数学抽象概括方法概论
浅谈数学教学中的抽象概括能力
缺乏实践应用，学生难以理解
此处输入你的智能图形项正文
引入多种教学方法，提高教学效果
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增加抽象概括能力培养的课时和内容
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制定系统性的培养方案，确保学生全面发展
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加强实践应用，帮助学生理解抽象概念
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反思总结，巩固抽象概括能力
练习巩固，应用抽象概括的成果
实践应用：通过实践活动，让学生将抽象概括的成果应用到实际生活中，提高数学实践能力。
练习巩固：通过大量的练习题，让学生熟练掌握抽象概括的方法和技巧，加深对数学概念、定理、公式的理解和记忆。
Hale Waihona Puke 应用抽象概括的成果：将抽象概括的成果应用到实际问题的解决中，让学生学会用数学思维去分析问题、解决问题，提高数学应用能力。
注重实践操作，避免纸上谈兵
避免纸上谈兵，要让学生在实践中学习和掌握知识
实践操作有助于加深对抽象概念的理解
通过实际操作，学生可以更好地掌握抽象概括能力
实践操作是培养抽象概括能力的重要途径之一
及时反馈评价，激励学生进步
引导学生积极参与课堂讨论，促进思维碰撞和交流
关注学生的个体差异，提供有针对性的指导和帮助
及时给予学生评价和反馈，帮助他们了解自己的学习情况和进步
激励学生不断努力，激发他们的学习动力和自信心
06
总结与展望
总结数学教学中抽象概括能力培养的经验与成果
经验总结：通过具体案例和实践经验，总结出数学教学中抽象概括能力培养的方法和策略。
成果展示：展示学生在数学教学中抽象概括能力培养方面的成果，包括优秀作业、课堂表现等。
抽象与概括
第五章抽象与概括一、抽象与概括内容概述我们现在来进行第五章的学习指导。
在这一章我们主要介绍了两种数学思想方法，抽象方法和概括方法。
抽象和概括是两种非常重要的数学方法，任何数学概念、数学命题、数学理论的形成都离不开抽象和概括。
首先我们来回顾这一章所讲的主要内容。
我们把这一章内容分成三部分来进行小结，即● 抽象方法；● 概括方法；● 抽象和概括之间的关系。
1．抽象方法● 抽象的含义抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。
这里的关键词有两个，抽取和舍弃，抽取的是事物的本质特征，是我们要给予单独考察的。
而舍弃的是事物的非本质特征。
比如在几何中学习“角”的概念时，就要分析组成“角”的各种特征，将非本质特征——形状、位置、角度等与本质特征——端点、射线区别开，并把本质特征抽取出来，这就是抽象过程。
再通过概括，形成了角的概念。
“角是由一个端点引出的两条射线所组成的平面”。
再如，建立数学模型。
数学模型通常是为解决实际问题而建立的。
实际问题又叫原型。
通常原型包含了很多复杂因素，很多关系。
而在建立数学模型过程中，我们就要把原型中很多次要的、非本质的因素去掉，而提取出问题的最本质的因素和联系，这就是一个抽象过程。
抽象的意义就在于，通过抽象能透过事物的表面现象抓住事物的本质。
我们知道，任何事物都有它的现象和本质。
现象是表面的形态和外部的联系；本质指事物内在的性质和内在联系。
事物的现象往往不能正确地反映事物的必然规律，事物的本质则能反映事物的必然规律，但不易为人们直接感知。
因此我们要用科学抽象方法来透过事物的现象获得它的本质，并用概念、原理、规律的形式描述和固定下来。
● 抽象过程抽象过程是非常复杂的。
但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即比较和区分、舍弃和收括。
其中，比较和区分是抽象过程的基础。
我们知道，抽象是要抽取同类事物的共同的本质属性，因此抽象首先就要找到同类事物的本质属性，这是通过比较和区分环节完成的。
初中数学学习的抽象表达技巧(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学学习的抽象表达技巧抽象表达技巧是初中数学学习中至关重要的能力。
它不仅可以帮助学生更好地理解和解决问题，还能够提高他们的数学思维水平。
在这篇文章中，我们将深入探讨初中数学学习中的一些抽象表达技巧，并探讨如何有效地应用它们。
一、理解数学概念的本质在初中数学学习中，理解数学概念的本质是掌握抽象表达技巧的第一步。
学生需要通过观察、思考和归纳，深入了解数学概念的内涵和外延。
例如，在学习了“平行线”这一概念后，学生应该明白平行线的本质特征是两条直线在同一平面内，且不相交。
这一概念的理解不仅可以帮助学生解决与平行线相关的问题，还能够为后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。
二、运用符号语言在初中数学学习中，运用符号语言是表达数学概念和关系的重要手段。
学生需要熟练掌握各种数学符号的含义和用法，例如加减乘除符号、等于号、不等号等。
通过运用符号语言，学生可以更准确、简洁地表达数学概念和运算规律。
例如，学生应该知道“a+b”表示两个数a和b的和，"a*b“表示两个数a和b的乘积。
此外，学生还应该掌握代数表达式和方程的写法，例如”ax+b=0"表示一个一次方程。
三、运用图形语言在初中数学学习中，运用图形语言可以帮助学生更直观地理解和表达数学概念。
学生需要熟练掌握各种几何图形的特征和性质，并能够运用图形语言来解决问题。
例如，学生应该知道矩形的对角线相等，三角形的内角和为180度等。
通过运用图形语言，学生可以更直观地理解和证明数学定理和公式。
例如，学生可以通过绘制图形来证明“勾股定理”。
四、运用逻辑推理在初中数学学习中，运用逻辑推理是解决数学问题的关键。
学生需要熟练掌握各种逻辑推理方法，例如归纳推理、演绎推理和类比推理等。
通过运用逻辑推理，学生可以从已知事实出发，得出新的结论和解决方案。
例如，学生可以通过归纳推理来证明“等差数列的求和公式”。
五、培养数学思维习惯在初中数学学习中，培养数学思维习惯是提高抽象表达技巧的重要途径。
国开期末考试《数学思想与方法》简述抽象和概括的区别
国开期末考试《数学思想与方法》简述抽象和概括的
区别
抽象与概括是数学思想方法的最基本内容之一。
抽象指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普通的、必然的本质属性，形成科学概念，从而掌握事物的本质和规律.概括指的是在认识事物的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。
一般的，人在思维过程中把客观事物某一些放马的特征与其它特征分开来给予单独考虑的。
抽象是与具体相对应的概念，具体指的是事物的多种规定性的总和，因而抽象可以理解为在具体事物的多种性质中舍弃一些性质，而“固定”另一些性质的思维活动。
此处的“固定方法”指的是概念、范畴、判断和理论等思维形式，也就是抽象方法。
抽象对于帮助认识现实世界有重要的意义，对数学知识的学习也很重要。
我们说的数学深深地影响现实世界时，所指的就是抽象的思维过程和抽象的思维方法对我们描述现实世界的改善。
在数学学习的过程中，“抽象的过程”、“抽象的方法”对我们理解和应用数学知识方面有很大的促进。
数学中的抽象、概括与归纳问题
数学方法的概括与统一
01
方法的抽象
数学方法是从具体问题中抽象出来的解决策略。通过对不同问题的解决
方法进行总结和提炼，可以形成具有普遍指导意义的数学方法。
02
方法的统一
在数学中，许多不同的方法往往可以归结为同一种更一般的方法。这种
统一的过程体现了数学方法的概括性。
03
方法的应用与推广
概括后的数学方法可以应用于更广泛的问题领域，甚至在其他学科中也
课程内容
课程将涵盖数学抽象性的概念与特性、抽象思维方法在数学中的应 用、概括与归纳的原理和方法等内容。
教学方式
通过讲解、案例分析、实践练习等方式，帮助学生理解和掌握数学 中的抽象、概括与归纳方法。
02
抽象思维在数学中的应用
数字的抽象
自然数的抽象
自然数是数学中最基础的抽象概念之 一，通过对物体的数量进行抽象，形 成了自然数的概念，使得数学可以进 行数量的计算和推理。
抽象的作用
数学的抽象性使得数学能够深入 研究各种现象的本质，发现一般 性的规律和原理，进而应用于广
泛的实际问题中。
抽象的例子
例如，数学中的群论抽象地研究 对象的对称性和变换性质，不依 赖于具体对象的物理属性和空间
形态。
抽象、概括与归纳在数学中的作用
抽象的作用
抽象能够帮助我们抓住事物的本 质特征，舍弃次要因素，从而更
归纳法在证明中的应用
Байду номын сангаас证明恒等式
01
通过归纳法，可以方便地证明一些与自然数n有关的恒等式，如
算术几何不等式、二项式定理等。
证明整除性质
02
归纳法常用于证明与自然数有关的整除性质，如费马小定理、
欧拉定理等。
论数学教学中的概括和抽象
论数学教学中的概括和抽象作者：陈千金来源：《西江文艺·下半月》2015年第05期【摘要】：在数学教学中，概括与特殊化、抽象与具体化、分析与综合是非常重要的研究方法，在此过程中融合成一个整体，在思维过程中互相作用，互相渗透。
在向学生进行解答习题的教学过程中，对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，指导学生经过分析进行概括，通过抽象认识具体，使学生很快掌握同类问题的一般处理方法。
【关键词】：数学教学 ;概括 ;特殊化 ;抽象 ;具体化在向学生进行解答习题的教学过程中，经过分析进行概括，通过抽象认识具体问题具有很大的意义。
对于内容相当丰富的习题仔细地进行分析，有可能使学生很快掌握一类问题的一般解法。
在传统的教学法中，通常是利用对许多特殊的问题进行分析和比较的办法来掌握一般的解题方法的，也就是在经验的基础上进行概括。
一、概括在数学中的应用在数学学习进行概括时，在思维中会显现属于对象集合而且将这些对象结合任一起的某一种性质。
例如，在学习等差数列通项（即第n项）公式时，先讨论几个具体的例子;根据等差数列的首项和公差计算它的一些项。
在进行这些计算时，学生用到下列等式：a2=a1+d;a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d;a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，等等。
自然，由这些式子概括为一个公式an=a1+（n-1）d是有用的，因为利用它可以得到计算等差数列任意项的比较简单的方法。
以后，当我们把任一等差数列看作是自变量为自然数的线性函数时，这个公式还会得到新的概括：y=kx+b。
概括是由给定的对象集合进到讨论“容量”更大且包含前者的集合的中间过程。
例如，当我们由讨论自然数集过渡到讨论正分数集时。
我们就是在进行概括。
下面两种情况可以导致概括：1）将某一固定的对象换成可变的对象;2）取消对被研究的对象所加的限制。
二、数学概括与特殊化过程与概括的过程紧密相连的特殊化过程，是在思维中从被研究的对象的各种性质中分离某一种性质。
抽象代数如何归纳总结
抽象代数如何归纳总结抽象代数（Abstract Algebra）是数学中重要的一个分支，研究代数结构和其上的运算。
它将代数学中的不同概念和方法进行抽象化，从而形成一种统一的理论框架。
本文将介绍抽象代数的基本概念和主要内容，并分享如何归纳总结这门学科。
一、抽象代数的基本概念抽象代数的基本概念主要包括集合、运算、代数结构和运算性质等。
其中，集合是抽象代数的基石，运算是集合上的一种二元操作，代数结构是指包含了一组集合和定义在集合上的运算的数学对象。
在抽象代数中，常见的代数结构有群、环、域等。
1.1 集合在抽象代数中，集合是由一些元素组成的，可以是有限个或无限个。
代数学中的集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。
集合之间可以进行加、减、交、并等操作。
1.2 运算运算是指将集合中的元素进行操作得到新的元素的过程。
常见的运算包括加法、乘法、减法、除法等。
在抽象代数中，运算符号一般用"+"、"×"表示。
1.3 代数结构代数结构是指一个集合及其上的一组运算所构成的数学对象。
常见的代数结构有群、环、域等。
群是指一个集合以及在该集合上定义的一个满足一定性质的二元运算所组成的代数结构。
环是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法）所构成的代数结构。
域是指一个集合及其上的两个运算（加法和乘法），并满足一定性质的代数结构。
1.4 运算性质在抽象代数中，运算有一些特殊的性质，如交换律、结合律、单位元素、逆元素等。
交换律指运算顺序不影响结果，结合律指运算可以按任意顺序进行结合，单位元素是指某种运算下存在一个特定元素使得与其他元素进行运算后结果不变，逆元素是指对于某种运算下的元素，存在一个元素与之相乘（或相加）后得到单位元素。
二、抽象代数的主要内容抽象代数的主要内容包括群论、环论和域论。
这三个学科分别研究了代数结构中的群、环和域。
2.1 群论群论是抽象代数中最基础的一个分支，研究了代数结构中的群及其性质。
数学思想之数学抽象
例“圆”是在“点”、“距离”、“轨迹” 等概念及“相等”等关系的基础上,明确“定义” 逻辑地构建出来的. （3）数学抽象程度的高度性. A.多层次抽象;B.远离现实模型.
3.数学抽象的两个具体方法
（1）强抽象
从事物具有的若干属性中,强化或者添加某些属 性的抽象称为强抽象.
lim
t0
s t
.
例2.导数概念是高度抽象的结果
二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、曲线的 斜率以及电流的强度等概念进行抽象.
一级亚抽象 函数 y f ( x), x [a, b]；
二级亚抽象 x x x0，y f ( x) f ( x0 ), x0 [a, b]；
三级亚抽象 函数的平均变化率，y = f ( x0 x) f ( x0 )；
x
x
四级亚抽象
导数
f ( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
数学抽象
数学思想方法简介
1.何谓数学抽象
何谓抽象,是指舍弃事物的个别的、非本 质的属性,抽取出本质属性的过程和方法.
数学抽象,是一种特殊抽象,是仅仅从 事物的量的属性进行抽取的抽象.
2.数学抽象的特点
（1）数学抽象内容的量的特定性. 仅仅从量的方面抽取,即只着眼于事物存在的
数量关系和空间形式.有别于其他科学. （2）数学抽象方法的逻辑建构性.
一组对边 平行
两组对边 平行
对角相等
对边相等
任意四边形
梯形
平行四边形
矩形
(2)弱抽象
从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的 抽象称为弱抽象.
高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨
高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨抽象概括能力是指学生通过观察事物的共性，从具体到抽象，从特殊到一般的认识过程，将所学知识和技能应用到新问题中的能力。
在高中数学教学中，培养学生的抽象概括能力具有重要的意义。
抽象概括能力对于学生的创新思维和解决问题的能力有着积极的影响。
抽象概括能力使学生能够将所学知识应用到实际问题中，通过寻找问题的共性和规律，构建解决问题的思路和方法。
在几何证明中，学生需要通过观察、发现和推理，抽象出问题的一般性质，从而解决特殊的几何问题。
这种能力的培养有助于提高学生的问题解决能力和创新思维。
抽象概括能力对于学生的学习兴趣和数学素养的培养也具有重要的作用。
在数学教学中，过多的拘泥于具体的计算和问题解决方法，容易使学生产生枯燥和乏味的感觉。
而通过培养学生的抽象概括能力，将数学知识与实际问题联系起来，有助于培养学生对数学的兴趣和理解。
这种能力的培养也可以提高学生运用数学知识解决问题的能力，提高数学素养。
在高中数学教学中，应注重培养学生的抽象概括能力。
可以通过以下几个方面来实施：注重培养学生的观察力和思维能力。
通过鼓励学生多观察、多思考，引导学生发现问题的共性和规律。
在数列问题中，让学生通过观察数列的前几项，找出规律，并通过抽象概括出数列的通项公式。
注重培养学生的实际应用能力。
在数学教学中，引入实际问题，让学生将所学知识和技能应用到实际问题解决中。
在函数问题中，可以引导学生通过抽象概括出函数的特性和变化规律，并运用函数概念解决实际问题。
抽象概括能力的培养对于学生的综合素质和发展有着重要的作用。
高中数学教学应注重培养学生的抽象概括能力，通过观察、实践和思考，培养学生的逻辑思维、创新思维和问题解决能力，提高学生的数学素养和兴趣。
教师也应注意设计合适的教学方法和任务，引导学生积极参与学习，主动探索和思考，提高抽象概括能力的培养效果。
高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨
高中数学教学中学生抽象概括能力的培养探讨高中数学作为学生必须学习的一门课程，不仅仅是为了掌握一些具体的数学知识和技能，更重要的是培养学生的抽象概括能力。
高中数学教学中如何有效地培养学生的抽象概括能力成为一个备受关注的话题。
本文将围绕这一话题展开讨论，并提出一些教学策略和方法，以便更好地帮助学生培养抽象概括能力。
我们需要明确什么是抽象概括能力。
抽象概括能力是指学生在处理具体问题时，能够运用一般化、概括化的思维方式，抽象出问题的本质，并将问题归纳为一般性的结论或规律。
这种能力不仅要求学生有良好的逻辑思维能力，更重要的是要求学生具备较强的观察、归纳和总结能力，能够在具体问题中发现普遍规律，进而举一反三，灵活运用所学知识解决新问题。
那么，在高中数学教学中，如何培养学生的抽象概括能力呢？教师在教学中应该注重培养学生的观察和总结能力。
传统的数学教学往往强调运用公式和方法，忽视了培养学生的观察和归纳能力。
而观察和归纳正是培养抽象概括能力的重要手段。
教师可以通过举一反三的例子，引导学生从具体问题中发现普遍规律，使学生明白抽象概括不是脱离具体而空泛地提出一般性规律，而是在具体问题中深入思考，总结出普适的结论。
教师还可以通过启发式教学方法培养学生的抽象概括能力。
启发式教学是一种让学生在解决问题中自主发现规律的教学方法，它可以激发学生的求知欲和探索欲，培养学生的自主学习能力和创新能力。
在高中数学教学中，教师可以设计一些启发性的问题和案例，引导学生主动探索，并通过自己的思考和总结，发现数学问题背后的规律和本质，从而逐渐培养学生的抽象概括能力。
高中数学教学中培养学生的抽象概括能力是至关重要的。
只有通过引导学生进行观察、归纳、总结，启发学生主动探索，设计实际问题解决活动，推动学生进行探究式学习，才能有效地培养学生的抽象概括能力。
希望本文提出的教学策略和方法能够为高中数学教学中培养学生的抽象概括能力提供一些参考。
高中数学教学中培养学生的抽象概括能力是一项长期而艰巨的任务。
论文分析：数学抽象与概括方法
论文分析：数学抽象与概括方法论文分析：数学抽象与概括方法所谓抽象，是指从复杂的事物中，排除非本质属性，透过现象抽出其本质特征的思维过程，通过科学的抽象，人们就能更深刻、更正确、更完全地把握事物的内部联系和本质特性。
抽象是数学中常用且不可少的思维方法。
所谓概括，就是将个别事物的本质特征综合起来推广到同类事物的思维过程。
在数学中概括是构成概念的一种重要方法，它和抽象相互联系，密不可分。
事实上，数学中的任何一个数、一个算式、一种运算、每个概念、公理、定理、法则和有关的数学模型，无一不是抽象、概括的结果。
其中，大多数概念是从直接观察事物的现象中抽象出来的。
它是对事物所表现出来的特征的抽象，故称之为“表征性抽象”。
如点、线、面、体、正方形、立方体、回转体等均属此类。
而数学公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基础上形成的一种深一层的抽象，它揭示了事物的因果性和规律性联系，故称之为“原理性抽象”。
至于与抽象相联系的概括，在数学中常常用于把某类事物的部分个体所具有的特性推广到该事物的全体上去，或是把某个特定领域的规律推广到其它领域中去。
这种概括称之为“外推性概括”，对于数学概念，则常常是采取由对单一的某个事物的认识，直接上升概括为一种具有普遍性规律的认识，这种概括称之为“上升性概括”。
由于我们数学学习所认识的对象，主要是已经被前人抽象、概括了的间接知识，尽管它们无需我们再去抽象、概括，但是我们必须要在数学的学习过程中，去分析、研究，弄清它们是如何抽象、概括出来的，不仅仅限于去学习这些知识，重要的是要去学习这种抽象概括的思想方法，必须学会摆脱具体内容，从各种概念、关系运算、定理的.结构中去分析，被扬弃的非本质属性是哪些？抽出的本质特征又是什么？又是怎样去概括这些本质特征的？自己也可以选择一些适当的事物做这种抽象、概括方法的训练，通过这样的深究分析，便可在学习活动中逐步培养抽象、概括的能力。
下面，我们看一个对现实世界中的具体问题，通过抽象、概括归结出一个相应的“数学模型”的生动、有趣的典型例子。
数学抽象知识点总结
数学抽象知识点总结数学抽象的历史可以追溯到古希腊时期，当时数学家们开始研究数学的一般性质和规律，而不仅仅局限在具体的数值上。
随着时间的推移，数学抽象逐渐发展成为一门独立的学科，并产生了许多重要的理论和应用。
数学抽象的主要内容包括抽象代数、抽象几何、数学分析等，这些内容在数学理论和工程应用中都发挥着重要的作用。
本文将对数学抽象的相关知识点进行总结，以帮助读者对这一领域有更深入的了解。
一、抽象代数抽象代数是数学抽象的一大分支，它研究的是各种代数结构及其共性和变体。
在抽象代数中，代数结构是研究的核心，它包括了群、环、域、向量空间等概念。
1.1 群群是抽象代数中的一个重要概念，它描述了一种代数结构，包括了一个集合与一个二元运算。
具体的定义是：若一个集合G与一个二元运算*满足以下条件，则称(G,*)为一个群。
（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，都有a*b∈G。
（2）结合律：对于任意的a、b、c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。
（3）单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
（4）逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
群的定义为我们提供了一种一般性的代数结构，它可以描述很多不同的数学对象，比如整数集合、矩阵集合等。
在实际应用中，群的相关理论被广泛应用于密码学、物理学等学科。
1.2 环环是另一个重要的代数结构，在群的基础上增加了一个乘法运算。
具体的定义是：若一个集合R与两个二元运算+和*满足以下条件，则称(R,+，*)为一个环。
（1）加法运算满足交换律。
（2）R关于+满足结合性、单位元和逆元。
（3）乘法运算满足结合性。
（4）乘法对加法有分配律。
环的概念运用非常广泛，例如在数论、代数几何等分支学科中都有重要的应用。
1.3 域域是环的扩展，它是一种具有更多性质的代数结构。
具体的定义是：若一个集合F与两个二元运算+和*满足以下条件，则称(F,+，*)为一个域。
数学抽象与概括方法
物理学一班李密学号：200907051112数学抽象与概括方法所谓抽象，是指从复杂的事物中，排除非本质属性，透过现象抽出其本质特征的思维过程，通过科学的抽象，人们就能更深刻、更正确、更完全地把握事物的内部联系和本质特性。
抽象是数学中常用且不可少的思维方法。
所谓概括，就是将个别事物的本质特征综合起来推广到同类事物的思维过程。
在数学中概括是构成概念的一种重要方法，它和抽象相互联系，密不可分。
事实上，数学中的任何一个数、一个算式、一种运算、每个概念、公理、定理、法则和有关的数学模型，无一不是抽象、概括的结果。
其中，大多数概念是从直接观察事物的现象中抽象出来的。
它是对事物所表现出来的特征的抽象，故称之为“表征性抽象”。
如点、线、面、体、正方形、立方体、回转体等均属此类。
而数学公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基础上形成的一种深一层的抽象，它揭示了事物的因果性和规律性联系，故称之为“原理性抽象”。
至于与抽象相联系的概括，在数学中常常用于把某类事物的部分个体所具有的特性推广到该事物的全体上去，或是把某个特定领域的规律推广到其它领域中去。
这种概括称之为“外推性概括”，对于数学概念，则常常是采取由对单一的某个事物的认识，直接上升概括为一种具有普遍性规律的认识，这种概括称之为“上升性概括”。
由于我们数学学习所认识的对象，主要是已经被前人抽象、概括了的间接知识，尽管它们无需我们再去抽象、概括，但是我们必须要在数学的学习过程中，去分析、研究，弄清它们是如何抽象、概括出来的，不仅仅限于去学习这些知识，重要的是要去学习这种抽象概括的思想方法，必须学会摆脱具体内容，从各种概念、关系运算、定理的结构中去分析，被扬弃的非本质属性是哪些？抽出的本质特征又是什么？又是怎样去概括这些本质特征的？自己也可以选择一些适当的事物做这种抽象、概括方法的训练，通过这样的深究分析，便可在学习活动中逐步培养抽象、概括的能力。
下面，我们看一个对现实世界中的具体问题，通过抽象、概括归结出一个相应的“数学模型”的生动、有趣的典型例子。
数学中的抽象与概括
数学中的抽象与概括在数学领域中，抽象与概括是一种重要的思维方式和方法，它们帮助我们将具体的问题转化为普遍适用的规律和定理。
通过对数学对象进行抽象和概括，我们可以更好地理解数学的本质，并且应用于更广泛的领域中。
一、抽象的数学概念数学中的抽象是指对具体事物、对象或现象进行简化和提炼，去除多余的细节和特殊情况，从而得到适用于一类事物的普遍规律。
抽象使我们能够将问题从具体的个体转化为一般的模式，以便更好地研究和理解。
1. 数字的抽象：在数学中，我们将自然数1、2、3...抽象为整数的概念，整数包括正整数、负整数和零。
然后我们进一步抽象整数，引入有理数的概念，包括分数和整数的比值。
最终，我们通过实数的抽象，将有理数和无理数统一起来，形成了数轴上的一般点。
2. 几何的抽象：几何学是研究空间和形状的学科，其中抽象是一种基本的思维方式。
在几何学中，我们将实际的物体和形状抽象为几何图形，如圆、矩形、三角形等。
通过几何的抽象，我们可以发现各种形状之间的普遍特性和规律，如平行线、相似三角形等。
3. 代数的抽象：代数学是数学的一个重要分支，其中的抽象思维更为突出。
在代数中，我们对实数和变量进行抽象，使用字母和符号来表示未知数和运算关系。
通过代数的抽象，我们可以解决未知数的方程、推导数列的通项公式等问题。
二、概括的数学原理概括是在抽象的基础上，进一步归纳总结规律和定理的过程。
通过概括，我们可以发现普遍的数学规律，并应用于解决更加复杂的问题。
1. 比例的概括：比例是数学中的一种基本关系，通过概括，我们可以推广比例的性质和运算规律。
例如，我们可以将简单的比例关系推广为百分数和比例相等的概念。
在实际应用中，比例的概括能够帮助我们解决各种计算问题，如商业中的利润率、增长率等。
2. 函数的概括：函数是数学中的一种重要工具，通过概括函数的性质和特点，我们可以推广到更一般的函数类型。
例如，线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
通过概括函数的概念，我们可以研究函数的图像、性质和变化趋势，进而解决实际问题。
浅谈数学中抽象概括能力
浅谈数学中抽象概括能力作者：李高歌来源：《新教育时代·学生版》2016年第28期摘要：在数学的学习中，我们所接触的那些数学概念或者原理都是从客观存在的事物中抽象概括出来的，因此，在数学学习中，掌握抽象概括能力是学好数学的基础，也是必须。
数学抽象概括能力是一种高层次的的数学思维能力，它具体又包括从一般现象中发现差异的能力、将各种现象相互联系的能力、准确的发现问题的核心和本质的能力、把具体的问题抽象为数学模型的能力等，这些能力都是数学学习中不可或缺的能力，只有掌握了这些能力，才能准确的发现问题、理解问题、解决问题[1]。
因此，帮助学生们在数学学习中养成抽象概括能力是十分重要的。
关键词：数学抽象概括意义策略数学是一门理解性很强的学科，其中的空间几何等内容都具有很强的抽象性。
这些内容单凭老师的讲述，无法达到教学的效果，学生们也掌握不到其中的精华。
学生们要想在数学学习中掌握主动权，而不是被动的接受，就要培养自己的抽象概括能力，在特殊问题的讲述中归纳总结共性，掌握问题的实质，这样才能帮助自己更好的解决数学问题[2]。
高中数学是数学学习的另一个升华阶段，更多抽象的知识需要学生们去理解掌握，因此高中生培养起自己的数学抽象概括思维也是大势所趋。
一、抽象概括能力在数学学习中的意义1.提高学生的逻辑思维水平数学学习不是简简单单的写写背背就可以完成的事情，它是一门逻辑性很强的学科，从问题中的一句话就要考虑到如何将这句话的内容应用到解题中，这句话在解题过程中扮演着什么样的角色。
因此在数学学中，拥有抽象概括能力是很重要的，拥有了这种能力，学生们就可以通过自己的思考，找到题目中的逻辑关系，然后再将概括出来的这些逻辑要点进行逻辑串联进而总结归纳出问题的实质，形成一套自己的解题思路。
在以后解决相类似的问题时就能经过快速的逻辑思考进行解答，提高自己的做题效率与准确率的同时，也提高了自己的逻辑思维水平。
2.深入掌握知识数学学习是一项复杂的工作，高中数学学习更加复杂。
42抽象与概括
第二节抽象与概括一、抽象与概括在小学数学教学中的体现在小学数学教学中，概念的形成、运算定律的归结都离不开抽象与概括这一数学思想方法。
如一年级1~10数的认识，四年级各种运算定律的教学，五年级“数的整除”各种数概念的教学等等都是通过抽象与概括进行教学的。
二、抽象与概括的基本知识1、抽象与概括的含义及其过程（1）抽象的含义及其过程抽象是在头脑中把同类事物的共同的、本质的特征抽取出来，并舍弃个别的、非本质特征的思维过程。
抽象过程是非常复杂的，但大多数的抽象过程基本都涉及到这四个环节，即比较和区分、舍弃和收括。
所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。
然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。
这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。
例1 质数、合数概念的形成。
通过对自然数能否被其他数整除作比较，发现有些自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除；有些自然数除了能被1和自身外还能被其他数整除；而1只能被1整除。
这样通过比较区分，就把最初所考察的对象自然数分成了3类。
进一步舍弃掉具体的除法运算等性质，收括一个自然数被其他自然数整除个数的性质，分别形成了质数和合数的概念。
（2）概括的含义及其过程概括就是把个别事物的某些属性推广到同类事物中去或者总结同类事物的共同属性的思维过程。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的是某类对象的共同本质；扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的共同点推广到包括这些对象的一类更广泛的对象的共同本质，这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。
例2由计算知1+2=3=1+2+3=6=1+2+3+4=10=…………1+2+3+…+19+20=210=通过对以上19个算式的比较区分可得出一个共同点；连续若干个从1开始的自然数的和等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。
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数学抽象概括方法概论
田伟040109104
数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，这恐怕与教育愈来愈重视人的能力的培养与素质提高有着密切的练学好数学有着非常好的促进作用。
中学数学所涉及的数学方法很广，主要有抽象方法，划归方法，数形结合方法，数学模型方法，数学归纳猜想方法，演绎法，分类法，类比法，特殊化方法，换元法，待定系数法，配方法等。
本文将主要对数学抽象方法进行分析和探究，加深对数学抽象方法的认识以及更好的掌握这种方法。
一：数学抽象的基本原则
（1）数学抽象的基本准则：模式建构形式化原则
在严格的教学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观
意义，我们都只能依据相应的定义区进行(演绎)推理，而不能
求助于直观。
从而，在这样的意义上，数学的抽象就是一种构
造性的活动，数学研究对象正是通过这种活动逻辑得到“构造”
的
○1理想化
理想化抽象就是通过对实际事物或一些客观现象进行比较。
理想的概念化，并确定一定的彼此关系。
理想化的抽象列子很多，比如通常从几何角度讲的圆，直线，都是理想化的，实际生活中的圆，直线，三角形与理想情况相比较都是错误的，都是近似的。
所以说数学抽象都是一个理想化的过程，比如说生活中根本找不到没有“大小的
点”和“没有宽度的线”等。
○2模式化
数学对象的“逻辑构建”还是一个“模式化”即“重新构造”的过程。
由于数学对象的逻辑建构是借助于纯粹的数学语言得意完成的，因此，相对于现实模型而言，通过数学抽象而形成的数学概念机概念体系就具有更为普遍的意义。
它所反映的已不只是这一特定的事物或现象的量性特征，而是一类事物在量的方面的共性特征。
也正是这样，数学的研究对象就应当被看成是一种（量化）模式。
正如White Head所指出的：“数学就是对模式的研究”。
二：数学抽象方法的孕育和应用
○1代数中的孕育点
通过若干个正数，负数以及零在数轴上的点到原点的距离，概
括出有理数的绝对值概念：a a a>0
0 a=0 -1 a<0
当
当
当
有（+4）+（+3）=+7；
（-4）+（-3）=-7；
分别概括出两个符号相同的加减的符号与和的符号的关系，以及加数的绝对值与和的绝对值的关系，从而得到同号两数相加的和的符号规律和绝对值规律
由（-4）+（-3）=+1，
（-4）+（+3）=-1
分别概括出符号相异的加数的符号与和的符号的关系，以及加数的绝
对值与和的绝对值的关系，从而得到异号两数相加的和的符号规律和绝对值的规律。
由（-4）+0=+4，
（-4）+0=-4；
概括出一个数与零相加，仍得这个数。
最后综合起来得到：有理数的加法法则。
○2常见的抽象方法有三种：○1等价抽象；○2理想化抽象○3可能性抽象。
（1）等价抽象
在思维中把同类研究对象的共同属性抽象出来而舍弃其他非共
同属性，这样的抽象就是等价抽象。
例如，两个三角形，若它
们的对应角相等，对应边成比例，那么，这样的两个三角形具
有相同的形象，把三角形的这种对应关系以及形象相同的特点
抽象出来，就得到相似三角形的概念。
这就是等价抽象。
一般的，等价抽象的对象都具有3个重要性质○1自反性，例如，
ABC A B C
:，则
∆∆
:。
○2对称性，例如，''' ABC ABC
∆∆
∆∆
:，
ABC A B C
:，○3传递性，例如，''' '''
A B C ABC
∆∆
∆∆
:。
ABC A B C
'''''''''
A B C A B C
∆∆
:，则''''''
（2）理想化抽象
所谓理想化抽象，是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非
就是客观事物本身存在的东西，而是从实际事物分离出来的经
过思维加工的来的，甚至是假想出来的。
例如，几何中的“点”，
“直线”，“平面”等抽象概念，在自然界是不存在的，那是人
们“假想”出来的理想化概念。
在数学中，在原有的研究对象中引入理想化的元素，往往可创
造出新的数学理论。
例如，我们知道，在实数系中解方程会遇
到负数开偶次方的问题，人们在实数的基础上引入理想化的元
素----虚数，把虚数和实数一起进行运算，这样，不仅使“负数
开偶次方”问题得到解决，而且使方程论化繁为简。
有了复数，就得到“一元n次方程必有n个根”等结论。
其后还进一步发
展处复变函数理论。
理想化抽象对数学的发明创造有重要的意义。
（3）可能性抽象
在数学中，我们常常研究各种抽象对象的无限集合，如自然数
列等，要把原来有限的集合无限的延伸，就要把我们认识客观
事物在时间，空间中的局限性舍去，而从实践的观点来看，能
够实现的过程必须是有限的步骤，实际上，任何人都不可能把
再燃数列延伸到无限的境地。
但我们知道，如果能够把自然数
延伸到自然数n，那么必能写出自然数n后面一位自然数n+1.
因此，我们可认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性，
简称可能性，把这种性质抽象成为无限延伸概念的特殊方法是
一种潜在可能性的抽象方法，简称可能性抽象，在数学中，无
限小，无限大，权限等概念都是有这种抽象方法得来的。
三．抽象方法的应用
例1.格尼斯堡七桥问题：如图，格尼斯堡有一条大河横管城中，河中有两个小岛，把城区分为A,B,C,D四个地区，在地区之间共建了七座桥，试问：能否从某地出发经过每一座桥一次又不许重复的返回原地。
瑞士数学家欧拉在1736年把这个问题抽象成一笔画问题并解决了此问题。
七桥问题等价于图中从某一点出发，不重复的经过每条边一次而返回出发点，欧拉证明了一个网络是一笔画的充要条件为：它联通并且奇次点（即与该点关联的边是奇数条）的个数等于0或2，由于上图中A,B,C,D都是奇次点，所以答案是否定的，在这个列子中，把实际问题抽象成纯数学问题（数学模型）来进行研究的，从而获得了解决这类问题的方法（数学模型方法）
例：海滩上有一对苹果是5只猴子的财产，它们要平均分配，第一只猴子来了，把苹果分成5堆还剩一个，然后他把剩下的那个苹果仍到海里，自己拿了一堆，第二只猴子来了，又把苹果分成5堆，又多出1个，它又把多出的那个苹果扔到海里，拿走一堆，以后每只猴子都照做，问原来至少有多少苹果？最后至少有多少苹果？
列方程解应用题就是抽象分析法的一个具体应用，解决上述问题
就是通过对问题进行具体分析，从题设中数量与数量之间的关系，特别是数量间的相等关系，从而建立其方程式，使问题得以解决。
解：设任一只猴子来到时，苹果个数为x ，猴子离开时剩下的苹
果个数为y ，依题意，有：
1(1)(1)5y x =-- 即 4(1)5y x =-
由题意，设最初由n 个苹果，第i （i=1,2,3,4，......)个，猴子离开时，剩下苹果个数为i y ，则
144(1)(4)4,55y n n =-=+-
22334455444[(4)41]()(4)4555
4()(4)4,5
4()(4)4,5
4()(4) 4.5y n n y n y n y n =+--=+-=+-=+-=+-
要使5y 取整数，必须有n+4是5
5的倍数，所以n 的取值为n=55-4=3121，所以，5y =5
4-4=1020，故原来至少为3121个苹果，最后至少有1020个苹果。
使用抽象方法不仅可以解决许多实际问题，而且在数学中可以用来建立新概念和创新新理论。
四 概括方法
概括是吧抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法，概括要以抽象为基础，它是抽象的发展，概括的过程就是从个别带一般的过程，抽象度越高，概括性就越强，所得的概念和理
论运用于实际时，其迁移范围就更广，也就是说，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。
概括方法在数学中得到广泛应用，并对数学的发展起了很大作用 例如：自然数的运算性质（加法和乘法的交换率,结合律，以及乘法对于加法的分配率）推广到代数式及抽象元素所组成集合上的运算，其中就是运用到了概括的方法。
犹如，在中学数学中，幂的运算性质，把同底数的自然数指数幂的运算性质：
()()()()m n m n
m n m n n m m n mn
n n n
n
n n a a a a a a
a a a a
b a b a a b b +-⋅=======g g
推广到有理数指数幂，以至实数指数幂的运算，都是运用了概括的方法。
抽象与概括是密不可分的，抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象，从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性，而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同的属性，抽象思维侧重于分析，提炼，概括思维则侧重于归纳，综合，数学中的每一个概念都是对一类事物的对个对象通过观察分析，抽象出每个对象的各种属性，在通过归纳，概括出各个对象的共同属性而形成形成的。
在解决数学问题方面，得出数学的模型，模式，总结出解题的规
律和方法都是通过分析，比较，抽象，归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。