导数的概念与计算练习题带答案

精心整理

导数概念与计算

1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1-

B ．2-

C ．2

D ．0

2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的

坐标为（）

A 3 A 4 A 5 A 6 A 78．率为

9 （1）

1

()2ln f x ax x x

=--

（2）

2

()1x

e f x ax =

+

（3）21()ln(1)2

f x x ax x =--+

（4）cos sin y x x x =-

（5）1cos x

y xe

-=

（6）1

1

x x e y e +=-

10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，1

1ln(1)1

x x x -

≤+≤+． 11．设函数()b f x ax x

=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=． （Ⅰ）求()f x 的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形

12

导数作业1答案——导数概念与计算

1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1- B ．2-

C ．2

D ．0

选B ．

2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的

坐标为（） A

4x －1＝3选D 3 A 解：f ′（x 即ln 选B 4 A 选A 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（）

A ．sin x

B ．sin x -

C ．cos x

D ．cos x -

解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ，

f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ，

∴f 2013（x ）＝f ′2012（x ）＝cos x . 选C ．

6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（） A ．e -

B ．1-

C ．1

D ．e

解：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，得f ′（x ）＝2f ′（1）＋， ∴f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1. 选B

7程为8．率为

解：（19 （ （ （ （ ∵y ＝x cos x －sin x ，

∴y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . （5）1cos x y xe -= ∵y ＝x e 1－cos x ，

∴y ′＝e 1－cos x ＋x e 1－cos x （sin x ）＝（1＋x sin x ）e 1－cos x .

（6）1

1

x x e y e +=-

y ＝＝1＋∴y ′＝－2＝. 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，1

1ln(1)1

x x x -

≤+≤+． 解：（1）函数f （x ）的定义域为（－1，＋∞）． f ′（x ）＝－1＝

f ′（x ）与f （x ）随x 变化情况如下：

x （－1,0） 0 （0，＋∞）

f ′（x ） ＋

0 －

f （x ）

因此f （x ）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）． （2）证明 由（1）知f （x ）≤f （0）． 即ln （x ＋1）≤x

设h （x ）＝ln （x ＋1）＋－1 h ′（x ）＝－＝

可判断出h （x ）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增． 因此h （x ）≥h （0）即ln （x ＋1）≥1－. 所以当x >－1时1－≤ln （x ＋1）≤x .

11．设函数()b f x ax x

=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

（1）解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3， 当x ＝2时，y ＝.又f ′（x ）＝a ＋，于是 解得故f （x ）＝x －.

（2）证明 设P （x 0，y 0）为曲线上任一点，

由f ′（x ）＝1＋知，曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝（x －x 0）， 即y －＝（x －x 0）．

令x ＝0得，y ＝－，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为.

令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0,2x 0）． 所以点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为|2x 0|＝6.

12 解 f ′（x （2(0)1f =222(2)4241f e e e =+-=-<所以，2min ()(2)4f x f e ==-

故24m e <-．