人教版数学高二学案事件的相互独立性(2)

2．2.2事件的相互独立性

1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.

2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．

知识点一相互独立事件的概念

设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

思考1不可能事件与任何一个事件相互独立吗？

答案相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．

思考2必然事件与任何一个事件相互独立吗？

答案相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．

知识点二相互独立事件的性质

如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

思考如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？

答案正确．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．

题型一相互独立事件的判断

例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

(1)A与B；

(2)C与A.

解(1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．

以下考虑它们是否为相互独立事件：

抽到K的概率为P(A)＝4

52＝1

13，

抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝1

2，

故P (A )P (B )＝113×12＝1

26

，

事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝1

26，从

而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．

(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P (A )＝113≠0，P (C )＝113≠0，而P (AC )

＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件． 反思与感悟 对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥．一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

跟踪训练1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( ) A ．相互独立但不互斥 B ．互斥但不相互独立 C ．相互独立且互斥 D ．既不相互独立也不互斥

(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是( ) A ．互斥但不相互独立 B ．相互独立但不互斥 C ．互斥且相互独立 D ．既不相互独立也不互斥 答案 (1)A (2)B

解析 (1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．

(2)事件A ＝{2,4,6}，事件B ＝{3,6}，事件AB ＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．

所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×1

3，即P (AB )＝P (A )P (B )，因此，事件A 与B

相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件． 题型二 相互独立事件同时发生的概率

例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率．

解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件．

(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.

(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B 发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B 发生)．根据题意，事件A B 与A B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.

(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P ＝P (AB )＋＝0.72＋0.26＝0.98.

(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况， 故所求概率为P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )

＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.

反思与感悟 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．

跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一