方程有，2222221122221,1x y x ya b a b+=+=，两式相减：2222212122x x y ya b--+=，即()()()()2121212122x x x x y y y ya b-+-++=，又2121122121,y y y yk kx x x x-+==-+，联立两个方程有212223bk ka=-=-，解得3cea==————4分（2）由（1）知cea==22223,2a cb c==，可设椭圆方程为222236x y c+=．设直线l的方程为x my=-()22223660m y c+-+-=因为直线与椭圆相交，所以()()22248423660m m c∆=-+->，由韦达定理得2121226623cy y y ym-+==+．又2DP QD=，所以122y y=-，代入上述两式有222966623mcm-=-+，所以(2124842132222OPQmS OD y ya m∆-∆=-==2118183232mm mm==≤++，当且仅当232m=时，等号成立．此时25c=，代入∆有0∆>成立，所以所求椭圆方程为2211510x y+=————12分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
【数学】黑龙江省大庆市2020学年高二数学下学期开学考试试题文
【关键字】数学黑龙江省大庆市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题文说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．将二进制数转化为四进制数，正确的是（）A. B. C. D.2．如图给出了计算的值的程序框图，其中①②分别是( )A．B．C．D．3．为了解某地参加2015 年夏令营的名学生的身体健康情况，将学生编号为，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且抽到的最小号码为，已知这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为（）A．B．C．D．4．已知，应用秦九韶算法计算时的值时，的值为()A．27 B．11 C．109 D．365．已知与之间的一组数据：若关于的线性返回方程为，则的值为（）．A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.56．圆和圆的公共弦长为（）A. B. C. D.7．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第四象限的概率为（）A．B．C．D．8.设是椭圆:的焦点，在曲线上满足的点的个数为（）A.0 B．2 C．3 D．49．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.10．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．B． C. D．11．若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
D． 20 12
6．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝60°，a
3
，则
b sinB
c sinC
等于（ ）
A．
1 2
B． 3
C． 3 2
D．2
7．已知 l，m 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（ ）
A．若 l //m ， m ，则 l / /
15．等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn a 2n1 ，则 a
.
16．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AB AP 2 ，
PAB PAD 60 ，则该四棱锥的外接球的表面积为
Hale Waihona Puke ．试卷第 2页，共 4页
三、解答题
17．已知 ABC 中， A1,1 、 B 2, 3 、 C 3,5 ，写出满足下列条件的直线方程．
(1)求 a，b 的值．
(2)当 c R 时，解关于 x 的不等式 ax2 ac b x bc 0 ．
试卷第 4页，共 4页
黑龙江省大庆中学 2020-2021 学年高二上学期开学考试数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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黑龙江省大庆第一中学2020学年高二数学寒假开学检测试题理一、选择题：(每小题5分满分60分)1. 命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是 ( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2. “m=-1”是“直线l1：mx+（2m-1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 执行如右图所示的程序框图，若输出的S=2，则判断框内可以填入（）A. B. C. D.4. 下列说法正确的是（）A. “若，则”的否命题是“若，则”B. “若，则”是真命题C. ，成立D. 为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件5. 某校高二某班共有学生60人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本，已知3号，15号，45号，53号同学在样本中，那么样本中还有一个同学座号不能是（）A. 26B. 31C. 36D. 376. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7. 已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）6 8 10 126 3 2A. 变量x，y之间呈现负相关关系B. 可以预测，当时，C. D. 由表格数据知，该回归直线必过点8.设不等式组，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P(x,y)，则P点的坐标满足不等式的概率为 ( )A. B. C. D.9. 正四棱锥S-ABCD的侧棱长为，底边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于（）A. B. C. D.10．P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆半径为（）A. 2B. 3C.D.11. 己知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物线分别相交于A，B以及C，D若，则四边形ACBD的面积的最小值为（）A. 32B. 30C. 18D. 3612. 已知椭圆，与双曲线具有相同焦点、，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的最小值是A. B. C. D.二．填空题：（每小题5分满分20分）13.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上点数之和小于10的概率是_____________．14.已知样本7，5，，3，4的平均数是5，则此样本的方差为15.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则= ______ ．16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．下列结论中，正确结论的序号是____________．①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；②B1D1∥平面EFG；③BD1⊥平面ACB1；④异面直线EF与BD1所成角的正切值为；⑤四面体ACB1D1的体积等于三、解答题：（满分70分）17.（满分10分）命题p ：函数有意义，命题q：实数x满足（1）当且为真，求实数x的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18.（满分12分）为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人回答有关问题，统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）a0.5 第2组[25，35）18 x第3组[35，45）b0.9 第4组[45，55）9 0.36 第5组[55，65] 3 y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19.（满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，点M为棱AE的中点．求证：平面平面EFC；若，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值．20.（满分12分）抛物线Q：，焦点为F．若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值；过F的两条直线，，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N 分别是线段AB、CD的中点，若，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标．21.（满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，∠BAC=∠PAD=∠PCD=90°．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若AB=AC=PA=3，E为BC的中点，F为棱PB上的点，PD∥平面AEF，求二面角A-DF-E的余弦值22.（满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．大庆一中高二年级下学期第一次阶段考试数学答案一、选择题：CACB DACA DBAD二、填空题：13. 14.2 15. 16. ①③④三、解答题：17.解：（1）由-x2+4ax-3a2＞0得x2-4ax+3a2＜0，即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．若a=1，则p：1＜x＜3，由解得2＜x＜3．即q：2＜x＜3．若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，∴实数x的取值范围（2，3）．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，∴即（2，3）是（a，3a）的真子集．所以，解得1≤a≤2．实数a的取值范围为[1，2]．18.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，…（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．19.证明：连结AC，交BD于点N，为AC的中点，．平面EFC，平面EFC，平面EFC．，DE都垂直底面ABCD，．，为平行四边形，平面EFC，平面EFC，平面EFC．又，平面平面EFC．解：由已知，平面ABCD，是正方形．两两垂直，如图，建立空间直角坐标系．设，则，从而，，设平面的一个法向量为，由得．令，则，从而．，设与平面所成的角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为．20.解：由抛物线定义知，等于P到准线的距离，的最小值即为点E到准线的距离，等于4．证明：由，得：，解得，代入，得，同理，，，：，变形得：，因为，所以进一步化简得，所以MN恒过定点．21.解：（1）证明：∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC，∵AB⊥AC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）连接BD交AE于点O，连接OF，∵E为BC的中点，BC∥AD，∴==，∵PD∥平面AEF，PD⊂平面PBD，平面AEF∩平面PBD=OF，∴PD∥OF，∴==，以AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），D（-3，3，0），P（0，0，3），E（，，0），F（2，0，1），设平面ADF的法向量m=（x1，y1，z1），∵=（2，0，1），=（-3，3，0），由•m=0，•m=0得取m=（1，1，-2）．设平面DEF的法向量n=（x2，y2，z2），∵=（，-，0），=（，-，1），由•n=0，•n=0得取n=（1，3，4）．cos⟨m，n＞==-，∵二面角A-DF-E为钝二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值为-．22.解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，则有a=2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab=4，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y=（x+2）代入椭圆方程+=1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0，由x A•x P=，x A=-2得x P=-，则y P=．再将直线BM的方程y=（x-2）代入椭圆方程+=1得（3+t2）x2-4t2x+4t2-12=0，由x B•x Q=，x B=2得x Q=，则y Q=．故四边形APBQ的面积为S=|AB||y P-y Q|=2|y P-y Q|=2（+）===．由于λ=≥6，且λ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S=≤6．当且仅当λ=6，即t=3，也就是点M的坐标为（4，3）时，四边形APBQ 的面积取最大值6．。