立体几何平行与垂直 证明题

新课标立体几何常考证明题汇总

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形

（2） 若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成

的角。

证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1

//,2EH BD EH BD = 同理，1

//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角

2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭

同理，

AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ，

A E D

C

B

D

A

A H G F E D C

B A E D

B

C

∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC 又,SC AD SC BC C ⊥⋂= AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111A C B D O ⋂=，连结1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC =

又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB

D ∴C 1O ∥面11AB D

（2）1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥

又1111A C B D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面 1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 .7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1 (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1证明：(1)由B 1B ∥DD 1，得四边形BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1S

D

C

B

A

D 1

O D

B

A C 1

B 1

A 1

C A A

B

1

N

M

P C

B A

又BD ?平面B 1D 1C ，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ， ∴BD ∥平面B 1D 1C ． 同理A 1D ∥平面B 1D 1C ．

而A 1D ∩BD ＝D ，∴平面A 1BD ∥平面B 1CD ．

(2)由BD ∥B 1D 1，得BD ∥平面EB 1D 1．取BB 1中点G ，∴AE ∥B 1G ．

从而得B 1E ∥AG ，同理GF ∥AD ．∴AG ∥DF ．∴B 1E ∥DF ．∴DF ∥平面EB 1D 1．∴

平面EB 1D 1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

2

EF AC =

， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12

//AC = 12//FG BD =

，又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212

EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=o ，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂=

∴BD ⊥平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，

N 是AB 上的点，3AN NB =

（1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时，求MN 的

长。 证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点， ∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND = ∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥

（2）∵90APB ∠=o ，,PA PB =∴122

PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且1

12

MQ BC ==，∴2MN =考点：三垂线定理