2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2007年7月27日， 8：00－12：00，浙江 镇海）

一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都有满足1000x <的偶数根。

二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为直

径的半圆上的任意两点，过点B 作O

的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直

线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：

OE =OF 。

三、 设*min i i a k k N k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭

，试求[][]2212n n S a a a ⎡⎤=+++⎣⎦ 的值，其中

[]2,n x ≥表示不超过x 的最大整数。

四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件12007n

i

i a ==∑的任一具有n 项的正整数数列12,,,n a a a ，其中必有连续的若干项之和等于30。

第二天

（2007年7月28日， 8：00－12：00，浙江 镇海）

五、 设函数()f x 满足：()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有

()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。

六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的

中点，MB AB ⊥，MD 交AC 于N ；MC 的

延长线交AB 于E 。证明：

DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c )：

(i) a

(ii) a +1、b +1、c +1组成等比数列。

八、 设正实数a 、b 、c 满足：abc =1，求证：对

于整数2k ≥，有

A

F

32

k k k a b c a b b c c a ++≥+++ 答案

一、 令02x n =，n 为整数，且|2|1000n <，即||49n ≤，所以至多取24991999

⨯+=个数，即{499,498,0,1,,499}n ∈-- ，。将02x n =代入原方程得

38121n a n -=+。记381()21

n f n n -=+,对任意的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈-- ，,当12n n ≠ (12,n n Z ∈)时,若12()()f n f n =,设1212,22

x x n n ==，其中12,x x 是关于x 的方程310x ax a ---=的两个根，设另一根为3x ，由根与系数的关系

312122331123()1x x x x x x x x x a x x x a =-+⎧⎪++=-⎨⎪=+⎩

即12481

N a N a =-⎧⎨=+⎩(其中221121221212(),()N n n n n N n n n n =-++=-+) 即12481N N +=，矛盾！

所以，对于不同的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈-- ，，

都有12()()f n f n ≠，于是满足条件的实数a 恰有999个。

【另解】

对任意||998x ≤，x 为偶数，311

x a x -=+的取值都各不相同。 反证，若存在12x x ≠，使得3312121111

x x x x --=++，其中12,x x 为偶数，则 22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++=

由于12x x ≠，则120x x -≠，又因为222212121212x x x x x x x x ++++为偶数，所以22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++≠，矛盾。因此满足条件的a 共有999个。

二、 如图，作OM CD ⊥于M ，作MN //AD ，

设,MN BA N CN DA K == ，连BC 、

BM ，则NBC ADC NMC ∠=∠=∠，因此

N 、B 、M 、C 共圆；又由O 、B 、P 、M

共圆，得

180OPM OBM MCN ∠=∠=︒-∠

所以CN //OP ，于是 (1)CN AN NK OE AO OF

==

F

因M 为CD 的中点，MN //DK ，则N 为CK 的中点；故由(1)得，OE OF =。

【另证】 如图，过O 作OM CD ⊥于M ，连结BC 、BM 、BD 、BE ，因为OM CD ⊥，PB AB ⊥，所以O 、

B 、P 、M 四点共圆，于是

BMP BOP AOE ∠=∠=∠，EAO BDM ∠=∠，所以OAE MDB ∆∆ ，

AE AO AB BD DM CD

==，从而BAE CDB ∆∆ ，EBA BCD BAD ∠=∠=∠，所

以AD //BE ，1OE OB OF OA ==，即OE =OF 。 三、 设*11111min i i i a k k N k k k +++⎧⎫=+∈=+⎨⎬⎩⎭

(*1k N ∈)，则11111

1i i i i a k k a k k ++≤+<+=，即数列{}n a 严格单增。 由于2

2m k m k

+≥，(当k =m 时取得等号)，故()

2*2m a m m N =∈； 又当k =m 、m +1时，()121m m k m k ++=+，而在k m ≤或1k m ≥+时，()()10k m k m ---≥，即()()22110k m k m m -+++≥，亦即

()121m m k m k

++≥+，所以221m m a m +=+；再由数列{}n a 的单调性，当()221m m i m +≤<+时，()2121i m a m +≤<+，所以

[]()22222, 21, 1i m m i m m a m m m i m ⎧≤<+⎪=⎨++≤<+⎪⎩ 因此，

[]()()22222211431m m

i i m a m m m m m m +==⋅++⋅+=++∑，于是

()()()()()21

213243121211431262

831366

n n m S m m n

n n n n n n n n n n -==+++---=⨯+⨯+-+-+-=∑ 四、 首先，我们可以构造一个具有1017项的整数数列121017,,,a a a ，使其中不

存在和为30的连续项；为此，取1229301, 31a a a a ===== ，以及