全等三角形各类题型讲解

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ ABC 和厶A ' B ' C '是全等的三角形，记作

“△ ABC A ' B ' C '其中，“也”读 作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法 (1) 根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个 三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2) 根据已知的对应元素寻找 ：全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(3) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成

翻折：如图(1) , ^BOC^AEOD, iBOC 可以看成是由iEOD 沿直线AO 翻折180。得到的；

旋转：如图(2),也COMiBOA ,占COD 可以看成是由ABOA 绕着点O 旋转180 °得到的;

平移：如图(3), ■iDEF^MCB,心DEF 可以看成是由 MCB 沿CB 方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法： SAS,SSS,ASA,AAS,HL

6. 注意问题：(1)在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

(2)不能证明两个三角形全等的是，

a:三个角对应相等，即 AAA ； b :有两边和其中一角对应相等，即 SSA

【分类解析】

(1)证明线段(或角)相等

例 1:如图，已知 AD=AE,AB=AC 求 证：BF=FC

(2)证明线段平行

全等三角形及其应用

例2:已知：如图，DE丄AC, BF丄AC,垂足分别为E、F, DE=BF, AF=CE求证：AB// CD

(3)证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3 :如图，在△ ABC中，AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

(4)证明线段相互垂直

例4:已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，△ ADC、△ BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

【题型点拨】

例1.如图，AC// BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点E,求证;AB = AC+BD

例2如图，在四边形ABCD中, BOBA,AD= CD, BD平分N ABC ,

求证：A C =180°

C

【题型展示】

例 1 如图，△ ABC中，/ C= 2/ B,Z 1 = Z 2。求证：AB= AC+ CD.

A

B DC

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是( )

(A) 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

(B) 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

(C) 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

(D) 有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD丄AB于点D, BE丄AC于点E, BE、CD交于点O,且AO平分/ BAC.求证：OB= OC.

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，, ：ACM和.：CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。

求证：(1)CEF是等边三角形。(2)设AN、BM交于0,求/ AOM的度数

4. 如图，已知在厶ABC中，/ B=60°,A ABC的角平分线AD,CE相交于点0,

求证：0E=0D

5.如图，在等腰Rt A ABC中，/ C= 90°, D是斜边上AB上任一点，AE丄CD于E, BF丄CD交CD的延长线于F,

CHIAB于H点，交AE于G.

求证：BD= CG

6、⑴如图23 (1),以△ ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形

ACFG，连结EG ,试判断△ ABC与厶AEG面积之间的关系，并说明理由。

(2)园林小路，曲径通幽，如图23 (2 )所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面

积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和

是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？

(S z)