简单形式的柯西不等式 PPT

得 a b c 2 d a 2 b 2 c 2 d 2 .①
西不等 式.
定2理柯 西 等不 式 的 向设 量 ,形 是式 两
个 向 ,则 量 ||||||,当 且仅 是当 零,向 或 存 在 k,使 实 k数 时 ,等 号.成 立
二维形式的柯西不等式是向量 形式的柯西不等式的坐标表示
leinequ ).ality
简单形式的柯西不等式的一些变式
变式 1: a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd|(当且仅当 ad＝bc 时，等
号成立)
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
ac bd 2 | ac bd |,
变式 2：(a＋b)(c＋d)≥( ac＋ bd)2.(a，b，c，d∈R＋，当
当且仅当 ad bc 时,等号成立. Y
证法一：如图：
设 (a ,b ), (c ,d )是平面上任意的
两个向量， 与 的夹角为
B (c,d) A(a,b)
那么：cos
o
X
上式两边同时取绝对值，得： | | | c o s|.
又 | cos |1 ， 所以：|| 即 ： ||…Ⅱ 显然，等号成立的条件是：向量 (a ,b )与 (c ,d )共线。
① 式反映了 4个实数的特定数量,关 不系 仅排列 形式上规律明,具显有简洁、对称的,美 而感 且 在数学和物理中有作 重用 要.它是 柯西不等式
Cauchiynequalit的 y 最简形,式 即二维或简单形式的
柯西不等.式
从上面的探究 发过 现 ,当 程且 可仅 a以 d当 bc 0时,① 式中的等.于 号是 成我 立们有
简单形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上一个有名的经典不等式:
柯西不等式,了解它的意义、背景、证明方法及其应用，
感受数学的美妙，提高数学素养.
所以： a 2 b 2c 2 d 2 a c b d 2
显然，上式当且仅当 adbc0时，“ = ” 号成立。
想一想：在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的 条件可以写成ab＝dc吗？ 提示 不可以．bd＝0 时，柯西不等式成立，但ab＝dc不成立．
柯西不等式的几何意义 .
y
如图,设在平面直角坐标 xO系y中
且仅当 ad＝bc 时，等号成立)
变式 3: a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|(当且仅当|ad|＝|bc|时，
等号成立)
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2
将Ⅱ式用坐标表示，可得： a2b2 c2d2acbd
即： a 2 b 2c 2 d 2 a c b d 2
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
证法（三）：（利用比较法）
a 2 b 2c 2 d 2 a c b d 2
a 2 c 2 a 2 d 2 b 2 c 2 b 2 d 2 a 2 c 2 2 a b c d b 2 d 2 a 2 d 2 2 a b c d b 2 c 2 ( a d b c ) 2 0 .
观察如图,在平 面直 角坐标系中,
设 个 O点 实 1PPP12,的 P数 2的 边 蕴 坐 长 涵 标 ,关 你 着 分 系 能 关 何 x1别 ,y发 系 1种 x为 ,1,?x现 吗 y大 21,,yx22小 ,,根 y2这据 4
y
P1x1,y1
y
P1x1,y1 •
P2x2,y2
O
x
O
x
•P2x2,y2
由a于 2c2b2d2a2d2b2c2
acbd2adbc2,
即 a 2 b 2 c 2 d 2 a b c 2 a d b 2 d ,c
而 adbc20,因此
a2b2 c2d2 acbd 2. ①
① 式 中 每 个 括 号项内式 ,通 都过 是后 两面 的 习 会 进 一 步 认式识的二含 . 维义形
有向量 a,b, c,d,与
c,d a,b
之间的夹角为,0 .
根据向量数 内量 积 的积定
O
x
①式与
义,我们有 ||||cos,
二维向
所以 |||||||cos|.因|为 cos|1, 量相对
所| 以 | ||||. ②
应 , 所以
用平 二 面维 向量的坐标②表 ,得示二称维之形不 为 等
|acbd| a2b2 c2d2.两边平 , 方 式的柯
思考：
由 a2 b2 ≥ 2ab 反映出的两个实数的平方 和与乘积的大小关系,类比它的推导过程考虑 与下面式子（涉及到四个实数，并且形式上也 与平方和有关）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关的有什么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a2b2)(c2d2)
联想
展开这 ,得个乘积
a2b2 c2d2a2c2b2d2a2d2b2c2.
如果向量 和中有零向 ,则量 adbc0,以上不等 式取等.如 号果向量 和都不是零向 量,则当且仅 |co当 s|1,即向量和
共线,时 以上不等式取 .这等 时号 存在非零 k,使 实数
k.即a,bkc,d.故adbckcdkcd0.
y
P1x1,y1
y
P1x1,y1 •
P2x2,y2
O
x
O
x
•P2x2,y2
定理 1 简单形式的柯西 若a不 ,b,c等 ,d 式
都是实,则 数a2b2 c2d2 acbd2,
当且仅 ad当 bc时,等号成 . 立 思考你能简明地写出1的 定证 理明?吗
定理 1(简单形式的柯西不等式)
若 a, b, c, d 都 是实 数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2 .
图3.12
如图 ,根据两点间距离及公三式角以形 的边长关 ,容系 易发现
x12 y12 x22 y22 x1x2 2 y1y2 2,③
当 且 仅 P1,P当 2与 原O点 在 同 一 直 ,并线且上点
P1,P2在 原O点 两 旁,③时 式 中 的 等.号 成 立
不 等叫 式做 二 维 三 角 不形 等 式式 (tr的 i ang