第4章 综合指标分析法(二)

由组距分布数列计算中位数
月工资 （元）
600以下
工人 向 上 累 计 人数（人） 人数
f
6
6
向下累 计人数
60
600-800
14
20
54
800-1000
26
1000-1200
10
46
40
56
14
1200以上
4
60
4
排序：向上累计人数 或向下累计人数；
确定中间位置： （60+1）/2＝30.5位
中间位置在第3组，可 认为该组的组中值900 即为中位数。
一般
21 42 36 72 ？ ？
满意
8
非常不满
意
6
16 44 12 50
88 100
合计
50 100 —
—
解：这里的向下 累积为各变量值 的顺序排列，中 间位置是第25为 位，居于第3组， 因此中位数为“ 一般”这一类别 ，即
Me＝一般
数值型数据中位数的确定
未分组数据中位数的确定：
15位同学的某课程考试成绩为（分）：56 69 85 90 72 84 65 78 85 92 76 75 85 78 96 。他们成绩的中位数是多少？ 1.排序： 56 65 69 72 75 76 78 78 84 85 85 85 90 92 96 2.确定中间位置：（15+1）/2＝8位 3.确定中位数：第八位是78，故他们成绩的中位 数是78分 。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 4851
＝ 319 20
15.95(件)
18
1
18
合计
20
319
由单项数列计算算术平均数（相对数权数）
日产 量（件）
x 14
人数比 重 f/∑f
0.1
15
0.2
16
0.4
17
0.25
18
0.05
合计
1.00
X．f/ ∑f
1.4 3.0 6.4 4.25 0.9 15.95
人均日产量
x.
f
f
14 0.115 0.2 16 0.4 17 0.25 18 0.05 15.95(件)
响，而简单算术平均数的变动只受标志值变动的影响； 5.由相对数和平均数计算算术平均数时，要正确地选
择权数。
4.1.5 调和平均数（倒数平均数）
有简单调和和加权调和平均数两种。 例：见74、85页 若已知算术平均数的分子，用调和平均
方法计算平均数； 若已知算术平均数的分母时，用算术平 均方法计算平均数。
数的情况。
未分组数据众数的确定
无众数 原始数据:
10 5 9 12 6 8
一个众数 原始数据:
659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
分类数据的众数
(例题分析)
不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌
可口可乐 旭日升冰 茶 百事可乐 汇源果汁 露露
频数
15 11 9 6 9
4.2.2 极差
也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差， 用R表示。
优点：计算简便。 缺点：只从两端数值考察，忽略了中间数据的
变异情况，不能说明总体的差异情况，尤其是 存在极端值的情况下，使用极差往往会造成错 误的结论。
极差的计算
在某城市随机抽取21人，每天的收入（元）分别为： 17、18、20、20、25、25、28、29、30、35、35、 36、38、39、40、50、60、60、65、65、70，则：
则下四分位数为：（25+25）/2=25元，上四分位数为 （50+60）/2 =55元。在下四分位数和上四分位数之间包 含了50%的数据，因此，我们可以说有一半人的收入在25 元到55元之间。
4.1.4 算术平均数（ x ）
算术平均数是最常用的一种平均指标，又称为均值。
适用于数值性数据。
根据掌握的资料不同有两种具体计算方法： 简单算术平均 加权算术平均
作用：1.表明平均数的代表性大小。 2.表明现象的均衡性和稳定性。
反映离中趋势的度量指标 有：
❖异众比率、极差、四分 位差
❖平均差、标准差和方差、 离散系数（变异系数）
4.2.1 异众比率
异众比率是非众数组的次数占总次数的比率。计算公
式：
V t
f fm
f
式中fm是众数组的次数。
用于衡量众数对一组数据的代表程度。异众比率越大， 说明非众数组的次数占总次数的比重大，众数的代表 性就越差，反之，代表性就越强。
不受极端值影响 具有不唯一性 据分布偏斜程度较大时应用
中位数 不受极端值影响
数据分布偏斜程度较大时应用
均值
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
众数、中位数和均值的关系
均值＜中位数＜众数 均值 = 中位数 = 众数
众数＜ 中位数＜ 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
小结：集中趋势的度量
比例
百分比 (%)
0.30 30 0.22 22 0.18 18 0.12 12 0.18 18
合计
50
1 100
解：这里的变量为“饮料 品牌”，这是个分类变量 ，不同类型的饮料就是变 量值
在所调查的50人中， 购买可口可乐的人数最多 ，为15人，占总被调查 人数的30%，因此众数为 “可口可乐”这一品牌， 即
由组距数列计算算术平均数：
某企业60个工人的月工资分组资料如下：
月工资 （元）
600以下
600-800
800-1000
10001200 1200以上
工人
组中
人数（人） 值（元）
f
x
6
500
14
700
26
900
10
1100
4
1300
人均月工资
＝ xf f
＝500 6 70014 900 26 110010 1300 4 6 14 2610 4
满意”这一类别，
10
即
合计
300
100.0
Mo＝不满意
某印染厂职工工资分组统计（等距式）
按月工资分组
人数
频率（%）
500以下
5
1.3
500-750
10
2.7
750-1000
61
16.6
1000-1250
72
19.6
1250-1500
120
1500-1750
86
1750以上
14
合计
368
32.6
23.4 3.8 110.0
某印染厂职工家庭人口分组统计（单项式）
按家庭人口数分组
职工户数
频率（%）
1
7
2.9
2
38
15.2
3
105
41.3
4
54
20.5
5
31
12.1
6
20
8.0
合计
255
100.00
4.1.2 中位数（Me）
概念：将各变量值顺序（升序或降序）排列， 居于中间位置的变量值即为中位数。
不适合分类数据。 确定方法：
1. 算术平均数（AVERAGE） 2. 调和平均数（HARMEAN） 3. 几何平均数(GEOMEAN) 4. 众数(MODE) 5. 中位数(MEDIAN) 6. 四分位数(QUARTILE) 7. 众数、中位数和算术平均数与总体分布的关系
4.2 离中程度（趋势）的度量
离中程度及度量的作用
离中程度就是各变量值偏离中心值的程度。 反映离中程度的指标叫标志变动度，也称 标志变异指标。
可用于顺序数据和数值型数据。
四分位数位置的确定方法：
QL的位置=（n+1）/4=（21+1）/4=5.5
QU的位置=3（n+1）/4 =3（21+1）/4=16.5
例：在某城市随机抽取21人，每天的收入（元）分别为： 17、18、20、20、25、25、28、29、30、35、35、36、 38、39、40、50、60、60、65、65、70。
Mo＝可口可乐
顺序数据的众数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 解：这里的数据为
回答类别
甲城市
顺序数据。变量为
户数 (户) 百分比 (%) “回答类别”
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
8
甲城市中对住
36 31
房表示不满意的户 数最多，为108户 ，因此众数为“不
15
4.1.6 几何平均数
1.计算公式
xg n x1.x2.x3......xn
2.适用场合：已知的变量值为比例，且各比例 之乘积为总比例，如求复利条件下的平均本利 率、特殊条件下的平均合格率、平均发展速度。
几何平均数的计算
某企业生产某产品要经过三个连续作业车间才能完成， 若某月份第一车间粗加工的合格率为95%，第二车间精 加工的合格率为93%，第三车间最后装配的合格率为 90%，则该产品的合格率为多少？
集中趋势的度量指标有： 众数、中位数、四分位数 算术平均数、调和平均数、几何平均数
各类指标的适用性
数据类型
分类数据 顺序数据 数值数据
适用指标
众数 众数、中位数 众数、中位数、均值、调和 平均数、几何平均数
4.1.1 众数（M0）
一组数据中出现次数最多的变量值称为众数。 特点：非唯一性。可能出现无众数、单众数或多众
计算公式：
x xf f
适用场合：经过分组而形成的单项数列或组距 数列。
由单项数列计算算术平均数（绝对数权数）
日产 量（件）
x 14
工人 人数 （人）
2f
15
4
16
8
17
5
总产量 （件）
xf 28
60
128
85
人均日产量
xf f
14 2 15 4 16 8 17 5 18 1
1) 简单算术平均数
1)计算公式
x x n
2)适用场合:没有分组的原始资料。 例：在某城市随机抽取21人，每天的收入（元）分别 为：17、18、20、20、25、25、28、29、30、35、35、 36、38、39、40、50、60、60、65、65、70。问：平 均每人每天的收入为多少？
2)加权算术平均数
＝52400 60
＝873.3（3 元）
根据组距数列计算的结果 只是一个近似值。想一 想：为什么？
合计
60
－
关于算术平均数的一些问题
1.次数又称为权数，权数起权衡轻重的作用； 2.权数有绝对数权数和相对数权数两种； 3.各组权数相等时，加权平均与简单平均的计算结果
相同。 4.加权算术平均数的变动受各组水平和次数变动的影
单项分布数列：求20名工人日产量的中位数
日 产量 （件） 14 x
15
16
17
18
合计
工 人人数 （人）
2f
4
8
5
1
20
向上累计 向下累计
人数
人数
2
20
6
18
14
14
19
6
20
1
－
－
排序：向上累计人数或向 下累计人数；
确定中间位置：（20+1）/2 ＝10.5位
确定中位数：第10.5位在 第三组，故他们日产量的 中位数是16件。
异众比率主要适合测度分类数据的离散程度，当然， 对于顺序数据和数值型数据也可以计算异众比率。
异众比率的计算
饮料品牌 频数
可口可乐 15
旭 日 升 冰 11 茶 百事可乐 9
汇源果汁 6
露露
9
合计
50
频率 （%） 30
22
18
12
18
100
异众比率=
（50-15）/50=70%
这说明在所调查的50人中， 购买其它品牌的人占70%， 异众比率较大，因此，用可 口可乐来代表消费者购买饮 料品牌的状况，代表性不是 很好。
极差＝70-17＝53（元） 表明这21人的日收入最大差距为53元。
4.2.3 四分位差
上四分位数与下四分位数之差就是四分位差，也称
为内距或四分间距，用Qd表示。计算公式： Qd = Qu - Ql
第4章 综合指标分析法（二）
主要内容
一、集中趋势的度量指标 二、离中程度的度量指标 三、偏态与峰态的度量指标
数据分布特征的测度
数据特征的测度
集中趋势
众数 中位数 四分位数
调和平均数 几何平均数 均值
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰态
4.1 集中趋势的度量
合计
60
-
-
4.1.3 四分位数
概念：一组数据由小到大顺序排列后，处于25%和75% 位置上的值，称为四分位数。
四分位数是通过3个点将全部数据等分为4个部分，其 中每部分包含25%的数据。很显然，中间的点就是中 位数，处在25%位置上的数值是下四分位数QL，处在 75%位置上的数值是上四分位数Qu。
1.排序 2.计算中间位置（n+1）/2 3.确定中间位置的变量值－－中位数 。
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 解：这里的数据为
满意程度
甲城市
顺序数据。变量为
户数 (户) 百分比 (%) “满意程度”
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
8
该城市中对住
36 31
房表示不满意的户 数最多，为108户 ，因此众数为“不
15
满意”这一类别，
10
即
合计
300
100.0
Mo＝不满意
顺序数据的中位数 （例题分析）
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
甲城市
回答类别
户数 (户)
百分 比
(%)
向上累积 户数 百分比 (户) (%)
向下累积
非常满意
3
6
3
6
满意
12 24 15 30
x n x .x .x ......x
g
123
n
3 95% 93% 90%
92.64%
各类指标的适用性
数据类型
分类数据 顺序数据 数值数据
适用指标
众数 众数、中位数 众数、中位数、均值、调和 平均数、几何平均数
4.1.7 众数、中位数和算术平均数的比较
众数、中位数和均值的特点和应用
众数