把握教学设计的六个度顾亚龙

数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻
辑链条，恢复为当初数学家发明创新时的火热思考。
只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽。 ——张奠宙
三、文化的厚度 案例：《年月日》
案例《年月日》
年月日
? 年：12个月 ?
31天
365天 366天
月： ?
30天 28、29天
日：
24时 ?
小统计
将年历卡上每年各月的天数记录在下表内。
人类创造出来的过程。从儿童的角度解读数学知识
在人类发展历程中的原味，让学生经历知识形成的 来龙去脉，感受到数学知识不是先天预存的一堆 ‚真理‛，是可以被责疑，可以被创造的。这对儿 童的成长无疑是一种很好的启蒙和洗礼。 不要让知识的原点成为教学的盲点！
二、思想的深度 策略：“回溯”知识的原点
没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公 开发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一 种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火 热的发明变成冰冷的美丽。 教材是对教学法的颠倒。 -----弗赖登塔尔 -----弗赖登塔尔
子：不能。 策略：知识的呈现顺序与知识的内在逻辑相匹配 （暗线）
子：除非它们都能站起来。 策略：知识内在的逻辑与学生的认知需要相匹配 （暗线） 情境线、知识线、情感线‚三线融合‛
案例：《怎样围面积最大》
预学思考： 1、用一根26米长的绳子，可以围成哪些不同的长方形？（长、宽取整米数） （在下面边长为1米的格子图上画一画， 并标出长和宽） 1
31 28 31 四 30 五 31 六 30 七 31 八 31 九 30 31 30 十二 31 2003 年 一 二 三 十 十一 2004 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2005 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2006 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2007 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2008 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2009 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
案例：《可能性的大小》 通过摸球的游戏，学生基本理解了：什么颜色
的球多，被摸到的可能性就大，如果两种球的
个数相等，每种球被摸到的可能性就相等。 但学生对‚小概率事件‛依然没有什么感受！
2009年2月3日，英国“前卫”号导弹核潜艇与法国的 “凯旋”号核潜艇在大西洋发生了相撞。两艘潜艇均带 着24枚核导弹。两艘核潜艇都处于海洋中同一位置的几 率是几百万分之一。一旦发生核爆炸，后果不堪设想！
数学文化的育人视界，即‚以文‘化’人‛，‚以数学
来育人‛，这才是完整而和谐的数学教育。 否则，我们培养的学生可能会：有知识，没文化！ 教育：将知识转化为智慧，使文化积淀成品格。
四、生活的宽度
生活是数学学科发展的原动力；丰富的现实生活是学
生进行数学学习的弥足珍贵的资源。 ‚学生活中的数学‛，不仅指孩子的、当下的或现实 的生活，更要追溯到人类发展数学这门学科的源头， 这里是许多数学思想方法的渊源所在；这不仅是一种 数学知识的习得，更是一种数学文化的传承。
65分米
70×60=4200（平方分米）
65分米 65×65=4225（平方分米）
观察 猜想 验证 60 分米 6米 结论 应用
70 7分米 米 再次验证： 周长相等，长与宽越接近，面积越大； 长与宽相等时，面积最大
青青草原:“圈地”比赛
一定是正方形 的面积最大吗？
二、思想的深度
现象：
将数学知识作为现成的结论，“告知”学生
四、生活的宽度 师：看了这两则新闻，你有什么感想？ 生：研究‚可能性的大小‛太重要了。 生：我们做事情千万不能心存侥幸。 生：我们做任何事情都要一丝不苟。 生：我懂得了什么叫‚一切皆有可能‛。
五、生命的温度
数学，常常让人觉得是单调、枯燥；是不容
置疑的一堆‚真理‛，象高挂在天上那个冰冷的月
亮一样，拒人于千里之外。 如果能展现数学知识‚温情‛的一面，感受数
1月
年份
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
观察表格，告诉同伴你发现什么规律!
2000年~2010年各月天数统计表
2000 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
2001 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
2002 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
2、填一填，想一想：
周长（m） 长（m） 宽（m） 面积（㎡）
13 12 28 11 10 9 8 1 2 3 4 5 6 13 24 33 40 45 48
7
7
49
初步验证： 周长相等，长与宽越接近，面积越大；
长与宽相等时，面积最大
预学思考：
1、用一根26米长的绳子，可以围成多少种不同的长方形？ （长、宽取整 分 米数） 25平方分米
把握小学数学教学设计的‚六个度‛
上海市徐汇区教育学院
顾亚龙
缘起：
教学设计：是提高课堂教学有效性的重要基础。
当下，相当多的教学设计只是停留在教者已 有的‚经验‛层面上，常常是‚跟着感觉走‛。 由于实践总是具体的、个别的；在这里，理 教学设计，如何在‚跟着感觉走‛的基础上， 论不如技术，技术不如方法，方法不如经验，甚 进一步由感性认识上升为一种理性思考？乃至 至‚跟着感觉走‛也无可厚非。 策略？
旋转
4cm
5cm
6cm
二、思想的深度 案例：《角的度量》
．
点对点，边对边，读刻度。
二、思想的深度
二、思想的深度
13 14 15 16 17
10 9 8 11 12
7
6 5 4
18
3 2 1
二、思想的深度
10度角
1度角
二、思想的深度
点对点，边对边，读刻度。
二、思想的深度
作为人类智慧的结晶，数学知识必定有一段被
怎样才能形成有效的教学设计？优质的小学数 学教学设计，有没有一个相对恒定的‚常模‛？
一、逻辑的力度
二、思想的深度 三、文化的厚度 四、生活的宽度
Βιβλιοθήκη Baidu
五、生命的温度 六、知识的通透度
一、逻辑的力度
现象：
教学设计只是相关知识点的“拼盘”
教学环节与知识的生成过程缺少内在的联系
策略：用“情境链”串起“问题串”
12 2 11 8 3 10 6 4
5
9
7
2、填一填，想一想： 周长（m） 长（m） 宽（m） 面积（㎡） 12 11 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 12 22 30 36 40 42
26
观察表格，你发现什么？ 周长相等，长与宽越接近，面积越大 周长相等的长方形，面积不一定相等。 面积不相等的长方形，周长可能相等。
案例：《放苹果》
把（n＋1）只苹果放进n只抽屉，至少有 一只抽屉里的苹果不止一只。
上层 下层
× ×
√
上层
下层
√
第一次： 第二次： 第三次： 第四次：
7位同学，抢 6 把椅子。
6 位同学，抢 5 把椅子。
5位同学，抢 4把椅子。 4 位同学，抢 3把椅子。
苹果
抽屉
n＋1
n
把（n＋1）只苹果放进n只抽屉，至少 有一只抽屉里的苹果不止一只。
八月: August
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总天数 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 2000 闰 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 2001 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2002 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2003 平 2004 闰 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2005 平 31 28 31 30通常 31 30 31 31 30 31 30 31 每4 年有一个闰年。 2006 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2007 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 2008 闰 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
去头掐尾，烧中段——知识没有了“根” 忽略了数学本身所具有的生长特性，在教者眼里 更多的是一种知识的积累，而非思维的提升，智
慧的启蒙，素养的滋润。 策略：“回溯”到知识的原点
二、思想的深度 案例：《位值图上的游戏》
… 万 千 百 十 个 位 位 位 位 位 … 万 千 百 十 个
马达加斯加人用鹅卵石计数 １ 1３
10
6
2 4
4 0
6
2 7
9
4
14
15
16
6 2 7
9
4
14
15
16
一、逻辑的力度 当然，用‚情境链‛串起‚问题串‛是一种手段，但 不是目的，因此，在课堂教学中，对于情境的使用， 也要有一个‚度‛，更要经历一个从创设情境到‚去 情境化、去时间化、去个人化‚的过程，以突现数学 知识的本质。
父：能把全世界的土豆看成一个集合吗？ 策略：用“情境链”串起“问题串”（明线）
案例：《数墙》
欢迎 大家来到羊村！
村长，美羊羊被抓走了
找出这三堵墙 上数与数之间的秘密， 它们就会消失了。
? ? 2
? ? 3 1
3
5
7 3 4
1
2
2
下层相邻的2块“数砖”上的数相 加等于它们上面一块“数砖”上的数。
19 ？ 11 6 5 8 3
？ 9 ？ 5
2 3
4 ？
1
20 10 6 4 10 6
算一算:
三、文化的厚度 策略：“叩问”知识的形成过程
如果说显性的数学知识——数学的公式、定律、法则、
以文“化”人 方法等，是数学文化的物质实体，那么，经纬其间的数
学思想、数学意识、数学历史、理性精神等则是数学文 —— 小学数学文化的育人视界——
化的精神实体；数学教育只有将数学文化的物质实体与
精神实体有机地融为一体，上升到文化教育的层面——
(× ? )
(√ ? )
6cm 1cm
5× 4
(× ? )
初步验证：平行四边形的面积=底×高
1c㎡
二、思想的深度
要证明一个结论是正确的， 我们必须至少通过两条不同的途径。
初步验证：平行四边形的面积=底×高
二、思想的深度
5cm
4cm
6cm
陌生→熟悉 复杂→简单
二、思想的深度
5cm
4cm
6cm
二、思想的深度
百位堆
十位堆
个位堆
用有限的符号表示无限的数。
二、思想的深度
案例：《平行四边形的面积》
重点：用转化的思想推导平行四边形的面积公式. 其难点不是怎样转化,而是你怎么想到用转 化的思想方法来推导的?
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
数方格
二、思想的深度
转化
假设：
5cm 4cm
6× 5
6× 4
年
查一查
推一推
2009 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
2010 平 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
小知识
你知道吗？其实，地球绕太 阳转一圈既不是365天，也不是 366天，而是365天5时48分46秒。 为了方便，人们把一年定为365天， 但这样，每年就多出5时48分46秒， 4年就差不多多出1天，于是，就 把这一天加在2月里，这一年就有 366天了，成了闰年。
2010 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
恺 撒：一年分为12个月。
单月都是大月，双月都是小月。
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 31 29 30 30 31 30 31 30 28 31 30 31 30 31 31
奥古斯都
30 31 30 31
学独特的思维方式，让学生穿越历史和思维的限制，
获得超越知识的价值认同，培养学生良好的数学情
怀，这是数学学科深层次的教育价值和意义所在。
案例：《两位数乘两位数的竖式》
想一想、填一填:
21×13
=21×( 10 ) ＋21×( 3 )
=( 210 ) ＋( 63 )
=( 273 )
用竖式计算
1
2
21×13
闰
平 平 平 闰 平 平 平 闰 平 平
÷4= 500 ÷4= 500……1 ÷4= 500……2 ÷4= 500……3 ÷4=501 ÷4=501……1 ÷4=501……2 ÷4=501……3 ÷4=502 ÷4=502……1 ÷4=502……2 公历年份数除以 4 ， 没有余数的，这一年 一般就是闰年。