专题对数函数知识点总结及类型题归纳

专题：对数函数知识点总结
1.对数函数的定义：
一般地，函数x y a log =()叫做对数函数.定义域是 2.对数函数的性质为
思考：函数log a y x =与函数x
y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________
对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。

一般的,函数y=a x 与y=log a x(a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称
y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1(x)如:f(x)=2x ,则f -1(x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x 对称
函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称
专题应用练习
一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-；（2）log 1a y x =-(0,1).a a >≠；
（3）2
(21)log (23)x y x
x -=-++（4）2log (43)y x =-
(5)y=lg
1
1
-x (6)y=x 3log 1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________
2.y=
)8lg(2x -的定义域是_______________
3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________
4.函数y=
13
log (21)x -的定义域是
5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 .
6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________
7.求函数2
log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。

8.求下列函数的定义域、值域：
（1）2log (3)y x =+；（2）2
2log (3)y x =-；（3）2
log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x
1
ln （432322+--++-x x x x ）定义域
10.设f(x)=lg
x x -+22,则f )2
()2(x
f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo
g 1
|2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)=
2
29)2(1x x x g --的定义域为；
13.函数f （x ）=
x
1
ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为
14
2
2
2
log
log log y x =的定义域是
1.设f (x )＝lg(ax 2－2x ＋a ),
(1)如果f (x )的定义域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围； (2)如果f (x )的值域是(－∞,＋∞)，求a 的取值范围． 15.已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围 （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围
（3）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；
（4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值. 16.若函数
()2x y f =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为
17.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域. 18若函数y=lg(4-a ·2x )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 19已知x 满足不等式06log 7)(log 22
2≤++x x ，函数=)(x f )2(log )4(log 42x x •的值域是
20求函数
1log )(log 2
122
1+-=x x y (14)x ≤≤的值域。

21已知函数f(x)=log 21
1-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).
（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.
解：f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧>->->-+,
③0,②0
1,①011x p x x x
由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］=log 2［-（x-21-p ）2+4
)1(2
+p ］(1＜x ＜p),
①当1＜
2
1
-p ＜p ，即p ＞3时，0＜-(x-
4
)1(4)1()212
22+≤++-p p p ,
∴log 2⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当2
1
-p ≤1，即1＜p ≤3时，
∵0＜-(x-),1(24)1()212
2-<++-p p p ∴log 2⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知：当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］;
当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)).
二、利用对数函数的性质，比较大小 例1、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1； （3）7log 5，6log 7；（4）2log 3，4log 5，3
2
1.0.9
1.1
， 1.1log 0.9，0.7log 0.8的大小关系是____________
2.已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p=log b a
b
的大小关系是____________
3.已知log m 5>log n 5,试确定m 和n 的大小关系
4.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a b
b b
b
a
1log ,log ,1的大小关系是
5.已知log 2
1b ＜log 2
1a ＜log 2
1c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.
6.设323log ,log 3,log 2a b c π===，则
7.()()()2
21,,log log log log d d d d x d a x b x c x ∈===已知试比较，的大小。

8.
()2
21,1log log d d x d a x b x >>==已知试比较，的大小。

9.设0<x<1，a>0，且a ≠1，试比较|loga （1-x ）|与|loga （1+x ）|的大小。

10.已知函数
()lg f x x =，则14f ⎛⎫
⎪⎝⎭，
13f ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(2)f 的大小关系是______ 三、解指、对数方程：
（1）35
3
27x +=（2）2212x =（3）55log (3)log (21)x x =+（4）1lg(1)x x -=-
1.已知3a =5b =A,且b
a 1
1+=2，则A 的值是 2.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么12
x -
等于
3.已知log 7［log 3(log 2x)］=0，那么x 2
1-等于 4..若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 5.若()x f x =10
，那么()3f 等于
6.已知5
()lg f x x =，则
(2)f =
7.已知2
2
log (4)log (1)log 5log (21)(01)a a a a x y xy a a +++=+->≠，且，求8
log y
x
的值． 四、解不等式：
1.55log (3)log (21)x x <+
2.lg(1)1x -<
3.设,a b 满足01a b <<<，给出下列四个不等式： ①a
b a
a <，②a
b b b <，③a a a b <，④b b
b a
<，其中正确．．
的不等式有
4.已知：(1)()log a f x x =在[3,)+∞上恒有|
()|1f x >，求实数a 的取值范围。

5.已知函数2
()3,()(1)f x x g x a x =+=-，当22x -≤≤时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

6.求m 的取值范围，使关于x 的方程2
1
(lg )
2lg ()04
x m x m -+-=有两个大于1的根．
（2008·全国）若x ∈(e -1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 7.已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a
b
b b b a 1
log ,log ,1的大小关系是 8.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a 的取值范围 9.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,
1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.
10.若函数2
2log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围 11.已知函数)3(log )(2
2a ax x x f +-=在区间()2 ,1上是增函数，则实数a 的取值范围是
12.若函数f(x)=21
2
log ,0,
log (),0x x x x >⎧⎪
⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
13.．设函数1211()lg 1x x f x x x -⎧-<=⎨⎩，，
，
， ≥若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）
14.设a >0且a ≠1，若函数f (x )＝)
32(lg
2+-x x a 有最大值，试解不等式)75(log 2+-x x a >0
五、定点问题
1.若函数y=log a (x+b)(a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
2.若函数y=log a (x+b)(a ＞0,且a ≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则
3.函数)10(1)1(log )(≠>+-=a a x x f a 且恒过定点.
六、求对数的底数范围问题
1.（1）若4
log 15
a
<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围 2.（2）若(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围 3..若2
log 13
a
<(0a >且1)a ≠，则a 的取值范围________ 4.函数()log (1)a f x x =+的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值为 . 5.若函数()log ()a f x a x =-在[2,3]上单调递减，则a 的取值范围是
6.函数y=log0.5(ax+a-1)在x ≥2上单调减，求实数a 的范围
7..已知y=a log (2-x
a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
8.已知函数y=log 2
a (x 2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围.
9.已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.
10.若函数log (1)a y x =-在[0,1)上是增函数，a 的取值范围是 11.使12
1
log >a
成立的a 的取值范围是 12.若定义在(－1，0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是
七、最值问题
1.函数y ＝log a x 在[2,10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a ＝ .
2.求函数
2
114
4
log log 5
[2,4]y x x x =-+∈的最小值 ,最大值 .。

3.设a ＞1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为21，则a=
4.函数f （x ）=a x +log a （x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a ，则a=
5.已知20≤≤
x ,则函数4234-⨯-=x x y 的最大值是，最小值是.
6.已知2()1log ,(14)f x x x =+≤≤，求函数22
()()()g x f x f x =+的最大值与最小值
7.已知x 满足2
0.50.52(log )7log 30x x ++≤，求函数22()(log )(log )24
x x
f x =的最值。

8.
12
20,0,21,log (841).
x y x y u xy y ≥≥+==++设且求函数的值域
9.函数f (x )＝a x ＋log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a ＝
10.求函数)3
1
3(log )31(log 22
1+--=x
x
y 的最小值
11.函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数=___．
八、单调性
1.讨论函数lg(1)lg(1)y x x =++-的奇偶性与单调性
2.函数2
lg(2)y x x =-的定义域是,值域是，单调增区间是 3.函数2()ln(43)f x x x =-+的递减区间是． 4.函数y=log 1/3(x 2-3x)的增区间是________
5.证明函数)1(log )(2
2+=x x f 在),0(+∞上是增函数
6.函数)1(log )(2
2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？
7.求函数)32(log 2
21--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
.8.求y=3.0log (2
x -2x)的单调递减区间 9..求函数y=2log (2
x -4x)的单调递增区间
10.函数y=log 2
1(x 2-3x+2)的递增区间是
11.函数2
lg(2)y x x =-的值域是，单调增区间是．
12.若函数2
2log ()y x ax a =--在区间(,13)-∞-上是减函数，求实数a 的取值范围
1.证明函数y=2
1log (2
x +1)在（0，+∞）上是减函数；
2.已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,
1-3］上是单调递减函数.，求实数a 的取值范围.
3.已知函数()lg(42)x
f x k =-⋅，（其中k 实数） （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若)(x f 在
(],2-∞上有意义，试求实数k 的取值范围
小结：复合函数的单调性
)(),(x g x f 的单调相同，))((x g f y =为增函数，否则为减函数
九、奇偶性
1.函数
()(
)
2ln
1f x x x =++的奇偶性是 。

2.若函数
()f x 是奇函数，且0x >时，()()lg 1f x x =+，则当0x <时，()f x =
3.偶函数
()f x 在[]0,2内单调递减，()()0.511,log ,lg 0.54a f b f c f ⎛
⎫=-== ⎪⎝
⎭，则,,a b c 之间的大小关系
4.已知
)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31
(=f ，则不等式0)(log 8
1>x f 的解集为
5.已知函数
1()lg
,1x f x x -=+若1
(),2
f a =则()f a -= . 6.已知奇函数满足
，当
时，函数
，则
=____．
7.
2
()lg(1)(1)(2)()f x x x f x =++已知判断f(x)奇偶性判断的单调性 8.知函数f(x)=log a b
x b x -+(a ＞0,且a ≠1，b ＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x ）
单调性
9.a,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x
ax 211lg ++是奇函数
1）求b 取值范围2）讨论函数f(x)单调性.
10.设a,b ∈R ，且a ≠2,定义在区间（-b,b ）内的函数f(x)=x
ax 211lg ++是奇函数.
（1） 求b 的取值范围；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
11.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且，设()()()h x f x g x =-. （1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合.
十、对称问题与解析式
1.已知函数
()f x 的定义域是()0,+∞，
且对任意的12,0x x >满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，当1x >时有()0f x <，请你写出一个满足上述条件的函数
()f x = 。

2.已知函数()f x 满足()()2
2
2
3log 0,16a x f x a a x -=>≠-
（1）求
()f x 的解析式；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性；（4）解不等式()()log 2a f x x ≥
3.已知定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞的函数()y
f x =满足条件：
对于定义域内任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+ .(1)求证：1
()()f f x x
=-，且()f x 是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.
5.已知函数f(x)=log a (x+1)(a ＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P 关于原点对称点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x ∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m 成立，求m 的取值范围.
解（1）设P （x ，y ）为g(x)图象上任意一点，则Q （-x ，-y ）是点P 关于原点的对称点，
∵Q （-x ，-y ）在f(x)的图象上，
∴-y=log a （-x+1），即y=g(x)=-log a (1-x).
（2）f(x)+g(x)≥m,即log a x
x -+11≥m.
设F （x ）=log a x
x -+11,x ∈［0，1），
由题意知，只要F （x ）min ≥m 即可.
∵F （x ）在［0，1）上是增函数，∴F （x ）min =F （0）=0.故m ≤0即为所求
1）证明设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,
由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2.
因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2
2
8118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2),
由于log 2x 1=
2
log log 81
8x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=
1
1
8112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2
2
82222x x x x k ==
由此可知k 1=k 2即O 、C 、D 在同一直线上.
（2）解由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=
3
1
log 2x 2,x 2=x 31,
代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1,又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为
（3，log 83).
6.已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.
（1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上；（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
7.设函数且
．
①求
的解析式，定义域；②讨论
的单调性，并求的值域．
十一、对数函数图象
1．函数3log (2)y x =+的图象是由函数3log y x =的图象得到。

2.函数3log (2)3y x =-+的图象是由函数3log y x =的图象得到。

3.函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象 当0,0b c >>时向__单位得到; 当0,0b c <>时向__单位得到; 当0,0b c ><时向__单位得到; 当0,0b c <<时向__单位得到。

尝试总结：平移变换()()y f x y f x a b =→=++的法则___________________________ ____________________________________________________________________
1.将函数y=2x 的图象向左平移1个单位得到C 1，将C 1向上平移1个单位得到C 2，而C 3与C 2关于直线y=x 对称，则C 3对应的函数解析式是
2.函数的图像与对数函数3log y x =的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： (1)3log ||y x =；(2)3|log |y x =； (3)3log ()y x =-；(4)3log y x =-
1.已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根求函数f (x )＝|12|log 22--x x 的单调区间
2.如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值
，
则相应于曲线
的值依次为()．
3.方程log (1)x
a x a a =>的解的个数为
4.已知关于．．x ．的方程．．．02lg 2lg 2
=-++a x a x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是 5.方程2
2log ||x x =-的实根个数是 个.则x 1＋x 2＝ 6.已知f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，比较f (x )与g(x )的大小 7.设a >0且a ≠1,求证：方程x
x a
a -+-x =2a 的根不在区间[-1,1]内
8.若，且，则满足的关系式是?（ ）
9.若是偶函数，则的图象是()．
（A ）关于轴对称（B ）关于轴对称（C ）关于原点对称 （D ）关于直线对称
10方程实数解所在的区间是(??)．（A ）?（B ）（C ）?（D ）
11.已知x 、y 为实数，满足（log 4y ）2=12
log x ，试求
x
y
的最大值及相应的x 、y 的值．
十二、附加内容（补充）
本节主要介绍以下几个问题
一、反函数的定义 二、反函数的求法 三、反函数存在的条件
四、反函数的性质
y=a x 及y=log a x 互为反函数
,反函数的定义
一般的,如果y 是x 的一个函数(y=f(x)),另一方面,x 也是y 的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。

一般仍用x 表示自变量,y 表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f -1(x),y=f -1(x)与y=f(x)互为反函数
y=a x 与y=log a x 互为反函数
注意：f -1(x)与[f(x)]-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数
求函数y=3x+6的反函数
解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2
Y=a x 与y=log a x({x|x>0})互为反函数(由y=a x 中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域
二,反函数的求法步骤
1、从y=f(x)中解出x;
2、求出原函数的值域即为反函数的定义域；
3，x 、y 互换并加注定义域即为所求
反函数存在的条件
y 是x 的函数，要求每个x 对应惟一一个y;x 是y 的函数，要求每个y 对应惟一一个x;所以：反函数存在的等价条件是该函数的x 与y 一一对应
y=a x 在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y 一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数
思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x ）
反函数的简单性质
1、原函数与反函数的定义域与值域对调
2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x 与y 一一对应）
3、原函数与反函数的图象关于直线y=x 对称。

从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性
⎪⎩⎪⎨⎧=互换，加注定义域与定义域）求原函数值域（反函数中解出从y x x x f y )(
1.求出函数y=log 2x
x -+11(-1<x<1)的反函数 解：2y =x x -+11,x=1212+-y y (y ∈R)反函数为：y=1212+-x x (X ∈R ) 2.求函数y=1+
252-x (x ≤-5)的反函数(答：f -1(x)=2622+-x x (x ≥1) 3..若函数f(x)=的反函数为求常数a,b,c 的值(答：a=5,b=2,c=1) 4.已知y=x2-2ax+3在[)+∞,1上存在反函数⑴求实数a 的范围;⑵求a 取得最值时相应的反函数解:⑴a ≤1 ⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x=故反函数为f -1(x)=1+
2-x （x ≥2） 5.已知函数y=-x 的反函数是f -1(x)求f -1(-1)
6.若函数f(x)的图象过点（1，2），则f -1(x)的图象一定经过点_________
7.若点(1,2)既在函数y=
x a +b,又在其反函数的图象上，求实数a,b 的值 8.已知()log (1)(01)x a f x a a a =->≠，且，（1）求其定义域；（2）解方程1(2)()f x f x -= c bx a x ++125)(1-+-=-x x x f 21-+y。