分数裂项求和方法总结

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分数裂项求和方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

分数裂项求和方法总结

（一）用裂项法求1(1)

n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：

111(1)1n n n n =-++ 【例1】求

111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯的和。 111111()()......()101111125960

111060

112

=-+-++-=-= （二）用裂项法求1()

n n k +型分数求和分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()()

n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++

【例2】计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111*********()()()()()25727929112111321315

=-+-+-+-+- 11111111111[()()()()()]2577991111131315

=-+-+-+-+-

111[]2515115

=-= （三）用裂项法求()

k n n k +型分数求和分析：

()

k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k

-+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k

-+ 【例3】求

2222 (1335579799)

++++⨯⨯⨯⨯的和 1111111(1)()()......()335579799

1199

9899

=-+-+-++-=-=

（四）用裂项法求

2()(2)k n n k n k ++型分数求和分析：

2()(2)

k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++

【例4】计算：4444 (135357939597959799)

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

11111111()()......()()133535579395959795979799

11139799

32009603

=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= （五）用裂项法求1()(2)(3)

n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)

n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)

n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】计算：111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

1111111[()()......()]3123234234345171819181920111[]3123181920

1139

20520=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯=

（六）用裂项法求

3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3)

k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3)

k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例6】计算：

333 (1234234517181920)

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

111111()()......()12323423434517181918192011123181920

11396840

=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=--⨯⨯⨯⨯= （七）用裂项法求复合型分数和（例题略）