梅逊增益公式及应用

1 G3G5 G1G2G3G4G7 G1G6G7 G1G3G5G6G7
例: 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。
解： 首先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向 通路数,由图可知：
n= 2，且有： P1=acegi P2=kgi L1=ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij
梅逊增益公式及应用
信号流图上从输入节点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增 益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：
T
G(s)
C(s) R( s )
1
n
Pk k
k 1
式中：
一定要记住的公式！
T——G(s)从输入节点到输出节点之间的总增益(即传递函数)；
n——为从输入节点到输出节点之间前向通路的总数；
=1-L1+L2-L3 =1- （ ab＋cd＋ef＋ gh＋ij＋ kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）- abefij
第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1
第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd
T
G(s)
1
P11 P22
G1
G2① G3
G4
1 C(s)
-G5 ②
③ -G7
解：输入节点R(s)和输出节点C(s)之间只有一条前向通路。
n=1，通路增益为： P1=G1G2G3G4 三个回路： L1 =—G2G3G6
L2 =—G3G4G5 L3 =—G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7
G2
G3 + + C(s)
H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
①C(s)/R(s)
④⑤
R(s) 1
1
G1
G4
G2
G3
1 C(s)
-H1
① -H2 ②
-1 ③
前向通道：
P1 G1G2G3 P2 G1G4
反馈回路：
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2 L3 G1G2G3
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
k——第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从 中除去与第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分( 又称为因子)。
这个公式看起来是不是很难呢？实际上
！ 它很容易掌握的，我们来做几个例题吧
试用梅逊公式计算图示系统的总增益。 -G6
R(s) 1
L1 G1G2H1 L2 G2G3H2 L3 G1G2G3
-H2
1
②
G1 G2
G3
1 C(s)
① -H1
-1 ③
3
1 Li 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3
i 1
1 1
T
C(s) R( s )
1
P11
1
G1G2 H1
G1G2G3 G2G3H2
G1G2G3
例：求系统的总增益。
P k——为第K条前向通路的增益； ——信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数
行列式；
1 (所有不同回路增益之和) (所有两个互不接触回路增 益乘积之和) (所有三个互不接触回路增益乘积之和)
1 L1 L2 L3 (1)m Lm
式中： L1——信号流图中所有不同回环的增益之和； L2——所有两个互不接触回环增益的乘积之和； L3——所有三个互不接触回环增益的乘积之和； ………………… Lm——所有m个互不接触回环增益的乘积之和。
R(s)+
G1(s)
G2(s) +
G6(s) ③
G3 ( s)
①
G5(s)
②
G7 ( s)
+ + C(s) G4 ( s )
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
①
② -G7 -G5
1 C(s)
R(s) 1
G6 ③
G1
G2
G3
G4
1 C(s)
①
② -G7 -G5
解：两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6
G(s) C(s) P11
G1G2G3G4
R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7
R(s)+ +
H2(s)
—
GFra Baidu bibliotek(s) +
G2 ( s )
G3 ( s )
C(s)
——
H1(s)
R(s) 1
-H2
1
G1 G2
G3
1 C(s)
-H1
-1
R(s) 1
P1 G1G2G3
L1 L2
L3
(acegi
kgi
kgicd) /
[1 (ab cd ef gh ij kfab) (abef abgh
abij cdgh cdij efij kfabij) abefij]
求C(s)/R(s)与E(s)/R(s)
R(s)+ E(s)+
+ G1
H1
G4
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
G1G2G3 G1G4 G2G3H2 G1G2G3
G1G4
G4H2
② E(s)/R(s) E(s)
1
R(s)
1 1 G1
-H1
④⑤
G4
G2
G3
① -H2 ②
前向通道： P1 1
-1 ③
L1 G1G2H1 L2 G2G3 H2
反馈回路： L3 G1G2G3
1 1 G1G2H1 G2G3H2 G4H2
1 2 1
L4 G1G4 L5 G4H2
1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
P1 G1G2G3 P2 G1G4
1 2 1 1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2
Gs 1
Pk k
1 G1G2H1
-G6
R(s) 1
G1
G2① G3
G4
-G5 ②
③ -G7
三个回环之间都有公共节点，流图特征式为 ：
1 C(s)
=1- L1- L2-…….. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G1G2G3G7
三根T 个据 G回梅(环逊s) 均公 CR与式((前，ss)) 向系 1通统k路总n1增PPk1接益k触为，：所以1=1
闭环回路三条:
L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7
互不接触回路为: L1和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+ G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G5
T G(s)
G1G2G3G4 G1G6 G1G3G5G6