《最短路径问题》课件

探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动5 集思广益，理解新知
重点、难点知识★▲
追问2 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′ (与点 C不重合)？
若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和 都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．
追问3 回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决 问题的？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
重点、难点知识★▲
练习 有两棵树位置如图，树脚分别为A，B. 地上有一只昆虫沿A→B 的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再 飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在 图中画出该点的位置. (保留作图痕迹，不写作法)
【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”， 通过“作D关于AB的对称点D′”转 化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.
F
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
F
【思路点拨】 （1）将OM，ON抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点； （2）抽象为数学问题：如图，点A在∠MON内部，试在OM、ON上分别找 出两点E、F，使△AEF周长最短； （3）当AE、EF和AF三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角 形的周长最小，类比“探究一”作图. 求三角形周长最短，即求AE+EF+AF 的最小值为A′A′′的值，根据轴对称的性质得AE=A′E，AF=A′′F，再由“两 点之间，线段最短”解决. 此情况简称为“一点两线型”.
问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所 成的∠MON内部. 牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边 牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A. 请你帮他确定马这 一天行走的最短路线.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题 解：分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A′′，连接A′A′′分别交 OM、ON于E、F，此时△AEF周长有最小值.
《最短路径问题》课件
2020/9/7
（1）两点的所有连线中，线段最短；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短；
（3）三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大 于第三边.
探究一：“两点一线”的最短路径问题
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活动1 创设情境，引入新知
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫 海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的 问题：
问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷. 某一天牧马人要从马厩A出发，牵 出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B． 牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
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精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BБайду номын сангаас=B′C，BC′=B′C′，
∴ AC+BC=AC+ CB′=AB′，AC′+ C′B=AC′+ C′B′． 又在△AB′C′中，AB′ ﹤AC′+B′C′， ∴ AC+BC﹤AC′+BC′， 即AC +BC 最短．
问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：
问题2. 牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另 一侧即与马厩A 位于河的同侧. 如图，牧马人从图中的A 地出发， 到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马， 可使马所走的路线全程最短？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
解： 连接AB，线段AB与直线l交于点C， 到河边l的 C处饮马可使马所走的路线全程最短.
【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC 的最小值为线段AB的值. 此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .
探究一：“两点一线”的最短路径问题
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活动2 整合旧知，探究新知
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动6 反思总结，归纳新知
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【方法归纳】 1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时， 利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另 一点与直线的交点就是所求的点.
2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一 条直线上的两条线段转化到同一条直线上.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题 能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性？
【理由简要分析】 如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点
F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动3 大胆猜想，建立模型
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解： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求．
探究一：“两点一线”的最短路径问题
活动4 反思过程，验证新知
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追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探究一：“两点一线”的最短路径问题
重点、难点知识★▲
解： （1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线； （2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E 就是所求的点.
探究二：“一点两线型”的最短周长问题
海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的 “将军饮马问题”：
重点、难点知识★▲
学者海伦认真思索，利用轴对称的知识 回答了这个问题．这就是著名的 “将军饮 马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问 题吗？
将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一 点C，使AC 与BC的和最小？
【思路点拨】将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路 线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小” 的数学问题. 此情况 可简称为“两点(直线同侧)一线型”.