量子力学第六章自旋和对称性

（二）含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动 除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自 旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：
(r , sz )
(r , ) 2 r , sz (r , 2 )
自旋角动量与电子的坐标和动量无关，它是电子内 秉状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度 ˆ （第四个变量）。 记为：
S
自旋角动量 比较： 同是角动量，满足同样的角动量对易关系 轨道角动量 ˆ 自旋与坐标、动量无关，不适用 r p
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL ˆ ˆ ˆ [ Lx , L y ] iLz ˆ ˆ ˆ [ L y , Lz ] iLx ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iL y
证：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y z y z y 2i y x
σy
2=1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y 2 z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ y z y z y 2i x y
a b a b c d c d
百度文库 0 d 0
由力学量算 符厄密性
0 b 0 c* 0 b ˆ x ˆ x * c 0 b 0 c 0
0 i Sy i 0 2
1 0 Sz 0 1 2
（四）含自旋波函数的归一化和几率密度
（1）归一化 电子波函数
1 (r , ) 2 2 (r , 2 )

d 1* 2*

| c |2 1
0 e i x i e 0
求σy 的矩阵形式
ˆ ˆ ˆ 由 i y z x
1 得： y i 0

0 0 1 ei
ˆ ˆ ˆ y i z x 出发
ei 0 i ( ) 0 e ei ( ) 0
得：b = c* (或c = b*)

σX 简化为：
0 c* x c 0
0 c * 0 c * | c |2 0 σx2 = 1 = 2 c 0 c 0 0 | c |
令：c = exp[iα ] (α 为实），则
N
Z
S
处于 S 态的 氢原子
（3）讨论
设原子磁矩为M，外磁场为B， 则原子在z方向外场B中的势能为：
U M B MBz cos
原子 Z 向受力
磁矩与磁 场之夹角
Bz U Fz M cos z z
分析
若原子磁矩可任意取向，则 cos在（-1，+1） 之间连续变化，感光板将呈现连续带。
ˆ Sx ˆ Sy ˆ Sz
的本征值都是±/2，其平方为[/2]2
ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 S 2 Sx S y Sz 3 2 4
ˆ S2
算符的本征值是
S 2 s(s 1)2 3 2 s 1 4 2
L2 l (l 1) 2
仿照
自旋量子数s 只有一个数值

e 2 c
可见电子回转磁比率是轨 道回转磁比率的二倍
电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符
（二）含自旋的状态波函数
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度
（一）自旋算符
•自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释； •自旋角动量也是一个力学量，但和其他力学量有根本的差别。
实验结果：出现的两条分立线，对应cos=-1 和 +1。 结论：处于 S 态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子 磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
（二）光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条亮黄线 5893Å，用高分辨率的光 谱仪观测，可以看到该谱线 其实是由靠的很近的两条谱 线组成。 其他原子光谱中也可以发现 这种现象，称之为光谱线的 精细结构。该现象只有考虑 了电子自旋才能得到解释。
3p D1
5893Å
3p3/2
3p1/2 D2
5890Å
5896Å
3s
3s1/2
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现 象提出了电子自旋假设
（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何 方向上的投影只能取两个数值：
S Sz 2
（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量 的关系为： e
SZ在自身表象中是对角矩阵，对角矩阵元是其本征 值±/2。
（2）Pauli 算符
1. Pauli 算符的 引进
ˆ ˆ 令 S 2
分量 形式
Sx x 2 Sy y 2 Sz z 2
ˆ ˆ ˆ 对易关系：S S iS

2 ( r , t )d
全同粒子的特征
1.全同粒子
固有性质相同的粒子称为全同粒子
固有性质指的是：质量、电荷、自旋…同位 旋、宇称、奇异数……
表示 t 时刻 r 点处 单位体积内找到自旋 Sz= /2的电子的几率
表示 t 时刻在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率 在全空间找 到Sz = /2的 电子的几率

1 ( r , t )d
表示 t 时刻 r 点处单位 体积内找到 自旋 Sz = –/2 的电子的几率
在全空间找到 Sz = – /2 的电子的几率

1 (r , 2) 2 2 d [| 1 | | 2 | ]d 1 2 (r , 2)

（2）几率密度
(r , t ) | 1 |2 | 2 |2 1 (r , t ) 2 (r , t )
这里有一个相位不定性，习惯上取α= 0，于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为： 必须 记住
0 1 x 1 0 0 i y i 0 1 0 z 0 1
0 1 相应自旋算符： S x 1 0 2
自旋角动量 ˆ S ˆ ˆ ˆ S S iS ˆ ˆ ˆ [ S x , S y ] iS z ˆ ˆ ˆ [ S y , S z ] iS x ˆ ˆ ˆ [ S z , S x ] iS y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取
±/2 两个值，所以有：
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既 然电子波函数是两分量波函数，表示成了2×1 的列矩阵， 那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
（1） SZ的矩阵形式
sz Sz sz sz 2 | sz | 2 | 2 | 2 1 2 0 0 1
由于 SZ 只取 ±/2 两个值， 所以上式可写为两个分量：
a 设可分离变量： r , sz r sz r b
a b 1
2 2
自旋向上的几率
自旋向下的几率
对单个电子，自旋在z方向本征值只有Sz = /2或 Sz = -/2，本征态可写为：
1 0 1 sz 和 - 1 sz 2 2 0 1


1 2
1 1 0 1 0 0 2
1 ˆ sz sz ms sz , ms 本征方程： 2 或 s z 和s z 2 2 (r , 2 ) 任意波函数： (r , ) 2 r , 1 2 sz r , 1 2 sz 2 2 r , r , 2 2
二式相加
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z y z y 2i y x
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
或
由对易关系和反对易 关系还可以得到：
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x
MS
c
S
自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
MSz e MB 2 c (CGS ) Bohr 磁子
（四）回转磁比率
（1）电子回转磁比率
MSz Sz e c
（2）轨道回转磁比率
轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML e 2 c L
则，轨道回转磁比率为：
2 2 x 2 z 1 y
2. 反对易关系
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z 0
右乘σy
基于σ 的对易关系，可以证明 σ 各分量之间满足反对易关系: 左乘σ y

ˆ 2i ˆ ˆ
分量形式：
x y y x 2i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 2i x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z 2i y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是±/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1。
2

1 0 ˆ z 0 1
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z
1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1
x y y x i z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y i x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z x x z i y
3. Pauli算符的矩阵形式
根据定义
令
2
1 0 ˆ z Sz 0 1
自
旋
§1 电子的自旋 §2 电子的自旋算符和自旋波函数
§3 两电子自旋波函数
电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
（一）Stern-Gerlach 实验
（1）实验描述 S 态的氢原子束流，经非均匀 磁场发生偏转，在感光板上呈 现两条分立线。 （2）结论 1、氢原子有磁矩，从而在非均 匀磁场中发生偏转； 2、氢原子磁矩在某方向只有两 种取向，是空间量子化的。